2023年高考数学一轮复习习题：第九章第8节　微课1　定点问题

第8节圆锥曲线的综合问题

微课1定点问题

小题型分类突破一

题型一直线过定点问题

【例1】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(l,2)为抛物线C上一点.

(1)求抛物线C的方程；

⑵若点伙1,一2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与8Q,如总/无。=一2,

求证：直线PQ过定点.

(1)解若抛物线的焦点在X轴上，设抛物线方程为V=0r,代入点41,2),可得α=4,所

以抛物线方程为y2=4x.

若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为/=如代入点A(l,2),可得m=；,所以抛物

线方程为f=$,.

综上所述，抛物线C的方程是γ2=4x或*=%.

(2)证明因为点8(1,—2)在抛物线C上，所以由(1)可得抛物线C的方程是γ2=4x.

易知直线BP,8。的斜率均存在，设直线8P的方程为y+2=k(χ-l),

将直线BP的方程代入尸=4无，消去y,得

k2x2~(2k1+4k+4)x+(k+2)2=0.

设Pg)-亨，所以修，竿)

2

用一不替换点P坐标中的可得。((左一1尸2—2k),从而直线PQ的斜率为

2&+4___

k_2+2女_______2⅛3+4∙__________2k

/+2)2；=一公+2/+必+4=-F+2Z+2'

/-(I)-

故直线PQ的方程是

在上述方程中，令x=3,解得y=2,

所以直线尸。恒过定点(3,2).

感悟升华圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数

何时没有关系，找到定点.

(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

【训练i】已知点P(一i,|)是椭圆c：、+E=Im>6>0)上一点，n,B分别是椭圆的左、

右焦点，∣PF∣∣+∣PF2∣=4.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线/不经过P点且与椭圆C相交于A,B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1,

问：直线/是否过定点？证明你的结论.

解(1)由IPFIl+∣PF2∣=4,得α=2,

又不一1,§在椭圆上，

代入椭圆方程有点+卷=1,解得b=小,

所以椭圆C的标准方程为市+《=1.

(2)当直线/的斜率不存在时，A(xl,yι),B(x↑,一》),

33

y∣-2-y'-2

攵l+%2=I=1,解得R=-4,不符合题意；

Xl十11

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程)，="+加，

Aa1,ʃl),B(X2,》2),

[y=kx+m

由j'32+42—i12—0整理得(3+4F)X2+8而优+4那-12=0,

-8km4∕Π2—12

2

XI+X2=3+4⅛2∙XlX2=3+4F，∕=48(4*-〃P+3)>O.

由k∖+⅛2z=1)整理得(21一I)XIX2+(k+:”—3(笛+尤2)+2加一4=0,

即(〃7—4⅛)(2∕n—2k—3)=0.

3

当%=k+2时，此时，直线/过尸点，不符合题意;

当机=4后时，/=4Q-∕+3>0有解，此时直线/：y=k(x+4)过定点(-4,0).

题型二其他曲线过定点问题

【例2】已知椭圆G：，+1=13»>0)的左、右顶点分别是双曲线C2：的左、

右焦点，且Cl与C2相交于点(¥，用.

⑴求椭圆G的标准方程；

(2)设直线/：)，=丘一寺与椭圆G交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点？若

恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.

解(1)将殍，空I代入彘一)2=1,解得机2=1,

Λα2=∕n2÷1=2,

将住¥，坐)代入号+1=1，解得从=1，

.∙.椭圆G的标准方程为苧+y2=1.

(2)设A(X1,jι),B(X2,”),

y^kx-y

ɔ'整理得(9+18后)『一12H-16=0,

{沙产1，

・I12⅛~~16

2

..汨十X2=9+]8λ2,XlX2=9+i8⅛'

/=144^+64(9+18d)>0.

由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，则定点必在)，轴上.

设定点为M(O,y0),则

MA=(X1,y∣-yo),MB=(X2,y2~yo)

MAMB=x↑x2+(yι-yo)(y2~yo)

,,

=xιx2+yι>2-yo(j∣+”)+%

=XIX2+⅛⅛X2-*x∣+x2)-.w[MXl+%2)-1

=(1+⅛2)x1x2—G+yo)(xι+x2)+>⅞+∣y0+∣

18(Y。-1)标+94+6丫0-15C

=9+⅞^=0,

W-ι=o,

∙,∙ι,解得yo=1)

[9州+l6为—15=0,

.∙∙M(O,1),

.∙.以线段AB为直径的圆恒过定点(0,1).

感悟升华(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜

想，如直线的水平位置、竖直位置，即上=0或A不存在时.

(2)以曲线上的点为参数，设点P(X1,Vi),利用点在曲线1X,v)=0±,即火Xi,y∣)=0消参.

【训练2】(2021.湖南三湘名校联考)已知椭圆C：，+方=l(a>b>l)的离心率为坐，其

上焦点到直线⅛x+2^-√2=0的距离为卓.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点尸(；，0)的直线，交椭圆C于A,8两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若

过，求出定点坐标：若不过，请说明理由.

解(1)由题意得，e=?=当，又层=/+/,

所以Q=啦b,c=b.

又竿乎=坐，a>m所以层=1，层=2,

y∣4a^+bzɔ

故椭圆C的方程为轩X2=L

(2)当AB_Lx轴时，以线段AB为直径的圆的方程为(x—§2+V=$.

当ABLy轴时，以线段AB为直径的圆的方程为Λ2+∕=1.

可得两圆交点为Q(—1,0).

由此可知，若以线段AB为直径的圆恒过定点，则该定点为。(一1,0).

下证Q(-1,0)符合题意.

设直线/的斜率存在，且不为0,

其方程为y=(χ—3)，代入5+f=l,

O1

并整理得(Q+2)x2-w⅛⅜+g⅛2-2=0,

设Aa1,yι)98(x2,竺),

2⅛2⅛2-18

则汨+"2=亚耳亓小2=贝西天

所以Q4而=α∣+l)(x2+∖)+y∖y2=x∖x2+x∖+x2+1+sQ∣-9(x2—9

=(1+d)XM2+(l—；F)(Xl+x2)+ɪ

=α+a⅛⅛+(∣-H∙⅛⅛+1+9^2=0'

故宓，砺，即。(-1,0)在以线段AB为直径的圆上.

综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(一1,0).

♦题型跟踪训练

1∙(2019∙北京卷)已知椭圆C^+R=im>b>O)的右焦点为(1,0),且经过点A(0,l)∙

(1)求椭圆C的方程；

⑵设。为原点，直线/：丁=履+2#±1)与椭圆C交于两个不同点P,。，直线AP与X轴交

于点M,直线A。与X轴交于点N.若IoMHoM=2,求证：直线/经过定点.

(1)解由题意，得庐=1,c=l,

所以a2=b2+c2=2.

所以椭圆。的方程为5+y2=l.

⑵证明设Pa1,ʃi),Q(X2,”)，

则直线AP的方程为y="∙χ+1.

ʌl

令y=0,得点M的横坐标项=——.

ʃɪ-1

又yι=H∣+f,从而IoM=IxMI=51-

X2

同理，QNl=Ax2+/-1-

(y=kx+tf

由jq+得(l+2F)f+4J⅛X+2尸一2=0,

则/=(41)2-4(1+2^)(2'—2)=i6*2-8∕2+8>0.

口,4kt2尸一2

且汨+及=-MX2=∙∩工后

所以IoM∙QN=∣I⅛i∣∙∣^⅛i

____________WC2___________

^k1x∖x2+k(t-l)(x∣+x2)+(t-1)2

2»—2

____________l+2⅛2_____________

*∙⅛⅛+M'一∣)(-T⅛)+('-i)2

又IOMMoNl=2,所以2H=2.

解得f=0,满足/>0,所以直线/经过定点(0,0).

2.(2021•深圳模拟)已知椭圆C：，+W=Im>">°)的左、右焦点分别为人，F2,点尸(1,明

3

满足IPQl+IPBI=24,且S4PQF2=E∙

⑴求桶圆C的标准方程；

⑵过点用(4,0)的直线/与C交于4(尤”y∣),8(X2,/2)两点，且问在X轴上是否存

在定点N,使得直线24,NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形？若存

在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由.

解⑴因为IPFIl+∣PF2∣=2α,所以点尸(1,坐|在椭圆C上.

将(1,明代入a⅛ι,得9⅛=∣∙①

设椭圆C的焦距为2c,则S"QF2=∕∙2c∙坐=|,求得c=√l

从而/—庐=3.②

由①②可得〃2=4,⅛2=1.

所以椭圆C的标准方程为t+y2=l∙

(2)显然直线I的斜率存在且不为0,设直线I的方程为y=k(χ-4).

设A(X1,y∣),B(X2,”).

假设存在点NQ,0),因为直线NA,NB与)