高考数学二轮复习六 函数与导数 03 导数及其应用（解析版）

重点探究跟踪训练

03导数及其应用

1.(2022•曲靖二模)已知函数f(x)=ax2+blnX的图象在点(l,f(l))处的切线方程为y=3x-2,则

a+b=()

A.2B.0C.lD.-2

【答案】A

［解析】因为f(x)=ax2+blnx,所以f(x)=2ax+/,

由题意可知点(Lf(I))在直线y=3x-2上,所以f(l)=3-2=l,

所以鹿ʌ=ɔ=上ɔ解得a=b=l,因止匕a+b=2.故选A.

2.(2022•衡阳月考)若f(x)=2χ3+3mχJ6x+l在&2)上存在单调递减区间,则实数m的取值范围

是().

A.(√2,+∞)B.(2√2,+∞)

C.(-oo,∣)D.(-2,2)

【答案】C

【解析】函数f(x)在g,2)上存在减区间，则有f(x)<0在区间&2)上有解，由

f(x)=6x2+6mx-6=6(x2+mx-1),

得m<；x在区间G，2)上有解,此时令g(χ)='χ,因为g(x)在区间@,2)上单调递减,所以

g(x)<gg)=∣,故m<∣.

3.(2022・重庆模拟)函数f(x)=x+2cosX在［0,兀］上的最大值为().

A.π-2B.-C.2D.-+√3

66

【答案】D

【解析】由题意知,f(x)=l-2sinX,

Λ⅛0≤sinx≤"即*仁［0勺和［若,兀］时『色巨0,即f(x)单调递增；

2.O6

当打⅛inX01,即f(x)单调递减.

26O

.∙.f(x)有极大值f(2)=m+√5,有极小值f(^-)=^-√3,X端点值f(0)=2,f(π)=π-2,Λ

6666

f(¾>tlθ)>f(π)>α¾,

OO

.∙.f(x)在［0㈤上的最大值为红次.故选D.

4.(2022・长春模拟)已知函数y=f(x)的定义域为(a,b),导函数y=f(x)在(a,b)内的图象如图所示,

则函数y=f(x)在(a,b)内的极小值有().

y

讨喻

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】因为极小值点的两侧函数的单调性是先减后增,对应导函数的值是先负后正,由图

得这样的点有1个,所以函数f(x)在区间(a,b)内极小值点的个数是1.故选A.

5.(2022•福建模拟)己知函数f(x)=χ3+kx-k,贝IJ“k<0”是“f(x)有极值”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若f(x)有极值,则Γ(x)=3x2+k=0有两个不等的实数根,所以A=O-4x3k>0,解得k<0.

当k<0时,令F(X)=3χ2+k=0,可得χ=±后，

此时f(x)=x3+kx-k在(-8,-Jq)上单调递增,在(-j∣,旧)上单调递减,在(Jl+8)上单调递

增,所以“k<0”可以推出“f(x)有极值”,所以“k<0”是“f(x)有极值”的充要条件.故选C.

6.(2022.浙江模拟)已知a=ln遮,b=5,c=个则a,b,c的大小关系为(

O).

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】D

【解析】根据题意知,a=ln遍=等,b=e"=空C=等.

5e8

令f(x)=等,则f(x)=臂,

由f(x)<O得x>e;由f(x)>O得0<x<e.

则函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+8)上单调递减，

又e<5<8,所以f(e)>f(5)>f(8),

因此b>a>c,故选D.

7.(2022.四川月考)设函数f(x)是定义在(0,今上的函数,f(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)<tan

Xf(X),f(5=l,e为自然对数的底数,则不等式f(x)<2sinX的解集是().

O

A.(0,T¾rB.(01⅛

62

C职)D塌)

【答案】A

【解析】令g(x)=缁,χG(θ1),因为f(x)<tanxf(x),

所以g,J)=—泮空工COSχ.怨磬生>0,故g(χ)在(09上单调递增，

而g£)=%=2,故f(x)<2sinx,即黑<2,

即g(x)<g(g),故O<x<g即不等式的解集为(Ol),故选A.

OOO

8.已知曲线y二已在点(xι,e*ι)处的切线与曲线y=lnX在点的JnX2)处的切线相同,则

(X1+1)(X2-1)=().

A.-lB.-2C.lD.2

【答案】B

【解析】已知曲线y=e*在点(x∣,e*ι)处的切线方程为y-e"ι=e*ι(x-x∣),即y=βxιx-exιxj÷βxι,

曲线y=lnX在点(X2JnX2)处的切线方程为y-lnX2==(x-X2),即y=^-x-l÷lnx2,

由题意得Ie*2'得X2=E-,e*ι-e"iχι=l+lnX2=-l+lnɪ=-1-xι,JJ!∣JeX1

e1e1I

L^-β⅛=-l+∕nx2,W

又X2=1~,所以X2="所以X2~ɪ≈~~^ɪ——所以(x∣+1)(X2-1)=2.故选B.

χ

eιχ1+lx1+lx1+l

9.(2022・绵阳模拟)给出的①五皿2<1;②Uln3*;③e°2>∣n3三个不等式中,正确的个数为

().

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】令f(x)=W(x>O),则f(x)=上詈,故当*£(0为)时『a)>0,当*£化,+00)时『ɑ)<。,故f(x)

在(0,e)上单调递胤在(e,+8)上单调递减.∙.♦诧<2<e,.∙.f(√i)<f⑵,即等<等,即√F∙ln2>1,即①

错误；

3

Vβ2>3>e,f(β2)<f(3),BPɜ~<-*βP^2∙ln3Yx3==故②正确；

62322

由ex≥x+l(当且仅当x=0时,等号成立)知,e°∙2>l+0.2=1.2,∙.∙3>e,∙∙∙"v^=I∙ln3<2<I.2,Λ

3eee

eα2>ln3,故③正确.

故选C.

10.(2022•河南三模)若过点P(l,λ)最多可作出n(n∈N*)条直线与函数f(x)=(x-l)eX的图象相切,

则下列结论中错误的是().

A.λ+n<3

B.当n=2时,λ的值不唯一

C.λn可能等于-4

D.当n=l时,λ的取值范围是(-00,$U{0}

【答案】B

【解析】不妨设切点坐标为(xo,(x<H)eXo),因为f(x)=xex,所以切线方程为y-λ=x0e^(x-l),

所以(XO-l)exθ-λ=xoexθ(xo-1),整理得λ=-e*。(诏-2xo+l),

所以令g(x)=γX(χ2-2x+l),

则g'(x)=-ex(x2-l),

所以令g'(x)=O得x=±l,所以,当x<-l或x>l时,g,(x)<O,且g(x)<O,

⅛-l<x<l时,g'(x)>O.

因为当X趋近于-8时,g(x)趋近于O,g(-l)=-∕,g(O)=-l,g(l)=O,当X趋近于+8时,g(x)趋近于-8,所

以函数g(x)的大致图象如图所示.

所以,当n=2时,λ=g(-l)=T故B错误；

此时λ+n<3成立，

当n=3时,λ∈(-±0),所以λ+n<3,-23λ<0,-U<4故λn可能等于-4.C正确；

eee

当n=l时,λ∈(-8,q)U{0},显然λ+n<3,故D正确；

综上,λ+n<3,A正确.

故选B.

11.(2022・潍坊三模)过点P(l,m)(m∈R)有n条直线与函数f(x)=xe*的图象相切,当n取最大值

时,m的取值范围为().

A⅛<m<eB⅛<m<θ

C.-ɪ<m<0D.m<e

e

【答案】B

【解析】由f(x)=xe*,得f(x)=(x+l)ex,

故当XV-I时,f(x)<O,f(x)单调递减,且f(x)<O;

当x>-l时,f(x)>O,f(x)单调递增，

结合图象易得,过点P(l,m)(m∈R)至多有3条直线与函数f(x)=xe'的图象相切，

故n=3.

此时,设切点坐标为(xo,yo),则切线斜率k=(xo+l)∙e?

所以切线方程为y-xoβz°=(xo+l)∙ex°(x-xo),

将P(Lm)代入得m=(W+xo+l)∙e*。,又因为存在三条切线,

即函数m=(∙χ2+x+l)∙ex有三个不同的根,

设g(x)=(-x2÷x+l)∙ex,

则g'(x)=-(x-l)(x+2)∙ex,

易得在(21)上,g'(x)>O,g(x)单调递增；

在(-oo,∙2)和(1,+oo)上屈(x)<O,g(x)单调递减，

画出图象可得当g(-2)<m<0,即-Mm<0时符合题意.

故选B.

12.(2022・雨花模拟)若不等式aln(x+l)-2x3+3x2>0在区间(0,+8)内的解集中有且仅有三个整

数,则实数a的取值范围是().

ʌΓ278012780

c∙(⅛>S]d∙⅛+oo)

【答案】C

【解析】令f(x)=aln(x+l),g(x)=2χ3-3χ2,则g'(x)=6x2-6x=6x(x-l).

令g'(x)>O,得x>l或x<0;g,(x)<O,得0<x<l,

.∙.g(x)在(-8,0)和(1,+8)上单调递增,在(0,1)上单调递减，

，在(0,+8)上,g(x)min=g(I)=-I,且g(O)=gφ=O.

如图所示，

当aWO时,f(x)>g(x)至多有一个整数解;

ha>O时,f(x)>g(x)在区间(0,+8)内的解集中有且仅有三个整数,

7(3)>9(3),

只需

7(4)≤9(4),

aln4>2×33-3X32,

即

.aln5<2×43-3X42,

解得为a≤黑.

2ln2InS

故选C.

13.(2022•辽宁模拟)定义在(O,+8)上的函数f(x)满足f(x)+xf(x)=},f(l)=l,则f(x)的零点

是.

【答案】-

e

［解析］令F(x)=xf(x)-lnX,则F,(x)=f(x)÷xf(x)-p

乂f(x)+xf(x)=*所以F(X)=f(x)+xf(x)-=0,

则函数F(X)为常数函数,又F(I)=I×f(l)-ln1=1,

所以F(X)=Xf(X)-InX=Inf(X)=、竺，

令得X--.

f(x)=O,e

14.对于三次函数f(x)=aχ3+bχ2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0)有如下定义:设f(x)是函数f(x)的导函

数F(X)是函数f(x)的导函数,若方程F(X)=O有实数解m,则称点(m,f(m))为函数y=f(x)的“拐

点”.若点(1,-3)是函数g(x)=χ3-aχ2+bx∙5(a,b∈R)的"拐点”,也是函数g(x)图象上的点,则当x=4

时,函数h(x)=k>g4(ax+b)的函数值是.

【答案】2

【解析】g<x)=3χ2-2ax+b,g"(x)=6x-2a,

由拐点定义知x=l时£〃(1)=6・22=0,解得a=3,

又g(l)=3即l・a+b