《第一章 集合与常用逻辑用语》考点讲解与同步练习

《第一章集合与常用逻辑用语》考点讲解与同步练习1.1集合的概念【思维导图】【常见考点】考点一集合的判断【例1】下列四组对象中能构成集合的是（）.A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数 D．倒数等于本身的数【一隅三反】1．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品2．下列对象能构成集合的是（）A．高一年级全体较胖的学生B．比较接近1的全体正数C．全体很大的自然数D．平面内到三个顶点距离相等的所有点【例2】由实数所组成的集合中，含有元素的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．5【一隅三反】1．已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合，则中元素的个数为（）A．1 B．5 C．6 D．无数个3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为（）A．1或－1 B．1或3C．－1或3 D．1，－1或3考法二集合的表示方法【例2】用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A、B两点距离相等的点的集合（2）满足不等式的的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）（7）方程的解集【一隅三反】1．用适当的方法表示下列集合：（1）一年中有31天的月份的全体；（2）大于小于12.8的整数的全体；（3）梯形的全体构成的集合；（4）所有能被3整除的数的集合；（5）方程的解组成的集合；（6）不等式的解集.2．用适当的方法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）方程的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.考法三集合中元素的意义【例3】试说明下列集合各表示什么？；；；；.【一隅三反】1．集合是指（）A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点C．第二象限和第四象限内的所有点 D．不在第一、第三象限内的所有点2．下列各组中的M、P表示同一集合的是()①；②；③；④A．① B．② C．③ D．④考法四元素与集合的关系【例4】用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.【一隅三反】1．用符号“”或“”填空：0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.2．设集合，则（）A． B． C． D．3．已知集合，则与集合的关系是（）.A． B． C． D．考法五求参数【例5】若，则a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1【一隅三反】1．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是____．2．已知集合，且，则实数的值为________．3．已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.集合的概念答案解析考点一集合的判断【例1】下列四组对象中能构成集合的是（）.A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数 D．倒数等于本身的数【答案】D【解析】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于，符合集合的定义，正确.故选：.本例题主要考查的是元素的确定性，即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量。本例题主要考查的是元素的确定性，即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量。【一隅三反】1．下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品【答案】C【解析】选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C.2．下列对象能构成集合的是（）A．高一年级全体较胖的学生B．比较接近1的全体正数C．全体很大的自然数D．平面内到三个顶点距离相等的所有点【答案】D【解析】因为A中“较胖”、B中“接近”、C中“很大”均没有明确的标准，所以不能构成集合.D中元素能够成集合.故选：D【例2】由实数所组成的集合中，含有元素的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵，，故当时，这几个实数均为0；当时，它们分别是；当时，它们分别是.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个.故选：A本例题主要考查的是元素互异性，即一个集合中每个元素不能一样或重复本例题主要考查的是元素互异性，即一个集合中每个元素不能一样或重复【一隅三反】1．已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是.综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.故选：C2．已知集合，则中元素的个数为（）A．1 B．5 C．6 D．无数个【答案】C【解析】由题得，所以A中元素的个数为6.故选C3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为A．1或－1 B．1或3C．－1或3 D．1，－1或3【答案】B【解析】因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.考法二集合的表示方法【例2】用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A、B两点距离相等的点的集合（2）满足不等式的的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）（7）方程的解集【答案】（1）集合点，无限集；（2）集合，无限集；（3）集合，无限集；（4）集合，无限集；（5）集合，有限集；（6）集合，有限集；（7）集合，有限集.【解析】（1）因为到A、B两点距离相等的点满足，所以集合点，无限集.（2）由题意可知，集合，无限集.（3）因为偶数能被整除，所以集合，无限集.（4）由题意可知，集合，无限集.（5）因为20以内的质数有，，，，，，，.所以集合，有限集.（6）因为，所以方程的解为，，，，，所以集合，有限集.（7）由题意可知，集合，有限集.本例题主要考查集合的表示方法，列举法一般适用于有限集合且元素个数少；描述法一般适用于有限集合但元素个数多或者无限集合本例题主要考查集合的表示方法，列举法一般适用于有限集合且元素个数少；描述法一般适用于有限集合但元素个数多或者无限集合【一隅三反】1．用适当的方法表示下列集合：（1）一年中有31天的月份的全体；（2）大于小于12.8的整数的全体；（3）梯形的全体构成的集合；（4）所有能被3整除的数的集合；（5）方程的解组成的集合；（6）不等式的解集.【答案】（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）；（3）是梯形；（4）；（5）；（6）.【解析】（1）一年中有31天的月份的全体用列举法表示为{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）大于小于12.8的整数的全体用列举法表示为；（3）梯形的全体构成的集合用描述法表示为是梯形；（4）所有能被3整除的数的集合用描述法表示为；（5）方程的解组成的集合用列举法表示为；（6）不等式的解集用描述法表示为.2．用适当的方法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）方程的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）.【解析】（1）解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为.（2）方程有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为.（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且.（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足，则可用描述法表示为.（5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素y是实数，故可用描述法表示为.考法三集合中元素的意义【例3】试说明下列集合各表示什么？；；；；.【答案】答案见解析【解析】表示的取值集合，由知：，；表示的取值集合，由知：或，或；的代表元素为，表示反比例函数上的点构成的点集；的代表元素为，由知：，表示直线上除了以外的点构成的点集；表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.表示以方程“”和“”为元素的一个二元集.本例题考查的是集合中的元素的意义，元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。本例题考查的是集合中的元素的意义，元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。【一隅三反】1．集合是指（）A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点C．第二象限和第四象限内的所有点 D．不在第一、第三象限内的所有点【答案】D【解析】因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D2．下列各组中的M、P表示同一集合的是()①；②；③；④A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合研究对象是函数值，集合研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C.考法四元素与集合的关系【例4】用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.【答案】【解析】(1)N为自然数集，2是自然数，所以；(2)Q表示有理数，为无理数，所以；(3)Z为整数集，是分数，所以；(4)R表示实数集，所以；(5)N为自然数集，-3不是自然数，所以；(6)Q表示有理数，是有理数，所以.本例题考查元素与集合的关系，即，开口朝向集合背靠元素本例题考查元素与集合的关系，即，开口朝向集合背靠元素【一隅三反】1．用符号“”或“”填空：0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.【答案】【解析】是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则；是有理数，则；是无理数，则故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)2．设集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，所以选项A错误，，所以选项B正确，A,，所以选项C，D错误.故选：B3．已知集合，则与集合的关系是（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴，故有，∴.故选：B.考法五求参数【例5】若，则a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1【答案】D【解析】当时，，当时，集合为不满足互异性，舍去，当时，集合为，满足；当时，，不满足互异性，舍去.故选：.本例题根据题意求参数时，求完参数记得检验元素之间的互异性！！！本例题根据题意求参数时，求完参数记得检验元素之间的互异性！！！【一隅三反】1．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是____．【答案】或【解析】因为集合中至多有一个元素所以方程至多有一个根，当时解得，满足题意当时，，解得综上：或2．已知集合，且，则实数的值为________．【答案】或0【解析】若则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去若则或当时，，符合元素的互异性；当时，，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：或0.3．已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）且；（2）或.【解析】（1）由于中有两个元素，∴关于的方程有两个不等的实数根，∴，且，即，且.故实数的取值范围是且.（2）当时，方程为，，集合；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，此时，若关于的方程没有实数根，则中没有元素，此时.综上可知，实数的取值范围是或.1.2集合间的基本关系【思维导图】【常见考点】考点一集合关系的判断【例1】设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（） B． C． D．【一隅三反】1．（多选题）下列关系中，正确的有（）A． B． C． D．2．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（）A． B． C． D．3．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是()A．B．C．M＝PD．M，P互不包含考点二（真）子集的个数【例2】（1）设集合，则集合的真子集的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）已知为给定的实数，那么，集合的子集的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．不确定【一隅三反】1．已知集合，则的真子集共有（）个A．3 B．4 C．6 D．72．满足的集合M共有（）.A．6个 B．7个 C．8个 D．15个3．已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个考点三集合相等与空集【例3】下列各组集合中，表示同一集合的是（）A．， B．，C．， D．，【一隅三反】1．下列集合与集合相等的是()A． B．C． D．2．给出以下5组集合：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．其中是相等集合的有（）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组考点四已知集合关系求参数【例4】（1）已知集合，，且，则实数的值是（） B． C． D．（2）若集合，集合，若，则实数a的取值范围是（）.A． B． C． D．【一隅三反】1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若B⊆A，则实数m等于（）A．±1 B．－1 C．1 D．02．设集合，，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．3．M={x|6x2-5x+1=0}，P={x|ax=1}，若P⊆MA．{2} B．{3} C．{2,3}1.2集合间的基本关系答案解析考点一集合关系的判断【例1】设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A⊆B．故选D．注意区分：元素与集合的关系为属于或不属于注意区分：元素与集合的关系为属于或不属于，集合与集合间的关系是包含、不包含、真包含【一隅三反】1．（多选题）下列关系中，正确的有（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；选项B:是有理数，故是正确的；选项C:所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的；选项D;由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.2．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选B．3．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是()A．B．C．M＝PD．M，P互不包含【答案】D【解析】由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含，故选D.考点二（真）子集的个数【例2】（1）设集合，则集合的真子集的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）已知为给定的实数，那么，集合的子集的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．不确定【答案】（1）C（2）C【解析】（1）由题可解集合，则集合A的真子集有、、.故选：C.（2）由方程的根的判别式，知方程有两个不相等的实数根，则M有2个元素，得集合M有个子集.选C.求子集或真子集的个数：（1）确定集合中元素的个数（2）代入对应的公式子集与真子集的区分：子集比真子集多了一个子集即集合本身（集合相等）求子集或真子集的个数：（1）确定集合中元素的个数（2）代入对应的公式子集与真子集的区分：子集比真子集多了一个子集即集合本身（集合相等）【一隅三反】1．已知集合，则的真子集共有（）个A．3 B．4 C．6 D．7【答案】D【解析】因为，所以其真子集个数为.故选：D.2．满足的集合M共有（）.A．6个 B．7个 C．8个 D．15个【答案】B【解析】集合M中必含元素a，且为的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个.故选：B.3．已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【解析】∵，且中至多有一个偶数，∴可能为，故选：D．考点三集合相等与空集【例3】下列各组集合中，表示同一集合的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】A选项中，，，集合、都是点集，但集合里的元素是点，集合里的元素是点，所以集合、不是同一集合；B选项中，集合、都是数集，并且它们的元素都相同，所以时同一集合；C选项中，集合是点集、集合是数集，所以集合、不是同一集合；D选项中，集合是数集、集合是点集，集合、不是同一集合.故选：B.同一集合的判断：（1）元素的意义相同（2）元素属性的关系式相同同一集合的判断：（1）元素的意义相同（2）元素属性的关系式相同【一隅三反】1．下列集合与集合相等的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】对：集合中的元素代表点，与集合不同；对：集合中的元素代表点，与集合不同；对：，解得或，与集合元素相同；对：表示两个代数式的集合，与集合不同.故选：C.2．给出以下5组集合：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．其中是相等集合的有（）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】A【解析】对于（1）,中只有一个元素,中有两个元素,3,故、不是相等的集合；对于（2）,,,集合和集合中的元素不同,故、不是相等的集合；对于（3）,,,是空集,中有一个元素0,故、不是相等的集合；对于（4）,,,和中各有一个元素,但元素不相同,故、不是相等的集合；对于（5）,,,和都只有两个元素1,2,所以和是相等的集合综上,只有第（5）组是相等集合故选：A．考点四已知集合关系求参数【例4】（1）已知集合，，且，则实数的值是（）A． B． C． D．（2）若集合，集合，若，则实数a的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】（1）B（2）B【解析】（1）由，知且，经检验符合题意，所以.故选：B（2）集合，若集合B为空集，则，即时满足题意；若集合B不为空集，可得，即，由得解得，综合两种情况可知.故选：B.真子集求参数，要注意检验是否出现集合相等的情况子集求参数，对于不等式要注意端点是否取等号，一般情况下里实外空不取等号。真子集求参数，要注意检验是否出现集合相等的情况子集求参数，对于不等式要注意端点是否取等号，一般情况下里实外空不取等号。【一隅三反】1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若B⊆A，则实数m等于（）A．±1 B．－1 C．1 D．0【答案】C【解析】集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若B⊆A，则，且，又∵,∴无解，∴,解得，经检验符合元素的互异性，故选：C.2．设集合，，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】在数轴上表示和的关系，如下图所示：可知：，故选：．3．M={x|6x2-5x+1=0}，P={x|ax=1}，若P⊆MA．{2} B．{3} C．{2,3}【答案】D【解析】M={x|6x2-5x+1=0}={1∴P=∅，P={13}或P={12}，∴a=0故选D．1.3集合的基本运算【思维导图】【常见考点】考点一交集【例1】（1）设集合，集合，则等于（）A． B． C． D．（2）已知集合，，则（）A． B． C． D．【一隅三反】1．设集合，，则（）A． B． C． D．2.已知集合，，则（）A． B． C． D．3．设集合，，则（）A． B． C． D．考法二并集【例2】若集合，，则（）A． B． C． D．【一隅三反】1．已知集合，若，则B可能是（）A． B． C． D．2.满足条件的所有集合A的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43．已知集合，，那么=()A． B． C． D．考法三补集与全集【例3】已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值是()A．2 B．8 C．-2或8 D．2或8【一隅三反】1．设集合，集合，若，则实数_____.2．已知全集,则的值为______3．设全集，集合，，则a=___________. 考法四集合运算综合运用【例4】已知集合，则集合＝（）A． B． C． D．【一隅三反】1．已知集合，，则（）A． B．C． D．2．已知全集，集合，，则（）A． B．C． D．3．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．考法五求参数【例5】2．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．2.设全集，已知集合或，集合.若，则a的取值范围为（）A． B． C． D．3．设集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若全集，，求实数的取值范围．1.3集合的基本运算答案解析考点一交集【例1】（1）设集合，集合，则等于（）A． B． C． D．（2）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】（1）A（2）C【解析】（1）集合，集合，又集合与集合中的公共元素为，，故选A.（2）集合，.故选：C.交集：两个集合的相同部分的元素所组成的集合单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。交集：两个集合的相同部分的元素所组成的集合单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。【一隅三反】1．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，集合，所以,故选D.2.已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，又，所以，故本题选C.3．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，，，则，故选：A．考法二并集【例2】若集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.并集：两个集合所有元素集中在一起的集合，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性并集：两个集合所有元素集中在一起的集合，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性【一隅三反】1．已知集合，若，则B可能是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，四个选项中只有是集合A的子集.故选：A2.满足条件的所有集合A的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因为，所以，集合A可能为，即所有集合A的个数是4，故选D.3．已知集合，，那么=()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，故选：C考法三补集与全集【例3】已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值是()A．2 B．8 C．-2或8 D．2或8【答案】D【解析】由由已知得；故选D易错点：并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。易错点：并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。【一隅三反】1．设集合，集合，若，则实数_____.【答案】-3【解析】因为集合，，A={0,3}，故m=-3.2．已知全集,则的值为______【答案】2【解析】由补集概念及集合中元素互异性知a应满足分两种情况进行讨论：在A中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合②，故舍去．在B中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合②，故舍去，a=2能满足②③④，故a=2符合题意．答案为：23．设全集，集合，，则a=___________.【答案】【解析】由,可知,即.故.当时,,当时,即,故.不满足.故.故答案为： 考法四集合运算综合运用【例4】已知集合，则集合＝（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，解之得，，则.故选：D.多种集合运算的计算，先算括号内再算括号外，括号外的从左到右计算。多种集合运算的计算，先算括号内再算括号外，括号外的从左到右计算。【一隅三反】1．已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为集合，，所以或，或，所以，所以或，故选A.2．已知全集，集合，，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，则.故选：C.3．已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】全集，集合，则，又集合，因此，.故选：C.考法五求参数【例5】2．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，当时，，解得，符合题意；当时，或，解得或，综上所述，实数a的取值范围是.故选：B作为子集的集合，要分该集合是空集、不是空集两类讨论。作为子集的集合，要分该集合是空集、不是空集两类讨论。【一隅三反】1．若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，∴，即，解得．故选：A．2.设全集，已知集合或，集合.若，则a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵或，∴，若，则，故选：C．3．设集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若全集，，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）（3）【解析】（1）由得，因为，所以，所以，整理得，解得或．当时，，满足；当时，，满足；故的值为或．（2）由题意，知．由，得．当集合时，关于的方程没有实数根，所以，即，解得．当集合时，若集合中只有一个元素，则，整理得，解得，此时，符合题意；若集合中有两个元素，则，所以，无解．综上，可知实数的取值范围为．（3）由，可知，所以，所以．综上，实数的取值范围为．故得解.1.4充分条件与必要条件【思维导图】【常见考点】考法一命题及其判断【例1】（1）下列语句为命题的是（）A． B．求证对顶角相等C．不是偶数 D．今天心情真好啊（2）命题“三角形中，大边对大角”，改成“若，则”的形式，则（)A．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，真命题B．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，假命题C．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，真命题D．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，假命题【一隅三反】1．命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（）A．若两个整数与的和是偶数，则，都是奇数B．若两个整数，不都是奇数，则不是偶数C．若两个整数与的和不是偶数，则，都不是奇数D．若两个整数与的和不是偶数，则，不都是奇数2．命题“若，则”的逆否命题是（）A．若，则，或 B．若，则C．若，或，则 D．若或，则3．若，则的否命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考法二充分、必要条件【例2】（1）设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）不等式成立的一个充分不必要条件是（）A． B．或C． D．或【一隅三反】1.设集合，，则“”是“”的（)A．充分条件 B．必要条件C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件2．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若集合，下列各式是“”的充分不必要条件的是（)A． B． C． D．考法三求参数【例3】已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．【一隅三反】1“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是()A． B．C． D．或2．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．3．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）A． B． C． D．考法四充分性必要性的证明【例4】已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.【一隅三反】1．求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.1.4充分条件与必要条件答案解析考法一命题及其判断【例1】（1）下列语句为命题的是（）A． B．求证对顶角相等C．不是偶数 D．今天心情真好啊（2）命题“三角形中，大边对大角”，改成“若，则”的形式，则（)A．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，真命题B．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，假命题C．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，真命题D．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，假命题【答案】（1）C（2）A）【解析】（1）对于A选项，为不等式，不能判定真假，故不是命题；对于B选项，“求证对顶角相等”为操作命令；对于D选项，为感叹句，不是命题.故选：C.（2））命题中“三角形中”是大前提，条件应该是“大边”，结论是“对大角”，所以正确选项为A.命题的判断：（1）陈述句（2）可以判断对错命题的一般形式：若p则q命题的判断：（1）陈述句（2）可以判断对错命题的一般形式：若p则q命题的逆命题、否命题、逆否命题的改写时，先把原命题改成若p则q【一隅三反】1．命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（）A．若两个整数与的和是偶数，则，都是奇数B．若两个整数，不都是奇数，则不是偶数C．若两个整数与的和不是偶数，则，都不是奇数D．若两个整数与的和不是偶数，则，不都是奇数【答案】D【解析】由逆否命题定义可知：命题“，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是：“若不是偶数，则，不都是奇数”．故选：D．2．命题“若，则”的逆否命题是（）A．若，则，或 B．若，则C．若，或，则 D．若或，则【答案】D【解析】命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”.故选：D.3．若，则的否命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】“若，则”的否命题是“若，则”.故选：C.考法二充分、必要条件【例2】（1）设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）不等式成立的一个充分不必要条件是（）A． B．或C． D．或【答案】（1）B（2）C【解析】（1）化简不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．（2）解不等式，得或，结合四个选项，D是其充要条件，AB是其既不充分也不必要条件，C选项是其充分不必要条件.故选：C.【一隅三反】1.设集合，，则“”是“”的（)A．充分条件 B．必要条件C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件【答案】A【解析】当，集合，，所以正确，即“”是“”的充分条件，所以正确选项为A.2．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，解得，，解得或，“”成立，则“或”成立，而“或”成立，“”不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．若集合，下列各式是“”的充分不必要条件的是（)A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，当时，，反之不成立，即为充分不必要条件，所以正确选项为B.考法三求参数【例3】已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知：可化简为，，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.利用原命题与其逆否命题的等价性，对是利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.【一隅三反】1“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是()A． B．C． D．或【答案】C【解析】因为关于的不等式的解集为，所以函数的图象始终落在轴的上方，即，解得，因为要找其必要不充分条件，从而得到是对应集合的真子集，对比可得C选项满足条件，故选C.2．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，即，解得，由得，若是的充分不必要条件，则，解得，实数的取值范围为，故选：C.3．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.当时，不等式的解集为，此时；当时，不等式的解集为，，合乎题意；当时，不等式的解集为，由题意可得，此时.综上所述，.故选：D.考法四充分性必要性的证明【例4】已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.【答案】见解析【解析】（1）必要性：由，得，即，又由，得，所以.（2）充分性：由及，得，即.综上所述，的充要条件是【一隅三反】1．求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是．【答案】详见解析【解析】充分性：，，方程有实根，设的两根为，，由韦达定理知：，、同号，又，，同为负根；必要性：的两个实根，均为负，且，，．所以命题得证．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.【答案】见解析．【解析】(1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.1.5全称量词与存在量词【思维导图】【常见考点】考点一全称命题的判断【例1】下列命题含有全称量词的是（)A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数【一隅三反】1．下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小2．（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（）A．至少有一个x使成立 B．对任意的x都有成立C．对任意的x都有不成立 D．存在x使成立E.矩形的对角线垂直平分考点二特称命题的判断【例2】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.（1）∀x∈N，2x＋1是奇数；（2）存在一个x∈R，使＝0；（3）对任意实数a，|a|＞0；【一隅三反】1．下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意，总有；存在量词命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．下列命题不是存在量词命题的是（）A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意，是奇数 D．存在，是奇数考点三全称、特称命题真假的判断【例3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:(1)不论取何实数,关于的方程必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)函数图象恒过原点.【一隅三反】1．下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>02．关于命题“当时，方程没有实数解”，下列说法正确的是（)A．是全称量词命题，假命题 B．是全称量词命题，真命题C．是存在量词命题，假命题 D．是存在量词命题，真命题3．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；(3)存在整数x，y，使得；(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.考点四命题的否定【例4】设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是（)A．， B．，C．， D．，【一隅三反】1．下列命题的否定为假命题的是（）A．， B．，C．， D．，2．已知命题，，则命题的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．命题“”的否定为（）A． B．C． D．考点五全称特称求参数【例5】（1）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．（2）若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为()A． B．C． D．（3）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【一隅三反】1．若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（）.A． B． C． D．2．命题“已知，都有”是真命题，则实数的取值范围是（)A． B． C． D．3．已知命题，命题，若p假q真，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是___________.1.5全称量词与存在量词答案解析考点一全称命题的判断【例1】下列命题含有全称量词的是（)A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句【一隅三反】1．下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【答案】C【解析】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.2．（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（）A．至少有一个x使成立 B．对任意的x都有成立C．对任意的x都有不成立 D．存在x使成立E.矩形的对角线垂直平分【答案】BCE【解析】A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题；E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE考点二特称命题的判断【例2】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.（1）∀x∈N，2x＋1是奇数；（2）存在一个x∈R，使＝0；（3）对任意实数a，|a|＞0；【答案】（1）是全称量词命题；是真命题；（2）是存在量词命题；是假命题；（3）是全称量词命题；是假命题.【解析】（1）是全称量词命题.因为都是奇数，所以该命题是真命题.（2）是存在量词命题.因为不存在，使成立，所以该命题是假命题.（3）是全称量词命题.因为，所以不都成立，因此，该命题是假命题.【一隅三反】1．下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意，总有；存在量词命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：B.2．下列命题不是存在量词命题的是（）A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意，是奇数 D．存在，是奇数【答案】C【解析】A、B、D中都有存在量词，是存在量词命题，C中含有量词“任意”，为全称量词命题，故选：C.考点三全称、特称命题真假的判断【例3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:(1)不论取何实数,关于的方程必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)函数图象恒过原点.【答案】见解析【解析】(1)即“所有，关于的方程都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使得方程没有实数解”，真命题；(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题；(3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；(4)即“所有，函数图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使函数图象不过原点”，是假命题.判断命题是特称命题还是全称命题，要注意补上省略词，同时注意判断命题为假命题时，只要能举出反例即可.判断命题是特称命题还是全称命题，要注意补上省略词，同时注意判断命题为假命题时，只要能举出反例即可.【一隅三反】1．下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x