北京市石景山区三年（2021届-2023届）高考数学模拟（一模）题按题型汇编

北京市石景山区三年（2021届-2023届）高考数学模拟（一

模）题按题型汇编

一、单选题

1.（2023•北京石景山•统考一模）已知集合A={x∣-2≤x≤2},B={x∖x2+x-2<θ],则

A<JB=（）

A.[-2,2]B.[-2,1]C.[0,1]D.[0,2]

2.（2023•北京石景山•统考一模）在复平面内，复数Z对应的点的坐标为（-2,-1）,则：=

（）

A.—1—2iB.—2—iC.—l÷2iD.2—i

22

3.（2023•北京石景山•统考一模）已知双曲线5-方=1仅>0）的离心率是2,则b=（）

A.12B.2上C.√3D.祖

2

4.（2023•北京石景山•统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（）

A./（x）=sinxB./（x）=2w

c./（x）=x3+xD./（x）=J（eT-e"）

5.（2023•北京石景山•统考一模）设x>0,y>0,则“x+y=2"是"利≤I”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2023•北京石景山•统考一模）已知数列{《,}满足：对任意的机,"eN.,都有

aaa

,nn=,π+n>且4=3，贝IJqo=（）

A.yB.3'C.36D.310

7.（2023•北京石景山・统考一模）若函数/（》）=4$皿（。》+0）[4>0,。>0,0<。<]]的

部分图象如图所示，则夕的值是（）

8.（2023•北京石景山•统考一模）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度口（单

位：km/s）与燃料的质量Λ/（单位：kg）,火箭（除燃料外）的质量加（单位：kg）

的函数关系是v=20001n（l+,）.当燃料质量与火箭质量的比值为f0时，火箭的最大速

度可达到%切/S.若要使火箭的最大速度达到2%&机∕s,则燃料质量与火箭质量的比

值应为（）

A.B.to+10C.2∕0D.to+2t0

9.（2023•北京石景山•统考一模）已知直线/:区-尸2A+2=0被圆C：V+（y+l）2=25所

截得的弦长为整数，则满足条件的直线/有（）

A.6条B.7条C.8条D.9条

10.（2023•北京石景山•统考一模）已知正方体ABCO-ABCP的棱长为2,点P为正

方形ABCD所在平面内一动点，给出下列三个命题：

①若点P总满足叫ɪOC1,则动点P的轨迹是一条直线；

②若点尸到直线BB1与到平面CDDc的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；

③若点P到直线。0的距离与到点C的距离之和为2,则动点P的轨迹是椭圆.

其中正确的命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

11.（2022∙北京石景山.统考一模）设全集U={xeR∣x≥l},集合A={xeR*|犬≥3},

则6A=（）

A.[1,√3）B.[1,√3]

C.（√3,+∞）D.[√3,+∞）

试卷第2页，共14页

12.（2022•北京石景山•统考一模）若复数Z满足（l+i）z=l-i,贝IJZ=（）

A.1B.iC.—1D.—i

13.（2022•北京石景山•统考一模）从1,2,3,4,5中不放回地抽取2个数，则在第1

次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是（）

A.-B.ɪC.-D.-

5254

14.（2022∙北京石景山•统考一模）设/是直线，a,夕是两个不同的平面，下列命题中

正确的是（）

A.若IUa,IHβ,则α〃尸

B.若,Ha,则∕∙L∕

C.若α∙L尸，IHa,则/1•£

D.若///ɑ,l,β,则a∙L∕

15.（2022•北京石景山•统考一模）已知圆C：（X-3）2+J=9,过点（1,2）的直线/与圆

C交于A,B两点,则弦|4网长度的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

16.（2022•北京石景山•统考一模）函数〃X）=鬲7的图象大致为（）

17.（2022•北京石景山•统考一模）在等差数列｛4｝中，a3+aft+a9=36,设数列｛4｝的

前〃项和为S“，则SU=()

A.12B.99C.132D.198

18.(2022•北京石景山•统考一模)在一ABC中，sh√A=SinBsinC,若NA=ʒ∙,则/8

的大小是()

19.(2022•北京石景山•统考一模)“加<4”是“2/-ZnX+l>0在x∈(l,∙κo)上恒成立”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

20.(2022∙北京石景山・统考一模)设A,B为抛物线C：y=V上两个不同的点，且直

线AB过抛物线C的焦点尸，分别以A,8为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点

P.则下列结论：

①点P一定在抛物线C的准线上；

②LAB；

③H5AB的面积有最大值无最小值.

其中，正确结论的个数是()

A.OB.1C.2D.3

21.(2021•北京石景山・统考一模)已知集合A={l,3,5},B=卜V—16<θ},则AB=

()

A.{1,3}B.{3,5}C.{1,3,5}D.(0.4)

22.(2021•北京石景山•统考一模)下列函数中，是奇函数且最小正周期T=万的是()

A./(x)=ɪB./(x)=X3C./(x)=2SinXCoSXD./(x)=sinx

X

/77—1

23.(2021•北京石景山•统考一模)复数丝」在复平面上对应的点位于第一象限，则实

I

数”的取值范围是()

A.(-∞,-l)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(l,+∞)

24.(2021∙北京石景山.统考一模)一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四

个俯视图中正确的是()

试卷第4页，共14页

25.（2021.北京石景山.统考一模）“直线用垂直平面α内的无数条直线”是的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必安条件

26.（2021.北京石景山.统考一模）已知菱形ABC。的边长为〃，ZABC=60。，则8Z>α>=

A.——a2B.——a2C.—a2D.—a2

2442

27.（2021.北京石景山.统考一模）过抛物线丁=人的焦点尸的直线交抛物线于48两

点，若尸是线段A3的中点，则IA卸=（）

A.1B.2C.3D.4

28.（2021•北京石景山•统考一模）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整

数.如22,121,3443等.那么在四位数中，回文数共有（）

A.81个B.90个C.100个D.900个

X2-2,χ,0

29.（2021•北京石景山•统考一模）已知C（X）=若∣∕(x)∣..αr在xe[T,l]上

3x-2,x>0

恒成立，则实数。的取值范围是（）

A.（-∞,-l][0,+∞）B.[0,1]C.[-1,0]D.（-1,0）

30.（2021•北京石景山•统考一模）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形

的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线在平面

直角坐标系中作一ABC,AB=AC=4,点风-1,3）,点C（4,-2）,且其“欧拉线”与圆

M:(x-a)2+(y-a+3)2=/相切.则圆M上的点到直线χ-y+3=0的距离的最小值为

()

A.2√2B.3√2C.4√2D.6

二、填空题

31.（2023∙北京石景山•统考一模）向量α=（2sin61,cosθ）,⅛=（l,l）,若二〃），则

tanΘ=.

32.（2023•北京石景山•统考一模）若。+亡）的展开式中含有常数项，则正整数”的

一个取值为.

33.（2023•北京石景山•统考一模）项数为MZeN*,Z≥2）的有限数列｛q,｝的各项均不小

t

于T的整数，满足2-'+廿+%・2匕+…+%.2+巳=0,其中OlWO.给出下列

四个结论：

①若火=2,则ɑ?=2；

②若无=3,则满足条件的数列｛%｝有4个；

③存在《=1的数列｛《,｝;

④所有满足条件的数列｛%｝中，首项相同.

其中所有正确结论的序号是.

34.（2022∙北京石景山•统考一模）函数"χ）=的定义域是.

35.（2022♦北京石景山•统考一模）（V+'）?的展开式中*5的系数是.（用数字填

X

写答案）

试卷第6页，共14页

36.（2022•北京石景山•统考一模）正项数列｛为｝满足。“。“+2=。3，"∈N*.若％=9,

%%=1，则生的值为.

37.（2022.北京石景山.统考一模）设点耳，在2分别为椭圆C：£+yJl的左，右焦点,

4-

点P是椭圆C上任意一点，若使得PK∙P5=机成立的点恰好是4个，则实数"的一个

取值可以为.

38.（2022•北京石景山•统考一模）已知非空集合A,B满足：AB=R,AnB=0,

jf3X£4

;二:对于下列结论：

f3x-2,x∈B

①不存在非空集合对（Al）,使得f（x）为偶函数；

②存在唯一非空集合对（A,3）,使得f（x）为奇函数；

③存在无穷多非空集合对（A,B）,使得方程/（x）=0无解.

其中正确结论的序号为.

39.（2021•北京石景山•统考一模）双曲线J-4=1的离心率为__________.

169

40.（2021∙北京石景山.统考一模）已知函数/（X）=|InXI,若

"=/［）'〃=C=/（2），贝IJae°从小到大排序为.

41.（2021•北京石景山•统考一模）如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上

两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的勺，42，%，，2的值∙4∣=，

42.（2021∙北京石景山•统考一模）海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下,

船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过Al技术模拟在一次

潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深丫（单位：米）随时间X（单位：小

时）的变化规律为y=0∙8sinox+23eR）,其中0融土；然后，假设某货船空载时吃

ω

水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货

物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之

间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论

正确的是.

①若货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；

O

②若O=B，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时;

③若0=1,货船于X=I时进入港口后，立即进行货物卸载，则X=T时，船底离海底的

距离最大；

④若。=1,货船于x=l时进入港口后，立即进行货物卸载，则x=g时，船底离海底

的距离最大.

三、双空题

43.（2023•北京石景山•统考一模）抛物线C：炉=”的焦点坐标为,若抛物

线C上一点M的纵坐标为2,则点M到抛物线焦点的距离为.

44.（2023•北京石景山•统考一模）设函数f（x）=F-3x'x≤α,①若“4，则”x）的

-X,x>a

最大值为:②若/（x）无最大值，则实数。的取值范围是.

45.（2021.北京石景山.统考一模）在锐角ABC中，α=30,c=5,α=24sinA,则

B=,b=.

四、解答题

46.（2023♦北京石景山•统考一模）如图，在.ASC中，AC=4√2.C=?,点。在边BC

上，cosZADB=-.

3

（2）若△∙£>的面积为2√∑,求A8的长.

47.（2023∙北京石景山•统考一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作

试卷第8页，共14页

为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三

种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40

株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.

株高增量（单位：厘米）(4,7](7,10](10,13](13,16]

第1组鸡冠花株数92092

第2组鸡冠花株数416164

第3组鸡冠花株数1312132

假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.

（1）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为（7,10］厘米的概率；

（2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中

恰有X株的株高增量为（7,10］厘米，求X的分布列和数学期望EX；

（3）用“4=1”表示第左组鸡冠花的株高增量为（4,10］,“媒=0”表示第Z组鸡冠花的株高

增量为（10,16］厘米，⅛=1,2,3,直接写出方差Dξ2,。女的大小关系.（结论不要

求证明）

48.（2023•北京石景山•统考一模）如图，在四棱锥P-MCO中，底面A6CD是边长为

2的正方形，侧面皿>为等腰直角三角形，且NP点F为棱PC上的点，平面

ADF与棱PB交于点、E.

⑴求证：EF//AD；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCz）与平面

Ar）FE所成锐二面角的大小.

条件①：AE=√2;

条件②：平面R4£>_L平面AB8；

条件③：PBVFD.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

22

49.(2023•北京石景山•统考一模)已知椭圆C=*∙+2=M4>6>0)过点(0,6),且离

心率为

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点∕,(-l,l)且互相垂直的直线4,4分别交椭圆C于M,N两点及S,T两点.求

高∖PM身IpM的取值范围.

50.(2023•北京石景山•统考一模)已知函数/(x)=e'-l-心inx(weR).

⑴当旭=1时,

(i)求曲线y=∕(χ)在点(oj(o))处的切线方程；

(ii)求证：VXew/(x)>0.

(2)若/(x)在(0弓)上恰有一个极值点，求机的取值范围.

51.(2023•北京石景山•统考一模)若无穷数列{%}满足以下两个条件，则称该数列为7

数列.

①4=1,当〃≥2时，∣α,,-2∣=∣%+2∣;

②若存在某一项4≤-5,则存在&∈{1,2,…,”一1},使得“*=αn,+4(∕n≥2且"z∈N∙).

(1)若生<0,写出所有，数列的前四项；

(2)若4>。，判断「数列是否为等差数列，请说明理由；

(3)在所有的T数列中，求满足仆=-2021的〃，的最小值.

52.(2022•北京石景山•统考一模)已知函数/(x)="zsin"+?卜">0,o>0)只能同

时满足下列三个条件中的两个：

①函数/(x)的最大值为2；

②函数/(x)的图象可由y=a"2T)的图象平移得到；

③函数/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为万.

(1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出〃x)的解析式；

试卷第10页，共14页

（2）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,A=?,α=∕（4）,求JlBC

面积的最大值.

53.（2022•北京石景山•统考一模）某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教

师，为调查他们的备课时间情况，通过分层

抽样获得了20名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）：

高一年级77.588.59

高二年级78910111213

高三年级66.578.51113.51718.5

（1）试估计该校高三年级的教师人数；

（2）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为

甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；

（3）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分

别是8,9,10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为％,

表格中的数据平均数记为京，试判断石与1的大小.（结论不要求证明）

54.（2022•北京石景山•统考一模）如图1,在平面四边形PneB中，PDHBC,BALPD,

PA=AB=BC=I,AO=g.将沿BA翻折到ASAB的位置，使得平面SAB，平

面A6C。，如图2所示.

（1）设平面SOC与平面SAe的交线为/,求证：BCVh

（2）在线段SC上是否存在一点Q（点。不与端点重合），使得二面角。-8。-C的余弦值

为亚，请说明理由.

6

55.（2022•北京石景山•统考一模）设函数/（x）=χ2+”?In（X+1）（MCR）.

⑴若机=T,

①求曲线”X）在点（Oj（O））处的切线方程；

②当Xe(I,+∞)时，求证:/(x)<x3.

(2)若函数〃x)在区间((U)上存在唯一零点，求实数垃的取值范围.

22

56.(2022.北京石景山.统考一模)已知椭圆C：A表^=l(a>6>°)的短轴长等于2百，

离心率e=；.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过右焦点/作斜率为k的直线/,与椭圆C交于A,8两点，线段A8的垂直平分线交

IPFI

X轴于点尸，判断焉是否为定值，请说明理由.

57.(2022•北京石景山•统考一模)若数列｛%｝中存在三项，按一定次序排列构成等比数

列，则称｛《,｝为”等比源数列”.

(1)已知数列｛4｝为4,3,1,2,数列｛2｝为1,2,6,24,分别判断｛4｝,｛〃,｝是否为

”等比源数列“，并说明理由；

(2)已知数列｛g｝的通项公式为c,,=2"'+l,判断｛cj是否为"等比源数列”，并说明理由；

(3)已知数列｛4｝为单调递增的等差数列，且4≠0,4,eZ5eN*),求证：｛4“｝为”等比

源数列

58.(2021•北京石景山•统考一模)如图，在五面体ABa)EF中，面ABCZ)为正方形，

®ABFEjfi∣-CDEF=EF,AD±ED,CDVEA.

(1)求证：CQ〃平面ABFE；

(2)若EF=ED,CD=2EF=2,求平面AOE与平面BCF所成的锐二面角的大小.

59.(2021•北京石景山•统考一模)已知有限数列伍,｝共有30项，其中前20项成公差为

d的等差数列，后11项成公比为4的等比数列，记数列的前〃项和为S,,.从条件①、

条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

条件①：⅛=4,S5=30,¾=20i

条件②：S,=0,¾=-36,α22=-9;

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条件③:sι=48,α,l=20,OM=I60.

(1)4g的值；

(2)数列｛4｝中的最大项.

60.(2021•北京石景山•统考一模)某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种

模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售

模式下的日营业额(单位：万元)进行调查.调查结果如下：

门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8

线下日营业额96.5199.514.516.520.512.5

线上日营业额11.591217192321.515

若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的

日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标.若某门店的日营

业总额(线上和线下两种销售模式下的日营业额之和)不低于30万元，则称该门店的

日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标.(各门店的营业额之间互不影

响)

(1)从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概

率；

(2)若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额

达标的门店个数.以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标

的概率，求X的分布列和数学期望；

(3)线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为从和〃2,线下日营业额和线

上日营业额的样本方差分别记为父和学.试判断从和〃2的大小，以及s：和s；的大

小.(结论不要求证明)

2)

61.(2021•北京石景山•统考一模)已知椭圆uA+4=l(a>b>0)的右焦点为尸(1,0),

ab^^

且经过点A(-2,0)和点B(2,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)M和N是椭圆C上两个不同的点，四边形AMBN是平行四边形，直线AM、AN分

别交V轴于点P和点Q,求四边形APFQ面积的最小值.

62.(2021•北京石景山•统考一模)已知函数/(X)=乎(α∈R).

e

(1)当。=-1时，求/O)在X=O处的切线方程;

(2)已知/(x),,l对任意XeR恒成立，求〃的值.

63.(2021.北京石景山.统考一模)由加个正整数构成的有限集M={4g,%,…(其

中4<∕<4<…<4”)，记P(M)=α∣+<¾+…+4”，特别规定P(0)=O,若集合M满

足：对任意的正整数左≤P(M),都存在集合M的两个子集AB,使得Z=P(A)-P(B)

成立，则称集合M为“满集

(1)分别判断集合必={1,2}与M={2,3}是否为“满集”，请说明理由；

(2)若集合M为“满集”，求力的值；

(3)若《,出,生，…，〃,“是首项为1，公比为2的等比数列，判断集合M是否为“满集”，

并说明理由.

试卷第14页，共14页

参考答案：

1.A

【分析】解一元二次不等式得集合8,再根据并集运算得结果.

【详解】由f+χ-2≤0解得-2Mx<I,所以8={M-2≤X≤1},又A={x|—2≤x≤2},

所以ADB={x∣-2≤x≤2}=[-2,2].

故选：A.

2.C

【分析】根据复数对应点坐标得Z的值，再利用复数的除法可得结果.

【详解】复数Z对应的点的坐标为(-2,τ),则Z=—2—i,所以三=&i=≡⅛匚=-l+2i∙

iii^

故选：C.

3.B

【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.

【详解】由题意可得e=§=后工=2,

解得A=2>/3,

故选：B.

4.D

【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.

【详解】对于A,函数〃力=SinX为奇函数，但在定义域R上函数不单调，故A不符合；

HH

对于B,y(x)=2禺的定义域为R,/(-X)=2=2=∕(X)T则f(x)=/为偶函数，故B

不符合；

对于C,/(X)=ɪ3+X的定义域为R,/(-X)=-x,-X=-/(X),则/(x)=x3+x为奇函数,

又函数y=x∖y=χ在R上均为增函数，故/(x)=d+χ在R上为增函数，故C不符合；

对于D,外力=；卜-，七)的定义域为区，〃-x)=；(e，-e-')=-/(x),则

"x)=g(eτ-e*)为奇函数，又函数>="，在R上为减函数，y=e，在R上为增函数，故

"x)=*eτ-e')在R上为减函数，故D符合.

故选：D.

答案第1页，共40页

5.A

【分析】根据基本不等式判断充分性，根据举反例说明必要性不成立，即可得结论.

【详解】因为x>0,J>O,则孙≤(昼；=1,当且仅当χ=y=l时等号成立，故充分性

成立；

若x=3,y=g,满足孙41,但x+y*2,故必要性不成立，

所以“x+y=2"是"xy≤I”的充分而不必要条件.

故选：A.

6.B

【分析】根据对任意的"i,"eN*,有4,4=%+,,且4=3,求得%的值，即可得的

值.

【详解】对任意的"〃eN*,都有4"4,=。"+“，且4=3,所以出。2=E=9=4,

则=81=4，所以α∣o=%"8=3x81=3'.

故选：B.

7.A

【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心(三，0)，即可求得最小正周期7,从而可求

。的值，结合图象代入已知点坐标即可得。的值.

【详解】由图可知40)=〃?"Ig)=T",所以《，0)是f(x)的一个对称中心，

由图象可得最小正周期T满足：∣7'=f-(-^］=p则7=高=兀，又0>()，所以0=2,

则由图象可得2x［。］+夕=E,keZ,所以9=：+E,keZ,又0<9<,所以S=

I6/323

故选：A.

8.D

【分析】根据对数运算法则可求得2%=20001n(l+^+2f°),由此可得结果.

【详解】由题意得：vo=2O∞ln(l+Zo),

2

.∙.2%=4OOOln(l+ro)=2OOOIn(l+ro)=20001n(l+⅛+2r0),:.—=t^+2t0,

即当火箭的最大速度达到2v0km∕s,则燃料质量与火箭质量的比值为r；+2r0.

答案第2页，共40页

故选：D.

9.B

【分析】圆C的圆心为C（0,-1）,半径r=5,直线/过定点“（2,2）,故直线/被圆C截得

的弦长范围为[46,10],结合圆的对称性，再检验斜率不存在的直线/的情况即可得出答案.

【详解】圆C:/+（y+i）2=25的圆心为C（O,-1）,半径r=5,

直线/化为MX—2）-y+2=0,则直线/过定点M（2,2）,

则IcM=J（2-0）2+（2+1）2=届，〃在圆内，

当∕∙LCM时，直线/被圆C截得的弦长最短为2次乙扃7=4百，

当/过圆心C时，直线/被圆C截得的弦长最长为10,

故直线/被圆C截得的弦长范围为卜石』0],

因为弦长为整数，则弦长的取值为7,8,9,10,

由圆的对称性，故满足弦长为整数的直线/有一7条.

故选：B.

10.C

【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系，即可确定满足满足G的动点

P的轨迹，从而可判断①；利用线线关系将点线距离转化为点点距离，结合圆锥曲线的定义

即可判断动点P的轨迹，即可得判断②③，从而可得答案.

【详解】对于①，如图在正方体A88-44GR中，连接叫CR,

42

在正方体中，因为四边形CDAG为正方形，所以。G∙LCq,

又BC上平面CDD1C1,DC1U平面CDD1C1,所以8C，DC∣,

答案第3页，共40页

又CDqBC=C,CD∣,BCu平面BCD1,所以OGJ_平面BCDt,

平面BCDC平面ABCD=BC,Pe平面ABCD,点P总满足PRɪDC1,

所以「e平面BCR,所以PeBC,则动点P的轨迹是一条直线，故①正确；

对于②，BBC平面AgcD=B,Pe平面ABC。，则点P到直线网等于P到B的距离，

又P到平面CDD1C1的距离等于P到DC的距离，

则尸至Us的距离等于尸至IJr)C的距离，由抛物线的定义可知，动点尸的轨迹是抛物线，故②

正确；

对于③，点P到直线。Q的距离等于P到。的距离，所以P到。的距离与到点C的距离之和

为2,即IPa+1Pq=2=|。。，则点P的轨迹为线段。C,故③不正确.

所以正确的命题个数是2.

故选：C.

11.A

【分析】求得集合A={X∣X≥G},结合集合补集的概念及运算，即可求解.

【详解】由题意，集合4={X∣X≥√5}

又由U={xeR∣x*l},所以α,A={x∣l≤x<√5}=[l,√5).

故选：A.

12.D

【详解】分析：由(l+i)∙z=l-i,得Z==，再利用复数乘法、除法的运算法则求解即可.

详解：由(l+i>z=l-i,得Z=.∖=W=-i,故选D.

l÷ι(l+ι)(l-ι)2

点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题.解题时一定要注意『=T和

(α+初)(c+di)=(αc-4)+(∕+Ac)i以及套了=∖+djc-/运算的准确性，否则很容

易出现错误.

13.D

答案第4页，共40页

则所求概率为空印

【分析】设事件4为“第，次抽到偶数”,i=l,2,P(RA)=

【详解】设事件A,为“第，次抽到偶数“，z∙=l,2,

则事件“在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数”的概率为:

w(4&)_C；C；=3

P(4∣A)==

∕1(A)CC["4

故选：D.

14.D

【解析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A；由面面垂直的性质定理和线面

平行的性质可判断选项B；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C；由线面平

行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D；

【详解】对于选项A：箱IMa,l"β,则α∕/或“与夕相交，故选项A不正确；

对于选项B：若ILa,则〃/月或∕u∕,故选项B不正确；

对于选项C：若a1β,IUa,则〃/夕或/u尸或/与夕相交，故选项C不正确；

对于选项D：若IlIa,由线面平行的性质定理可得过/的平面7,设/a=m,则机〃/,

所以〃尸，再由面面垂直的判定定理可得a，/?,故选项D正确；

故选：D

15.B

【分析】由题意，可得当直线/垂直于过圆心C与定点。(1,2)的直线CO时，弦IABl长度取

得最小值.

【详解】解：由题意，因为(l-3)2+22=8<9,所以点。(1,2)在圆C内，

因为直线/过点。(1,2)与圆C交于4,B两点,

所以当直线/垂直于C短时弦IABl长度取得最小值,

因为ICq=ʌ/(3-1)2+(°-2)2=2&，

所以IABL,=2J以_|呵=2√9ɪ8=2,

故选：B.

16.D

答案第5页，共40页

【分析】化简函数解析式，由此可得出合适的选项.

【详解】函数，(x)=，y的定义域为{χ∣χ≠o},且/(χ)

因此，函数/(x)=M7的图象为选项D中的图象.

故选：D.

17.C

【分析】利用等差数列的性质，以及前〃项和公式，即可求解.

【详解】a3+aβ+a9=3aβ=36,¾=12,

q=ll(";即)=UQ=132∙

故选：C

18.C

【分析】由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断一ABC的形状，即可判断选项.

【详解】因为sin?A=SinBsinC,所以片=%,

由余弦定理可知片=b2+c2-2⅛ccosy=⅛2+c2-bc=bc,

即(人一Cy=0,得=

TT

所以ABC是等边三角形，NB=3.

故选：C

19.B

【分析】在给定区间内恒成立问题，可参变分离求解后判断

【详解】2/-Znr+l>0在xe(l,+∞)上恒成立，

即m<2x+-在Xe(I,÷∞)上恒成立，2x+1∈(3,+oo)

故m≤3

um<4"是“加≤3"的必要不充分条件

故选：B

20.C

【分析】由直线与抛物线知识，对结论依次判断

答案第6页，共40页

【详解】抛物线焦点F(O,；),可设直线AB方程为)，=履+；,A(xl,y,),B(x2,y2)

联立直线与抛物线方程得米-(=O,有演+9=K玉W=-；

2

yl+y2=k+^-,yiy2=γτ

切线AP的方程为y-χ=2χj(χ-χJ,化简得y+y=2x∣x

同理切线BP的方程为y+%=2%X

联立解得P(∙∣,-1),故①正确

_1ɪ

原F=」*=-：,kPF-k=-\,故②正确

2

/I

对于③，S一=IABId=TX(公+l)χ^^=:j(2+l)3

当A=O时，SW有最小值，无最大值，故③错误

故选：C

21.A

【分析】算出集合B,再求交集即可.

【详解】因为B=(-4,4),所以A8={1,3}

故选：A

22.C

【分析】画出函数/(x)=L,/(x)=χ3的图象，由图象判断AB；利用定义证明

X

/(x)=2SinXCoSX为奇函数，再求周期，从而判断CD.

【详解】由下图可知，函数/(x)=L,/(X)=/都不是周期函数，故AB错误；

答案第7页，共40页

f(X)=2sinxcosx=sin2x,f(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(X)

即函数f(x)=2SinXeoSX为奇函数，且周期T=g=τ,故C正确；

对于D项，周期T=午=2乃，故D错误；

故选：C

23.C

【分析】化简复数即可判断.

∙γ-ai-∖(αi-l)i-a-i.

【r详f解ev】l----=-~YJ~=---=a+ι

ir-1

因为对应的点位于第一象限，所以α>0

故选：C.

24.B

【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可.

【详解】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正

确，几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确

故选：B.

25.B

【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】因为当直线加垂直平面ɑ内的所有直线时，才能得到加，α,

所以由直线加垂直平面α内的无数条直线不一定能推出〃?，

但是由桃上e一定能推出直线，"垂直平面α内的无数条直线，

所以直线机垂直平面α内的无数条直线是机，。的必要不充分条件，

故选：B

答案第8页，共40页

26.D

【详解】试题分析：由题意得，设54=α,BC=6,根据向量的平行四边形法则和三角形法

3

贝!1，可知BQ∙CZ>=(α+6)∙〃=+α∙6=α2+αxaχcos60°=,故选D.

2

考点：向量的数量积的运算.

27.D

【分析】依据题意可知线段AB为抛物线的通径可得结果.

【详解】由题可知：线段AB为抛物线的通径

所以IABI=4

故选：D

28.B

【分析】依据题意可知该数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的，简单计算可得结

果.

【详解】由题可知：回文数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的

所以共有：—0

故选：B

29.C

【分析】作出y=∣f(χ)∣,卜=公在上的图象，当y=∣f(χ)∣的图象在y=依的图象的上

方时，分析此时”的取值范围即可.

【详解】作出y=∣"χ)∣,尸⑪在［Ti］上的图象如下图所示：

答案第9页，共40页

因为∣∕(x)∣..0X在X1,1］上恒成立，所以y=∣"x)∣的图象在产"的图象的上方(可以部

分点重合)，

且I"T)I=II-2∣=1,令3x-2=0,所以X=g,所以A(Tl),s(∣,θ}

根据图象可知：当V="经过点A(T,1)时，。有最小值，。而„=-1,

当y=αr经过点B(∣,O)时，α有最大值，αmax=0,

综上可知”的取值范围是,

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用数形结合思想解决问题，通过数与形的相互转

化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：

(1)确定方程根的个数；

(2)求参数范围；

(3)求不等式解集；

(4)研究函数性质.

30.A

【分析】由等腰三角形的性质可得BC边上的高线，垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为

ASC边BC的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的关系，求得BC边上的垂直

平分线方程，再由点到直线的距离公式结合圆的对称性得出答案.

【详解】解：因为在-ABC中，AB=AC=A

所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为ABC边BC的垂直平分线

AD

31

因为点3(7,3),点0(4,—2),所以。

2,2

因为直线BC的斜率为表=7,所以BC的垂直平分线的斜率为I

13

所以5C的垂直平分线方程为y-一=X——,g[Jχ-y-l=O

22

因为“欧拉线”与圆M：(X—4)2+(y-。+3)2=户相切

所以可得圆心(α,«-3)到“欧拉线''的距离为芸3-11=r,r=也

圆心(4,4-3)到直线1