第23练空间点直线平面之间的位置关系-2023年高考数学一轮复习小题练习（新高考）（解析版）

专题07立体几何初步

第23练空间点、直线、平面之间的位置关系

谁练基础

1.（2022•上海长宁•二模）如图，已知A、B、C、D、E、尸分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与

直线EF相交的是（）.

A.直线ABB.直线BC

C.直线CDD.直线D4.

【答案】A

【解析】如图，易知AF"G,"GBE,所以A广〃BE,S-AF=-BE,

2

所以ABE尸为梯形，故AB与EF相交，AlE确;

因为BCMH,MHNL,NLEF,所以BC〃可■,故B错误;

因为平面CDH，平面EFNL,CDU平面CDH,EFU平面EFNL,

所以直线CQ与直线EF无公共点，故C错误；

因为ADU平面4DF,EFl平面ADP=F,故AD与EF异面，D错误.

故选：A

2.（2022•江苏常州•模拟）已知直线相，〃是平面。的两条斜线，若“，〃为不垂直的异面直线，贝∣"m〃

在平面ɑ内的射影M，〃’()

A.不可能平行，也不可能垂直B.可能平行，但不可能垂直

C.可能垂直，但不可能平行D.可能平行，也可能垂直

【答案】D

【解析】如图，在正方体中，即AA为机，EF为n,底面ABCO为平面α,则〃?，〃在平面ɑ内的射影AZ)

和CD垂直；

如图，在正方体中，即为"?，BG为n,底面ABCD为平面α,则〃?，〃在平面ɑ内的射影AD和BC平

行；

综上，，小〃在平面α内的射影H,〃'可能平行，也可能垂直.

故选：D.

3.(2022•福建福州•三模)在底面半径为1的圆柱00∣中，过旋转轴00∣作圆柱的轴截面ABCQ,其中母线

AB=2,E是BC的中点，F是A8的中点，贝IJ()

A.AE=CF,AC与E尸是共面直线B.AE≠CF,AC与E尸是共面直线

C.AE=CF,AC与E尸是异而直线D.AE≠CF,AC与E尸是异面直线

【答案】D

【解析】解：山题意，圆柱的轴截面ABC。为边长为2的正方形，

E是BC的中点，F是AB的中点，

所以ACU平面ABC,EF与平面ABC相交，且与AC无交点，

所以AC与EF是异面直线；

XCF=√l2+22=√5,Af=^22+(√2)2=√6,所以AEXC

4.（2022•北京∙1（）1中学模拟）在如图所示的四个正方体中，能得出AB，。。的是（）

【答案】A

【解析】根据各选项图形知：A中ABJ_CE＞；8中A8和的夹角为60。；C中AB和C。的夹角为45。；D

中AB和的夹角为arctan收；

故选：A

5.（2022•黑龙江•牡丹江市第三高级中学三模（文））在长方体ABCQ-A中，A8=3,AO=4,AAi

=2,则异面直线AC和8C/所成角的余弦值是.

【答案】盛

25

【解析】如图，连接A。/,CD1,则/Q∕AC（或其补角）就是异面直线Ae和3。所成的角，

易知AC=5,AD∕=2√5.CDi=岳,山余弦定理得

AD,2+AC2-CD,28√5

cosZDjAC=

2ADi∙AC25

故答案为：随

25

6.（2022•山东济南•二模）下列命题：

①平行于同一条直线的两条直线平行；

②如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个平面平行；

③如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

④如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线垂直于这个平面；

⑤如果一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么直线也和斜线垂直.

其中正确命题的序号为.

【答案】①②③

【解析】①，根据平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线平行.所以①正确，

②，根据线面平行的判定定理可知：如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么该直线与这个

平面平行，所以②正确.

③，结合面面平行的判定定理可知：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个

平面平行.所以③正确.

④，如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么该直线可能在这个平面内，所以④错误.

⑤，如果一条直线/和平面ɑ的一条斜线α在平面内的射影匕垂直，直线/La时，但/与α不垂直.

所以⑤错误.

故答案为：①②③

2维练能力J//

1.（2022•上海黄浦•二模）如图，已知尸、。、R分别是正方体ABC。-AAGR的棱AB、BC和GA的中

点，由点尸、。、R确定的平面夕截该正方体所得截面为（）.

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】D

【解析】如图，分别取A4、AA、CG的中点F、E、M,连接RAFE、EP、PQ、QM.MR,

由正方体性质RF//PQ,所以R、足P、QW平面a,且RF//PQ//MN,又。尸、RP、EN交于同一点。，所

以区Me平面α,所以点尸、Q、R确定的平面夕即为六边形RFEPQM

2.（2022•山东潍坊•模拟）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图所示表

面展开图，则在正方体中，AB.CD、EF.GH这四条线段所在的直线中，异面直线有（）

A.1对B.3对C.5对D.2对

【答案】B

【解析】作出正方体的图形如下图所示:

∖iκiħ

则AB与CD、ABliGH、EFhiG”是异面直线，共3对.

故选：B.

3.（2022•北京•北大附中三模）已知平面α,6,/,直线用和”，则下列命题中正确的是（）

A.若“贝IJa〃/

B.若C_Ly,£_Ly,则α〃夕

C.若，J_c,则“〃α

D.若加〃s〃〃£,则加〃”

【答案】A

【解析】选项A正确，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；

选项B错误，平面α和夕也可以相交：

选项C错误，直线〃可能在平面ɑ内；

选项D错误，直线机和〃还可能相交或者异面.

故选：A.

4.（2022•浙江省杭州学军中学模拟）已知直三棱柱ABC-ABQ,若AB=BC=B瓦，ABLBC,D是棱CG

中点，则直线AC与直线4。所成角的余弦值为（）

A.JLB.也

33

C叵D∙巫

55

【答案】C

【解析】若G为Bq中点，连接CG,AG,又。是棱CG中点,

所以，在直三棱柱ABC-AqG中C。//与G且Cz）=BlG,即COAG为平行四边形,

所以CG//BQ,则直线AC与直线8Q所成角即为NACG,

若AB=BC=BB1=2,则CG=AG=-^5,AC=2>

8√IO

所以COSN4CG=

2×Λ∕5×2Λ∕2

故选：C

5.（2022•北京东城•三模）如图，在正方体ABC。-ABCR中，E,F分别为CC/,DG的中点，则下列

直线中与直线鲂相交的是（）

A.直线AFB.直线AAC.直线CQlD.直线AA

【答案】A

【解析】连接ERCR,AB,则E—/CR,EF=；CR,

山ADJiBCAD∖=BC,可得四边形ARCB为平行四边形,

；・AxBI/CD1,A1B=CD1,

所以EF∕∕AB,EF=gAB,即四边形EEBA为梯形，

故直线AF与直线BE相交，

直线A。与直线BE为异面直线，直线GA与直线BE为异面直线，直线AA与直线BE为异面直线.

故选：A.

6.（2022•辽宁•沈阳二中模拟）如图，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线

GH与MN是异面直线的图形有.

【答案】②④

【解析】解：根据题意，

在①中，MG//MV且"G=M7,则四边形用GHN是平行四边形，有HG//MN,不是异面直线；

图②中，G、H、N三点共面，但M史面G”N,因此直线G”与MN异面；

在③中，M.N分别是所在棱的中点，所以GM”HN且GM≠HN、故HG,NM必相交，不是异面直线;

图④中，G、M、N共面，但"任面GMN,.∙.G”与MN异面.

所以图②④中G”与MV异面.

故答案为：②④.

7.（2022•海南•孟津县常袋乡石碑凹中学模拟）如图，在直三棱柱ABC-A与G中，NAeB=90。，

AAx=AC=BC=X,则异面直线AB与AC所成角的余弦值是.

【答案邛

【解析】解：连结BG，∙.∙AC"AG,

∙∙∙NCdB是异面直线AB与AC所成角（或所成角的补角），

o

•••在直三棱柱ABC-A4G中，ZACB=90,AAl=AC=BC=∖,

'AB=EAyB=BBCt=√2,A£=l，

∙,∙CoSNCIAB=曰'

二异面直线AB与AC所成角的余弦值为名

故答案为：f

8.（2022•四川•绵阳中学实验学校模拟（文））已知正三棱柱ABC-的所有棱长均相等，直线4片与

BG所成的角为O,则sin，=

【答案】叵

4

【解析】设P,M,MG分别为A8阴,4G中点，连接PM,MN,PN,NG,PG,

-PMHABxrMNIlB3,

二.直线A片与BC1所成角为/PMN的补角，即NpMN=万—2

设正三棱柱的棱长为1,

：.PM=-AB.=—,MN=-BC=~,PG=-AC=-,NG=L

21222l22

.∙.PN=∖JPG2+NG2=—，

2

PM2+MN2-PN2ɪ

.,.cosZ.PMN=

2PMMN4

ɪ

贝IJcosθ=—cos（万一。）二一cos/PMN

4

又丑闻

.,.sinθ-JI-COS2Θ=.

4

故答案为：叵.

4

3维练素养

1.（2022•山东聊城•二模）已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线/是底面所在平面内的一条直线，则

该直线/与母线所成的角的余弦值的取值范围为（）

【答案】A

【解析】设底面圆的半径为，母线长为R，因为圆锥的侧面积等于底面的3倍，

1jr

所以］∙2Q∙R=3Q2,即R=3＞因为直线与直线所成角的范围为0,-,

所以当直线/与底面圆相切时，直线/与母线所成角最大为则该直线/与母线所成的角的余弦值的最小值

为COSl■=（）;

当直线/过底面圆的圆心时，由线面角的定义可知，此时直线/与母线所成角最小，则该直线/与母线所成的

角的余弦值的最大值为g=W=!,

ACR3

即该直线/与母线所成的角的余弦值的取值范围为OT.

故选：A

2.（2022•浙江省义乌中学模拟）直线ɑ,平面α,直线劭平面万，则“力，”是“a/夕’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为直线平面a,直线b〃平面夕，若01:，则a、4平行、相交或重合，

即上山K“a〃£”:

若a〃£,则直线a,平面夕，设过直线6的平面/与平面夕相交，交线为c,

因为直线6〃平面夕，立线力U平面人平面/平面/=直线c,所以，直线6〃直线c,

因为直线aJ∙平面夕，直线CU平面4，所以，直线直线c,故直线直线8,

即“。_LbU"。/夕【

因此，"a1是"W夕’的必要不充分条件.

故选：B.

3.（2022•福建莆田•模拟）莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四

个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成

60。角的次数是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】由题设，在0、6点时相邻钟面上的时针都平行，即夹角为。度：在3、9点时相邻钟面上的时针

垂直，即夹角为90度，

所以相邻钟面上的时针，在0~3、3~6、6~9、9~12点之间各有一次成60。角的情况，故共有4次成60。

角.故选：B

4.（2022•重庆南开中学模拟）如图，在三棱锥A—BCD中，AB=AC=BD=CD=?）,AD=BC=2,M,

N分别是AD,3C的中点.则异面直线AN,CM所成角的余弦值为（）

56

R

A.6--7-

【答案】C

【解析】解：如图，连接BM，取BM的中点。，连接ON，

因为N是8C中点，则ON//CM,

所以NANO（或其补角）就是异面直线AMCM所成的角，

由已知AV=CW=j32-f=2√∑,NO=-CM=y[2,AO=JI、电¥=G，

所以COSRO=生空哗小型

2×2√2×√28

7

所以异面直线AN，CM所成角的余弦值为《

O

故选：C.

A

5.（2022•广东•模拟）已知是空间中两条互相垂直的异面直线，则下列说法正确的是（）

A.存在平面α,使得αuα且b_La

B.存在平面?，使得bu夕且

C.存在平面/,使得a_L?,b_Ly

D.存在平面e,使得

【答案】ABD

【解析】如下图，可知A、B、D都正确，而满足C的平面/不存在.

故选：ABD.

6.（2022•广东•模拟）如图，在正三棱柱ABC-ABe中，AA=248,β>=（1-2）B⅛（0≤Λ≤1）-则下列

结论正确的是（）

A.不存在2,使得异面直线48与GP垂直

B.当X=：2时，异面直线AP和BC所成角的余弦值为热3

C.若Aβ=l,当4=（时，三棱锥P-ABCl的外接球的表面积为T

D.过户且与直线A8和直线BG所成角都是60。的直线有两条

【答案】ABC

【解析】对于A,假设存在;1满足题意，使得ABLC/,又ABL，BBlCGP=P,所以ABj_平面CBAG，

所以Afi_L8C,这与，ABC是正三角形矛盾，所以假设不成立，故A正确；

2T]T

对于B,当2=§时，BP=-BBt,如图1,

取AA靠近点4的三等分点H,连接B4,CH,易得3P∕∕∕M1,BP=H4∣,所以四边形BPAH是平行四边

形，则BH/M1P,所以NCBH或其补角即为异面直线AP和BC所成的角，设AA=2A8=2,则BC=I,

Γ-77SBH=BdH?13

SH=Cff=Jl+-=-,在.8C”中，由余弦定理得c°sNC—一2BH∙BC-'5「历,故B正

V932×-×l

确；

对于C,AA=24B=2,当/=:时，结合正弦定理可得得外接圆的半径2r=-!—=毡nr=3，

2sin60033

设N∖ABIG外接圆的圆心为。I，三棱锥P-A4G的外接球球心为O,半径为R，如图2,

rH↑

易知Oq=T4尸=；,K=0。：+户=氐,所以三棱锥P-AMG的外接球的表面积为勿代=与，故C正

确;

对于D,在平面ABiBA和平面及GCB内，过点尸分别作直线AB和直线与G的平行线和.，由异而宜

线所成的角的定义知：过P的直线与直线AB和直线所成角与过P的直线与直线p。和PE所成角相等，

如图3,过P作4〃OE；

/1

图3

如图4,过P作4，使得/尸PE=NT=PD=60。；

如图5,过P作4，使得/GPE=/GPZ）=60。，共三条，故D错误.

7.（2022•山东威海•三模）已知a、£是两个不同的平面，加、〃是平面a及万外两条不同的直线，给出四

个论断：①加_L〃，②a〃〃，③〃Iβ,@mLa,则正确的是（）

A.②③④n①B.①③④=>②C.①@③D.①②③=>④

【答案】AC

【解析】对于A,箱a〃β,Mla,则，又Y“β,：.m±n,故A正确：

对于B,若m_La,机_1_〃，则"〃a,有="/,；.a与0平行或相交，故B错误；

对于C,若a〃/?,mLa.则/〃_!■ħ，又，：mLn`.,.n∕/β,故CIE确：

对于D,若〃β,a∕∕β,则〃〃a,又则，〃与a平行或相交，故D错误.

故选：AC.

8.(2022•湖北•模拟)已知四面体ABCO中，AB=CD=2,BC=4,AC=BD=2小,直线AB与CC所

π

成角为则下列说法正确的是()

B.A。与8C所成角余弦值一定为W

A.AO的取值可能为2逐

C.四面体ABCC体积一定为延

D.四面体ABC。的外接球的半径可能为2及

3

【答案】ACD

【解析】由题可知，ABlBC,DCLBC,则可将四面体ABC。的四个顶点放入如下图所示的直•:棱柱中,

1TT

考虑到直线48与CD所成角为r,故有如卜两种情况：

对于左图，ZAθE=y,则A£=2,Az)=疹工7=2石；此时A。与5C所成角余弦值为竽：所以选项

A正确；

因为匕∙-F8=(gx2x2χsinq)χ4=4√5,

所以vA-BCD=vF-BCD=VH-FCD=匕IHE-FCT)=:

分别取三棱柱ABE-尸8上下底面三角形的外心G,H,连接GH,则线段G”的中点。即为三棱柱

ABE-FCD外接球球心，也即为四面体ABCD的外接球心,

故四面体ABCD的外接球半径OB=yjOG2+GB2

24

对