专题01分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2个知识点3种题型1个易错点）

专题01分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2个知识点3种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.两个计数原理及其简单应用知识点2.两个计数原理的综合应用拓展1.分类加法计数原理的应用拓展2.分步乘法计数原理的应用拓展3..两个计数原理的综合应用突破1.穷举法在解决实际问题中的运用突破2.用计数原理解决涂色问题【方法二】实例探索法题型1.分类加法计数原理的应用题型2.分步乘法计数原理的应用题型3.两个计数原理的综合应用【方法三】差异对比法易错点：计数时出现“重复”或“遗漏”【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.两个计数原理及其简单应用一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．二、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．例一、单选题1．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（

）A．30种 B．75种 C．10种 D．20种【答案】D【分析】由简单计数原理求不同选法数.【详解】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任选一首播放，不同的选法共有种.故选：D2．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（

）A．6种 B．12种 C．3种 D．9种【答案】A【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】甲､乙两人从3门课程中各选修1门，由乘法原理可得甲､乙所选的课程不相同的选法有（种）.故选：A知识点2.两个计数原理的综合应用一、两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题不同点针对的是“分类”问题不同点各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事例二、多选题3．（2023上·甘肃白银·高二校考期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用分类计数原理即可得解.【详解】当时，分四步：第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案；第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确；当时，分四步：第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案；第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误；当时，分四步：第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案；第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误；当时，分四步：第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确.故选：AD.4．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中学校考阶段练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则（

）A．三次骰子后所走的步数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有27种【答案】BCD【分析】由题意，可得抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到点A处，说明棋子沿正方形逆时针行走了8个单位．由此再分析三次掷出的点数之和为8对应基本事件的个数，讨论每种对应的个数即可.【详解】A、B：由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是，故A错误，B正确；C、D：列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，共有7种组合，前2种组合，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；各有3种结果，共有种结果，其中点数之和超过10的走法为，共有种，故C正确；根据分类计数原理知共有种结果，故D正确；故选：BCD二、两个计数原理的应用用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．拓展1.分类加法计数原理的应用单选题（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知集合，且，用组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为（

）A．14 B．17 C．20 D．23【答案】C【分析】分类求解符合条件的三位数的个数即可.【详解】集合，且，则这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”包含以下三种情况：①十位数是，则百位数可以是中的一个数，个位数可以是中的一个数，即个；②十位数是，则百位数可以是中的一个数，个位数可以是中的一个数，即个；③十位数是，则百位数只能是，个位数可以是中的一个数，即个；综上，符合条件的共有个.故选：C.拓展2.分步乘法计数原理的应用2．单选题（2024·全国·高三专题练习）某游泳锦标赛上有四名运动员甲、乙、丙、丁，他们每人参加项目且每人只能参加一个项目，有三个游泳项目供选择，这四人参赛方案的种类共有（

）A． B． C．12 D．9【答案】A【分析】由分步乘法计数原理即可得到结果.【详解】甲、乙、丙、丁每人均有3种选择，可以采用分步计数原理，得四人参赛方案的种类为．故选：A.拓展3..两个计数原理的综合应用3．（2024上·甘肃·高二统考期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有个.【答案】225【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再分别求出各位上的种数，先用乘法原理求出各类种数，再由加法原理即得.【详解】依题意，五位正整数中“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法：第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种，百位选一个奇数有5种，不同“回文数”的个数为个，第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种，不同“回文数”的个数为，由分类加法原理得，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：个.故答案为：225突破1.穷举法在解决实际问题中的运用1．（2023上·河南驻马店·高二校联考期末）已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为.【答案】12【分析】分是否为0判断即可.【详解】①当时，取范围内任一实数均有实数解，此时有4对；②当时，有解则满足，即，当时，可取的值有、0、2、3，当时，可取的值有、0，当时，可取的值有、0，共有12对.故答案为：12.突破2.用计数原理解决涂色问题2．（2023·全国·高二课堂例题）在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子（如图所示），要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？【答案】种【分析】用表示红色，用表示蓝色，列举出所有不同的涂色方法，结合分类加法计数原理可得结果.【详解】用表示红色，用表示蓝色，用表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色．因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻．涂红色的格子相邻的方法有：、、，共种；涂红色的格子不相邻的方法有：、、，共种．依据分类加法计数原理，李明共有不同的涂法种．【方法二】实例探索法题型1.分类加法计数原理的应用1．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．(1)至少有一个白球的取法有多少种？(2)两球的颜色相同的取法有多少种？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解；（2）根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解；【详解】（1）根据题意分2类完成任务：第一类：白球红球各一个有种，第二类：均为白球，种，所以共有种；（2）根据题意分2类完成任务：第一类：均为白球，种，第二类：均为红球，种，所以共有种．题型2.分步乘法计数原理的应用2．（2023·全国·高二随堂练习）按序给出a，b两类元素，a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b两类中各取1个元素组成1个排列，求a类中选取的元素排在首位，b类中选取的元素排在末位的排列的个数．【答案】120【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】求排列个数需要两步：排首位有10种方法，排末位有12种方法，由分步乘法计数原理得：，所以所求排列个数为120.题型3.两个计数原理的综合应用3．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（

）A．32种 B．128种 C．64种 D．256种【答案】C【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法．故一共有种去法．故选：C.【方法三】差异对比法易错点：计数时出现“重复”或“遗漏”1．（2023下·河南·高二河南大学附属中学校考期中）2025年河南省实行新高考，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地

理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有种．【答案】16【分析】根据题意，可分为三类：（1）若物理和历史同时不选；（2）若选物理，不选历史；（3）若不选物理选历史，结合分类计数原理，即可求解.【详解】由题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，且物理和历史不能同时选择，可分为三类：（1）若物理和历史同时不选，共有种选法；（2）若选物理，不选历史，共有种选法；（3）若不选物理，选历史，共有种选法；由分类计数原理，可得不同的选科情况共有种.故答案为：16.2．（2023·全国·高二课堂例题）某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？【答案】(1)68(2)66【分析】利用分类加法计数原理进行求解【详解】（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目．根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看个不同的节目．（2）因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道共有个正在播放互不相同的节目，所以一台电视机共可以选看个不同的节目．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2003·全国·高考真题）在直角坐标系中，已知三边所在直线的方程分别为，则内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（

）A．95 B．91 C．88 D．75【答案】B【分析】首先确定以为对角线的矩形中整点的个数，再确定上的整点数，最后根据对称性求出△中整点的个数.【详解】由题设，直线分别交x、y轴于、，以高为10，宽为15的矩形内（含边）整数点有176个，其中直线上的整数点有、、、、、，共6个，所以，矩形对角线两侧的三角形中整点的个数为个，综上，△中整点的个数为个.故选：B2．（2022下·广东深圳·高二深圳市光明区高级中学校考期中）某市人民医院急诊科有3名男医生，3名女医生，内科有5名男医生，4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（

）A．180种 B．56种 C．29种 D．15种【答案】A【分析】第一步，从急诊科选派1名男医生和1名女医生，第二步，从内科选派1名男医生和1名女医生，分别求出方案数，再根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】从急诊科选派1名男医生和1名女医生有种方案，从内科选派1名男医生和1名女医生有种方案，根据分步乘法计数原理，该医院总共有种不同的选派方案.故选：A.3．（2021上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考开学考试）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（）A．12种 B．13种C．14种 D．15种【答案】C【分析】根据题意按照一定顺序，将所有的路线列举出来即可.【详解】由题意这只小虫子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE,ABCDPFE,ABPDE,共14种，故选：C4．（2020·高二课时练习）张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【详解】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论．详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为种．故选B．点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”5．（2022下·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（

）A．15种 B．31种 C．24种 D．23种【答案】D【分析】先看一张人民币的取法，再看2张100元人民币的取法，利用分步计数原理计算即可.【详解】除100元人民币以外的3张人民币中，每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去5张人民币全不取的1种情况，所以共有种．故选：D.6．（2023下·高二课时练习）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（

）A．65 B．73 C．70 D．60.【答案】A【分析】根据题意，先由分步计数原理计算可得四人选择3个地方的全部情况数目，再计算汉口江滩没人去的情况数目，分析可得汉口江滩一定要有人去的游览方案数．【详解】解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有种情况，若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖，每人有2种选择方法，则4人一共有种情况，故汉口江滩一定要有人去有种情况，故选：A．7．（2021·高二课时练习）如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（

）种.A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【分析】根据题意分脱落1个、2个、3个和4个，进而列举出所有情况得到答案.【详解】解：按照可能脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，若脱落2个，则有，，，，，共6种情况，若脱落3个，则有，，，共4种情况，若脱落4个，则有共1种情况，综上共有种情况.故选：C.8．（2022下·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味.现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（

）A．36 B．18 C．9 D．6【答案】C【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.【详解】由题可知，中间格只有一种放法；十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；所以不同放法共有种.故选：C.二、多选题9．（2021下·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考阶段练习）第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小刘为五名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（

）A．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有54种B．若每项工作至少安排一人，则有120种不同的方案C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法【答案】CD【分析】对于A，由题意得每人均有4种选法，然后由分步乘法原理可得答案；对于B，将5人分成4组，其中有一组2人，其余各组1，然后将这4组人分配到4个不同的工作中去即可；对于C，先选2人到礼仪工作，剩下的3平均分配到其它3个工作，然后由分步乘法原理可得答案；对于D，按分步乘法原理求解，先选2人排前排，然后剩下3人中身高最高的站后排的最中间，剩下2人排两端即可【详解】解：若五人每人任选一项工作，则每人均有4种不同的选法，不同的选法有45种，故A不正确；若每项工作至少安排一人，则先将五人按分成四组，再分配到四个岗位上，故不同的方案有（种），故B不正确；若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位，其余三人在其余三个岗位上全排列即可，故不同的方案有（种），C正确；前排有种站法，后排3人高的站中间有种站法，所以共有种，故D正确．故选：CD．10．（2021下·江苏苏州·高二苏州中学校考阶段练习）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）A．所有可能的方法有种B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.【详解】所有可能的方法有种，A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.故答案为：BCD11．（2021上·辽宁营口·高二期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（

）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法【答案】ABD【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误.【详解】解：A.从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；C.若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.故选：ABD12．（2022上·高二课时练习）（多选题）已知，，则方程可表示不同的椭圆的个数用式子表示为（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用加法和乘法计数原理和方程=1表示椭圆的限制条件，即可得到方程可表示不同的椭圆的个数用式子表示的正确形式.【详解】方法一：当时，b有3种选择；当时，b有3种选择；当时，b有2种选择，则方程可表示不同的椭圆的个数用式子表示为.方法二：当a在中任取1个，b在中任取1个时，不可以表示椭圆，则方程可表示不同的椭圆的个数用式子表示为.故选：BC三、填空题13．（2021·高二课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有种.【答案】72【分析】利用分步乘法计数原理以及分类加法计数原理即可求解.【详解】下面分两种情况，即C，A同色与C，A不同色来讨论.（1）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种，C，A同色时，C的着色方法为1种，D的着色方法有2种.（2）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种.C与A不同色时C的着色方法有1种，D的着色方法有1种，综上，两类共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(种).故答案为：7214．将红、黑、蓝、黄个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为.(用数字作答)【答案】30【分析】先计算小球放入3个不同的盒子的放法数目，再计算红球和蓝球放到同一个盒子的放法数目，两个相减得到结果．【详解】将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其它2个小球对应3个盒子，共C42A33=36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33=6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6=30.故答案为30【点睛】本题考查排列组合及简单的计数原理的应用，注意用间接法，属于基础题．15．某小区一单元共有6层，每层只有一家住户.已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多有一家收到快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少有一家收到快递，则在同一天这6家住户收到快递的可能情况共有种.（用数字作答）【答案】【分析】采用列举法，分同一天2家有快递、同一天3家有快递两种情况分析即得解.【详解】分两种情况讨论：（1）同一天2家有快递，则所有情况为：（2）同一天3家有快递，则所有可能结果为：综上所述：共种故答案为：【点睛】本题考查了组合的知识以及列举法的应用，考查了学生综合分析，分类讨论的能力，属基础题.16．现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为．【答案】26【详解】分析：从选取的数学杂志的本数入手讨论即可．详解：若选取的三本书没有数学杂志，有1种选法若选取的三本书有1本数学杂志，有种选法若选取的三本书有2本数学杂志，有种选法若选取的三本书有1本数学杂志，有种选法故不同选法的种数为26点睛：本题主要考查分类加法原理和组合的简单应用，属于基础题．四、解答题17．（2023·全国·高二随堂练习）（1）用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？（2）用1，2，3，4，5，6，7可以组成多少个没有重复数字，并且小于60000的正整数？（3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数共有多少个？【答案】（1）360；（2）2899；（3）216.【分析】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法计数原理即得解；（2）根据题意，由分类加法计数原理结合排列数与组合数的计算，即可得到结果.（3）根据题意，由组合数的计算结合分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，有种排法，其他位置上任意排列，有种排法，由分步乘法计数原理，得，共有四位偶数（个）.（2）根据题意，可得，没有重复数字的一位正整数，共有，没有重复数字的两位正整数，共有，没有重复数字的三位正整数，共有，没有重复数字的四位正整数，共有，没有重复数字且小于60000的五位正整数，共有；所以，小于60000的正整数共有（个）.（3）首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再从剩余3个奇数中选择一个有种，从2，4，6三个偶数中选择两个有种，最后进行十位，百位，千位三个位置的全排列，则共有（个）.18．（2023·全国·高二课堂例题）某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？(2)如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？【答案】(1)12(2)【分析】（1）利用分类加法计数原理进行求解；（2）利用分步乘法计数原理进行求解.【详解】（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为3类：第一类，选一名教师主持，有3种选法；第二类，选一名男同