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文档简介
宁夏银川九中2023-2024学年高三下学期一模考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.为虚数单位,则的虚部为()A. B. C. D.2.已知椭圆的焦点分别为,,其中焦点与抛物线的焦点重合,且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.3.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.已知集合,,则A. B.C. D.5.已知集合,,若AB,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.三棱锥中,侧棱底面,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.7.函数图象的大致形状是()A. B.C. D.8.设函数,则,的大致图象大致是的()A. B.C. D.9.已知集合,集合,则A. B.或C. D.10.若实数、满足,则的最小值是()A. B. C. D.11.已知符号函数sgnxf(x)是定义在R上的减函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]12.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.双曲线的焦点坐标是_______________,渐近线方程是_______________.14.设数列为等差数列,其前项和为,已知,,若对任意都有成立,则的值为__________.15.在边长为的菱形中,点在菱形所在的平面内.若,则_____.16.已知随机变量服从正态分布,,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知的内角的对边分别为,且满足.(1)求角的大小;(2)若的面积为,求的周长的最小值.18.(12分)如图:在中,,,.(1)求角;(2)设为的中点,求中线的长.19.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记分,“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩,统计结果及对应的频率分布直方图如下所示:等级不合格合格得分频数624(Ⅰ)若测试的同学中,分数段内女生的人数分别为,完成列联表,并判断:是否有以上的把握认为性别与安全意识有关?是否合格性别不合格合格总计男生女生总计(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中,共选取人进行座谈,现再从这人中任选人,记所选人的量化总分为,求的分布列及数学期望;(Ⅲ)某评估机构以指标(,其中表示的方差)来评估该校安全教育活动的成效,若,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?附表及公式:,其中.20.(12分)已知函数,.(1)证明:函数的极小值点为1;(2)若函数在有两个零点,证明:.21.(12分)已知满足,且,求的值及的面积.(从①,②,③这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.)22.(10分)已知x∈R,设,,记函数.(1)求函数取最小值时x的取值范围;(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,求△ABC的面积S的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
利用复数的运算法则计算即可.【详解】,故虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念,注意复数的虚部为,不是,本题为基础题,也是易错题.2、B【解析】
根据题意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【详解】易知,且故有,则故选:B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质,考查了学生的计算能力,属于中档题3、B【解析】
转化为,构造函数,利用导数研究单调性,求函数最值,即得解.【详解】由,可知.设,则,所以函数在上单调递增,所以.所以.故的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.4、D【解析】
因为,,所以,,故选D.5、D【解析】
先化简,再根据,且AB求解.【详解】因为,又因为,且AB,所以.故选:D【点睛】本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.6、B【解析】由题,侧棱底面,,,,则根据余弦定理可得,的外接圆圆心三棱锥的外接球的球心到面的距离则外接球的半径,则该三棱锥的外接球的表面积为点睛:本题考查的知识点是球内接多面体,熟练掌握球的半径公式是解答的关键.7、B【解析】
判断函数的奇偶性,可排除A、C,再判断函数在区间上函数值与的大小,即可得出答案.【详解】解:因为,所以,所以函数是奇函数,可排除A、C;又当,,可排除D;故选:B.【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像,属于中档题.8、B【解析】
采用排除法:通过判断函数的奇偶性排除选项A;通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.【详解】对于选项A:由题意知,函数的定义域为,其关于原点对称,因为,所以函数为奇函数,其图象关于原点对称,故选A排除;对于选项D:因为,故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;故选:B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.9、C【解析】
由可得,解得或,所以或,又,所以,故选C.10、D【解析】
根据约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,得,可得点,由得,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故选:D.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.11、A【解析】
根据符号函数的解析式,结合f(x)的单调性分析即可得解.【详解】根据题意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的减函数,当x>0时,x<ax,则有f(x)>f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此时sgn[g(x)]=1,当x=0时,x=ax,则有f(x)=f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此时sgn[g(x)]=0,当x<0时,x>ax,则有f(x)<f(ax),则g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此时sgn[g(x)]=﹣1,综合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故选:A.【点睛】此题考查函数新定义问题,涉及函数单调性辨析,关键在于读懂定义,根据自变量的取值范围分类讨论.12、C【解析】
根据等差数列的性质设出,,,利用勾股定理列方程,结合椭圆的定义,求得.再利用勾股定理建立的关系式,化简后求得离心率.【详解】由已知,,成等差数列,设,,.由于,据勾股定理有,即,化简得;由椭圆定义知的周长为,有,所以,所以;在直角中,由勾股定理,,∴离心率.故选:C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法,考查椭圆的定义,考查等差数列的性质,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
通过双曲线的标准方程,求解,,即可得到所求的结果.【详解】由双曲线,可得,,则,所以双曲线的焦点坐标是,渐近线方程为:.故答案为:;.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用,考查了运算能力,属于容易题.14、【解析】
由已知条件得出关于首项和公差的方程组,解出这两个量,计算出,利用二次函数的基本性质求出的最大值及其对应的值,即可得解.【详解】设等差数列的公差为,由,解得,.所以,当时,取得最大值,对任意都有成立,则为数列的最大值,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查等差数列前项和最值的计算,一般利用二次函数的基本性质求解,考查计算能力,属于中等题.15、【解析】
以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【详解】解:连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则:设得,解得,,或,显然得出的是定值,取则,.故答案为:.【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.16、0.22.【解析】
正态曲线关于x=μ对称,根据对称性以及概率和为1求解即可。【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)因为,所以,由余弦定理得,化简得,可得,解得,又因为,所以.(6分)(2)因为,所以,则(当且仅当时,取等号).由(1)得(当且仅当时,取等号),解得.所以(当且仅当时,取等号),所以的周长的最小值为.18、(1);(2)【解析】
(1)通过求出的值,利用正弦定理求出即可得角;(2)根据求出的值,由正弦定理求出边,最后在中由余弦定理即可得结果.【详解】(1)∵,∴.由正弦定理,即.得,∵,∴为钝角,为锐角,故.(2)∵,∴.由正弦定理得,即得.在中由余弦定理得:,∴.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查三角函数知识的运用,属于中档题.19、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)不需要调整安全教育方案.【解析】
(I)根据题目所给数据填写好列联表,计算出的值,由此判断出在犯错误概率不超过的前提下,不能认为性别与安全测试是否合格有关.(II)利用超几何分布的计算公式,计算出的分布列并求得数学期望.(III)由(II)中数据,计算出,进而求得的值,从而得出该校的安全教育活动是有效的,不需要调整安全教育方案.【详解】解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知,得分在的频率为,故抽取的学生答卷总数为,.性别与合格情况的列联表为:是否合格性别不合格合格小计男生女生小计即在犯错误概率不超过的前提下,不能认为性别与安全测试是否合格有关.(Ⅱ)“不合格”和“合格”的人数比例为,因此抽取的人中“不合格”有人,“合格”有人,所以可能的取值为,.的分布列为:20151050所以.(Ⅲ)由(Ⅱ)知:.故我们认为该校的安全教育活动是有效的,不需要调整安全教育方案.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验,考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算,所以中档题.20、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.【详解】解:(1)证明:因为,当时,,,所以在区间递减;当时,,所以,所以在区间递增;且,所以函数的极小值点为1(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令,则令,则,所以在单调递增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在单调递减,在区间单调递增,且,又因为,所以,方程关于的方程在有两个零点,由的图象可知,,即.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.21、见解析【解析】
选择①时:,,计算,根据正弦定理得到,计算面积得到答案;选择②时,,,故,为钝角,故无解;选择③时,,根据正弦定理解得,,根据正弦定理得到,计算面积得到答案.【详解】选择①时:,,故.根据正弦定理:,故,故.选择②时,,,故,为钝角,故无解.选择③时,,根据正弦定理:,故,解得,.根据正弦定理:,故,故.【点睛】本题考查了三角恒等变换,正弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
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