2023年高考数学一轮复习习题：第八章第1节　空间几何体的结构、三视图和直观图

第八章DIBAZHANG

8立体几何

第1节空间几何体的结构、三视图和直观图

考纲要求1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实

生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易

组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图;

3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

知识分类落实，回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

-S-

D'D'

志S

图形胤

ABAB

AB

底面互相平行且全察-多边形互相平行且相不T

相交于一点,但不

侧棱平行且相等延长线交于一点

一定相等

侧面形状平行四边形一三角形梯形

(2)旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

ɪ

α

图形

I

互相平行且相等，二

母线相交于一点延长线交于一点

垂直于底面

轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆

侧面展矩形扇形扇环

开图

2.直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：(1)原图形中X轴、y轴、Z轴两两垂

直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为45。(或135。)，z'轴与x'轴、y'轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于尤轴和Z轴的线段

在直观图中保持原长度丕变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的二

3.三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的国t方、正左方、正

上方观察几何体画出的轮廓线.

(2)画出的三视图要长对正，高平齐,宽相等.

•——常用结论与微点提醒

1.常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆.

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图二者为全等的等腰三角形.

(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图二者为全等的等腰梯形.

(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图二者为全等的矩形.

2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表

示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.

3.直观图与原平面图形面积间关系Siif.m.

诊断自测

►•思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()

(3)菱形的直观图仍是菱形.()

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.

(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.

(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形，但邻边不一定相等，(3)错误.

（4）球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形，其俯视图为圆心

和圆，正方体的三视图不一定相同.

〉教材衍化

2.在如图所示的几何体中，是棱柱的为（填写所有正确的序号）.

答案③⑤

解析由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.

3.如图，长方体ABCD-A1B'C'D1被截去一部分，其中EH/∕A'.剩下的几何体

是（）

解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.

►•考题体验

4.（2021・兰州一中调研）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。的等腰

梯形，已知直观图04'B1C的面积为4,则该平面图形的面积为（）

答案C

解析由5,京国影=2√∑S,现国，得S房国彩=2∙∖∕^X4=8^∖∕^.

5.（2018・全国Ill卷）中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫梯头，凹进

部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是样头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构

件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

Wf

视

ABCD

答案A

解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，梯头看不见，所以是虚线,

结合棒头的位置知选A.

6.设四面体ABC。各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，

则aSQO在四面体的面上的射影不可能是（）

答案A

解析设BC的中点为P,则由题意可知OPLBC且平面Az）PJ_平面8OC,从而S在平面

BCO上的射影在OP上，Z∖SQO在面BCO上的射影为选项C,同理ASQD在面4BC、面

ACO上的射影分别为选项B、D,故选A.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一空间几何体的结构特征自主演练

I.给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.ɪC.2D.3

答案A

解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线

为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个

同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱

延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.

A∣

S'

2.以下四个命题中，真命题为（）

A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

B.底面是矩形的平行六面体是长方体

C.直四棱柱是直平行六面体

D.棱台的侧棱延长后必交于一点

答案D

解析A中等腰三角形的腰不一定是侧棱，A是假命题，B中，侧棱与底面矩形不一定垂直，

B是假命题，C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，C不正确，根据棱台的定义，选

项D是真命题.

3.若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出发的三

条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体ABCQ-ABlGA的顶点为四面体的顶点，

可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为（）

A.2,8B.4,12C.2,12D.12,8

答案A

解析因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体.因为长

方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的，所以长方体中有8个直角四面体.

感悟升华1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念，要善于通过举

反例对概;念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.

2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的

关系.

3.既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的

解题策略.

考点二空间几何体的三视图师生共研

【例1】（1）（2020•全国Il卷）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在

正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为M则该端点在侧视图中对应的点为（）

A.EB.F

C.GD.H

⑵某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应

点、为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从M到N的路

径中，最短路径的长度为()

A______________

c≡]

B

A.2√17B.2√5C.3D.2

答案(I)A(2)B

解析(1)根据三视图可得直观图如图所示，图中的点U在正视图中对应的点为M,在俯视

图中对应的点为N,所以该端点在侧视图中对应的点为E

(2)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2,底面周长为16.画出该

圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接则MS=2,SN=4,则从M到N的路径中，最

短路径的长度为W=√Λ∕S2+SM=√22+42=2√5.

N

图②

感悟升华1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟

悉常见几何体的三视图.

2.由三视图还原到直观图要抓住关键几点:

(1)根据俯视图确定几何体的底面.

(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面

的位置.

(3)确定几何体的直观图形状.

(4)要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图形成原理.

【训练1】(1)如图所示，在正方体ABC。-AIBlCIQl中，E为棱BBl的中点，过点A,E,

C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()

AB

(2)(2021・邯郸检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为()

A.2√2D.4√2

答案(I)C(2)C

解析(1)如图(1)所示，过点A,E,C∣的截面为AECF,则剩余几何体的侧视图为选项C

中的图形.

图⑵

(2)由三视图知，该几何图是如图(2)所示的四棱锥4-8CG8∣.

易知AG为最长棱，

因此AC,=√42+22+22≈2√6.

考点三空间几何体的直观图多维探究

角度1水平放置的直观图

【例2】已知等腰梯形ABCO中，上底Cc=1,腰4O=CB=√Σ下底AB=3,以下底

所在直线为X轴，则由斜二测画法画出的直观图MB'C'D1的面积为.

较案范

口2

解析如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.

因为OE=4（√¾2-1=1,

由斜二测画法可知o'E,=1,

∏2

E,F=%D,C=1,A'B'=3,

则直观图A'B'C'D'的面积S'=g°X乎=坐.

感悟升华1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”（两坐标轴成45。

或135。）和“二测”（平行于y轴的线段长度减半，平行于X轴和Z轴的线段长度不变）来掌握.

2,按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：Stw=

【训练2]如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为45。、腰

和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）

A.2+√2B.l+√2

C.4+2√2D.8+4√2

答案D

解析由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示.

由于。'D'=2,D1C=2,

.∖OD=4,DC=2,

过£>'作。'H±A'B1,易知4'λ∕≈2sin45°=√2.

：.AB=A1B'=2A'∕7+DC=2√2+2.

）

故平面图形的面积S=LWAC=4（√⅛）.

角度2几何体的直观图中计算

【例3】（2020•新高考山东卷）已知直四棱柱A8Cf>-48ιC∣O∣的棱长均为2,ZBAD=60o.

以Dl为球心，小为半径的球面与侧面BCGBI的交线长为.

答案与

解析如图，连接BB,易知48∣CQl为正三角形，所以BQ=CQl=2.分别取BiG,88∣,

CCl的中点M,G,H,连接。ιM,DiG,DxH,则易得DIG=DIH=y^+F=m,D1MI

B1C1,且DIM=4.

由题意知G,”分别是B8∣,CG与球面的交点.在侧面BCGB内任取一点P,使MP=也,

连接Z）∣P,则DιP=7DιM2+Mp2=q他p+W）2=yβ,连接MG,MH,易得MG=MH=

√2,故可知以M为圆心，啦为半径的圆弧GH为球面与侧面BCGBl的交线.由N8∣MG=

∕C∣MH=45。知NGMH=90。，所以GH的长为:X2τtX√i=与.

感悟升华1.本题求解的关键是明确球面与侧面BCC由I交线的位置，从而转化为以M为圆

心，以M”=也为半径的圆弧GH的计算.

2.题目考查直四棱柱的结构特征与直观图，核心素养是直观想象和数学运算.

【训练3】（2020•全国I卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一

个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则

其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

答案C

解析如图，设正四棱锥的底面边长BC=”,侧面等腰三角形底边上的高PM=〃，则正四

棱锥的高Po

2

.∙.以Po的长为边长的正方形面积为Λ2-f,

一个侧面三角形面积为5/2,

“21、〜

..."一1=于/?,Λ4Λ2-2a∕z-a2=0.

则a=（小一1Mj1.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.下列说法中，正确的是（）

A.棱柱的侧面可以是三角形

B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形

C.正方体的所有棱长都相等

D.棱柱的所有棱长都相等

答案C

解析棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错

误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确.

2.如图为一圆柱切削后的儿何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（）

答案B

解析由圆柱切削后的几何体及其正视图知，截得的截面为椭圆，结合正视图，可知侧视图

应该是从实物图的左边正投影，右边的轮廓线为不可见轮廓，故用虚线表示，故选B.

3.一个菱形的边长为4cm,一内角为60。，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积

为（）

A.2∙∖∣3∣cm2B.2y[βcm2C.4∙∖∣6cm2D.8小cm2

答案B

解析直观图的面积为乎又乎X42=2&（Cm2）.

4.如图为某个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）

正视图侧视图

俯视图

A.圆锥B.三棱椎C.三棱柱D.三棱台

答案C

解析由三视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，故选C.

5.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，

指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是（）

A.圆面B.矩形面

C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面

答案C

解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶

水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面.

6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下面的四个图中可以作为该几何体

解析由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确.

7.如图，在四棱锥P-ABC。中，力J_平面4Ba）,底面ABC。是平行四边形，NACB=90。,

AB=nPA=BC=∖,则此几何体的侧视图的面积是（）

P

答案D

解析由题知，BCLAC,BCVPA,又AC∩∕¾=A,

.∙.BC，平面∕¾C,该几何体的侧视图为直角三角形，两直角边长分别等于物的长与AC

的长，VAB=√2,BC=I,.∙.AC=1=B4,二侧视图的面积S=1X1=/

8.已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，

则该四面体的四个面中直角三角形的个数为()

俯视图

答案A

解析在棱长为1的正方体中作出该几何体的直观图，记为四面体O—A8C,如图，由图可

知在此四面体中，Z∖ABC,∆DAB,∕∖DAC,AOBC都是直角三角形.

二、填空题

9.如图是水平放置的正方形ABe。，在直角坐标系Xoy中，点B的坐标为(2,2),则由斜二测

画法画出的正方形的直观图中，顶点8'到x'轴的距离为.

箕案也

口>κ2

解析利用斜二测画法作正方形ABCo的直观图如图,

在坐标系x'0'y'中，∖B'C'|=1,Nx'C'B'=45。.

过点）作x'轴的垂线，垂足为点O'.

在RtAB'£>'C'中，∣B'D'∣=∣B,C'∣sin45°=lX^=2^~.

10.下列结论正确的是（填序号）.

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥

②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

答案④

解析如图1知，①不正确.如图2,两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋

转体，则②不正确.

s

Sl

若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底

面，侧棱长必然要大于底面边长，③错误.由圆锥母线的概念知，④正确.

11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍薨，下

广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形

的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”

已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为丈.

答案8

解析由题意可知该楔体的侧视图是等腰三角形，它的底边长为3丈，相应高为2丈，所以

腰长为、22+（1>4丈）,所以该楔体侧视图的周长为3+2X∣=8（丈）.

12.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点

P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点尸处.若该小虫爬行的最短路程为46m,则圆锥

底面圆的半径等于m.

4

答案3

解析圆锥顶点记为0,把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形,

由题意0P=4,PP'=4√3,

E，，42+42-(4√5)2

则COSZPOP'=―F

又/POP'为∕∖POP'一内角，所以/POP'=∙y.

设底面圆的半径为r,则2口=守义4,所以r=*

B级能力提升

13.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几

何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣

合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图1,图2中四边形是为体现其直观性所作的

辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）

图1

图2

A.a,bB.α,cC.c,b