2023版高考数学一轮复习讲义：第六章数　列6-4 数列求和及综合应用

第四节数列求和及综合应用

,最新考纲,

1.掌握等差、等比数列的前〃项和公式.

2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决与前,

项和相关的问题.

・考向预测•

考情分析：数列分组求和、错位相减求和、裂项相消求和仍是高考考查的热点，题型仍

将是以解答题为主.

学科素养：通过非等差、等比数列求和问题考查逻辑推理、数学运算的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记6个知识点

1.公式法求和

(1)等差数列求和公式：

c-∏(a1+an)-

(2)等比数列求和公式:

nəɪ,q=1,

S"==,q≠l.

ι-q------1

2.裂项相消法求和

把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法.

3.错位相减法求和

(1)适用的数列：｛〃滴“｝，其中数列｛%｝是公差为d的等差数列，｛儿｝是公比为qWl的等

比数列.

(2)方法：设S∣="自+〃2岳H-----∖-anbn(*),

则qS”="1包+(∕2⅛3H-----∖-a,,-ιb,ι+anbn+1(**),

(*)一(**)得：(∖-q)Sn=a↑bι+d(b2+bj-｛------∣-⅛,l)-o,,⅛,,+∣,就转化为根据公式可求的和.

4.倒序相加法求和

如果一个数列｛““｝与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与

倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前〃项和即可用倒序相

加法，例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.

5.分组求和法求和

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时

可用分组转化求和法，分别求和而后相加减.例如已知%=2"+(2〃-1),求S,.

6.并项求和法求和

把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、

负相间出现或呈现周期性.形如如=(一1)7(〃)类型，可采用两个项合并求解.例如：s,,=ιoo2

-992+982-972+∙∙∙+22-l2=(1002-992)+(982-972)+∙∙∙+(22-l2)=(100+99)+(98+97)

H------1-(2+1)=5050.

二、必明2个常用结论

1.一些常见数列的前"项和公式

⑴1+2+3+4+…+〃=的罗；

(2)1+3+5+7+,,,+2/7-1=n2;

(3)2+4+6+8+…+2〃=层+"

2.三种常见的拆项公式

(1)—--=-———；

^n(n+l)nn+l'

(2)------------=-(―---------—

z(2n-l)(2n+l)2k2n-l2n+Y'

⑶√H+√Hτi=Vri+1-瓜

三、必练4类基础题

(一)判断正误

I.判断下列说法是否正确(请在括号中打“J”或“X”).

(1)如果数列｛斯｝为等比数列，且公比不等于1,则其前〃项和＜=必4i.()

ι-q

(2)当〃22时，⅛4(⅛-⅛)∙()

2j

(3)求Sn-a+2a+3a-∖-----bɑɑ"时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减

法求得.()

(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序相加求和法，利用此法可求得sin2lo+sin22o

+sin230H------Fsin2880+sin2890=44.5.()

(二)教材改编

2.［必修5∙P√Γ4改编］数列｛斯｝的前〃项和为S”若斯=∙J,则S5等于()

n(nτ+l)

A.1B.-C.-D.—

6630

3.［必修5R门4⑴改编偌数列｛斯｝的通项公式为‰=2n+2n-b则数列｛%｝的前n项和

为.

(三)易错易混

4.(不能准确分组)已知数列｛α,｝的通项公式为‰=(-l)"(2n-2),则数列｛α,J的前n项

和Sn-•

5.(不能准确拆项)等差数列｛斯｝的前八项和为S”的=3,S=IO,则2忆芥=.

4ɔk

(四)走进高考

6.［2020∙全国卷HJO-I周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a∣a2…a”…满足

ai∈｛0,l｝(i=l,2,•••),且存在正整数m,使得ai+πι=ai(i=1,2,…)成立，则称其为0—1

周期序列，并称满足ai+nι=ai(i=l,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为

z

m的0—1序列aιa2-an"∙,C(k)=^∑∙^1aiai+k(k=l,2,•••,m—1)是描述其性质的重要

指标.下列周期为5的0—1序列中，满足C(k)WKk=1,2,3,4)的序列是()

AIlOlO-B.IlOll-

C.10001—D.11001-

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一分组转化法或并项法求和［综合性］

［例IJ(l)［2022∙湖北大冶六中月考］已知数列｛an｝的前n项和为Sn=I-4+7—10+…+

(-1)"l(3n-2),则S2ι=()

A.30B.31

C.-30D.-31

11

(2)已知数列｛a11｝中，a∣=a2=l,an+?=1%+?，是数'则数列｛加｝的前20项和为

(2an,n是偶数，

()

A.1121B.1122

C.1123D.1124

听课笔记：

反思感悟1.分组转化法求和的常见类型

(1)若atl=bn±Cn,且｛bn｝,｛c11｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求｛atl｝的前n项

和.

fhn为奇数

n，

(2)通项公式为a11='的数列，其中数列｛bj,｛品｝是等比数列或等差数

Icn,n为偶数

列，可采用分组求和法求和.

2.并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如aɪɪ=(-l)nf(n)类

22222

型，可采用两项合并求解.例如Sn=IOO-99+98-972+...+2-I

=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.

【对点训练】

1.［2022∙四川省成都市检测］已知数列｛a1>｝是等差数列，且as=l,Sl6=24,数列｛1｝是

递增的等比数列且b∣+b4=9,b2b3=8.

(1)求数列｛a11｝的通项公式a。；

(2)求(a1+b1)+(a3+b3)+(a5+b5)H-----H(a2n-∣÷b2n1).

2.［2022∙江苏省扬州市高三模拟］已知等差数列｛a11｝和等比数列｛b11｝满足：a∣=b∣=2,且

a2-l,a3,a6-1是等比数列｛b1>｝的连续三项.

(1)求数列｛all｝,｛bj的通项公式；

(2)设Cn=(-1W2(anan+ι)+∕og2bn,求数列｛5｝的前10项和T∣o.

考点二错位相减法求和［综合性］

［例2J［2022.湖南省永州市测试］已知数列｛a11｝的前n项和为S∏,且Sn÷ι-2Sn=Sn-2Sn

-∣(n'2),aι=2,a2=4,

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)求数列｛(2n—l)∙a11｝的前n项和T„.

听课笔记：

反思感悟

1.掌握解题“3步骤”

(巧?拆卜-把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通

项的和，并求■由等比数列的公比

国士?求出前"项和的表达式，然后乘以等比数列的

也苒―I公比，两式作差一~

(得喜论卜阿据差式的特征进行准确求和)

2.注意解题“3关键”

(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

(2)在写出“Sn"与''qSn''的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出

uw

Sn-qSn的表达式.

(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q=l和qWl两种情

况求解.

3.谨防解题“2失误”

(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.

(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n—1项和当作n项和.

【对点训练】

［2022•河南高三月考］已知数列｛a11｝满足aι=l,an+l-2an+2=0.

(1)求数列｛al,｝的通项公式；

(2)若bn=na11,求数列｛b11｝的前n项和S»

考点三裂项相消法求和I综合性］

角度1形如a=∙⅛型

tlnτ(n+k7)

［例3］［2022•商丘市高级中学测试］已知等差数列｛all｝的公差为d,前n项和为S”S4=

a,+9,且S9=5a/

(1)求数列｛a,,｝的通项公式；

(2)设bn=含户，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

ɔnʒn+1

听课笔记：

反思感悟利用裂项相消法求和的注意事项

(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.

(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相

等.例如，若｛“｝是等差数列，则分-We一:)，ɪ^(ɪ-ɪ).

aaazαaa

nn+ιαana∏+ι3∏n+2nn+2

角度2形如a，，=f型

［例4J数歹∣J｛a11｝满足aι=l,λ∕ɑJ÷2=an+ι(n∈N*).

(1)求证：数列｛a分是等差数列，并求出｛斯｝的通项公式；

(2)若bn=——，求数列｛b"｝的前n项和.

an+an+l

听课笔记：

【对点训练】

1.［2021∙湖南湘西州期末］已知函数y(x)=d的图象过点(4,2),令a"=f(n+S+f(n),"GN*∙

记数列｛%｝的前“项和为S”则S2O2O=()

A.√2019-1B.√2020-1

C.√2021-1D.√2021-1

2.［2022∙四川省遂宁市检测］已知数列｛斯｝中，。2=［，如=加+2。皿+1.

(1)求数列｛4,,｝的通项公式；

(2)令｛需祟｝的前八项和为T“，求证：Tn<^.

考点四与数列有关的综合问题［综合性］

角度1数列与函数结合

［例5］已知数列伍”｝满足小+2一如+1=4"+1—如，n∈N*,且“5=1，若函数於)=sinZr

+2cos⅛记％=A斯)，则数列｛%｝的前9项和为()

A.OB.-9C.9D.I

听课笔记：

反思感悟在涉及函数与数列的综合题时，不仅要正确审题深抠函数的性质与数列的定

义，还要明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征.

角度2数列与不等式结合

[例6][2022•山东威海模拟]公比为2的等比数列｛%｝中存在两项以“,即满足%g=16a：,

则工+±的最小值为（）

mn

35

A.-B.-C,

23

听课笔记：

反思感悟在涉及数列与不等式的综合问题时，一般采取化归的思想将问题转化为我们

较熟悉的问题来解决，如基本不等式法、裂项相消求和、错位相减求和等.

角度3数列与数学文化

[例7][2022•江苏南通市高三月考]有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五

两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的

肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题

中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（）

A.35B.75C.155D.315

听课笔记：

反思感悟解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学

文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系

式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公差（或公

比）、项数、通项公式或前〃项和等.

【对点训练】

1.[2022∙北京石景山区模拟]九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个

圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关援,

解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用如表示解下〃（"W9,"∈N*）个圆环所需的最少

移动次数，数列｛斯｝满足0=1,且斯=产让1-1，"为‘学则解下4个圆环所需的最少

（2%lτ+2,n为奇数

移动次数如为（）

A.7B.10C.12D.22

2.设函数y（X）=a-3）3+x—1,｛m｝是公差不为0的等差数列，人0）+犬42）+…+＜。7）=

14,则ai+zH----F«7=（）

A.0B.7C.14D.21

3.［2022∙山东淄博一中月考］已知函数Kr)=优+6(α>0,α≠l)的图象经过点P(1,3),Q(2,

5).当"∈N*时，斯=段三？记数列｛如｝的前“项和为S”当S.=9时W的值为()

t(n>t(n+l)33

A.4B.5C.6D.7

微专题25数列中的新定义问题交汇创新

［例］［2022•河北石家庄模拟］数列｛斯｝的前n项和为Sn,定义｛斯｝的“优值”为Hn=

士吐了&,现已知｛点｝的“优值"H"=2",则S,,=.

解析：由H,,=aι+2az+…+2'ian=2",得⑶+2s+…+2Lla“=〃2'①，当〃》2时，«1

n

n2,,

+2a2H------∣-2^‰-l=(n-l)2^'②，由①一②得2"一|%=〃2’一(〃一1)2"^^∣=("+1)2"^,an

=〃+1(心2).

当〃=1时，0=2也满足式子斯=〃+1,所以数列｛4,,｝的通项公式为如=〃+1,所以S”

_n(2+n+l)_n(n+3)

22~,

套案.∙(n+3)

名师点评(1)数列的新定义问题的特点是：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种

新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题

目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.

(2)破解此类数列中的新定义问题的关键：一是盯题眼，即需认真审题，读懂新定义的含

义，如本题，题眼｛”“｝的“优值”兄=2"的含义为虫土吟四=2";二是想“减法”，如

本题，欲由等式α∣+242+…+2门斯=〃-2"求通项，只需写出a∣+2s+…+2"-2%_|=(〃­1>2"

-I,通过相减，即可得通项公式.

［变式训练］［2022・江西上高模拟］定义：若数列｛如｝对任意的正整数〃，都有⑸+ι∣+k⅛∣

=d(d为常数)，则称同为“绝对和数列”，4叫做“绝对公和”.已知“绝对和数列"

中，α∣=2,绝对公和为3,则其前2021项的和$2021的最小值为()

A.-2021B.-3010

C.-3028D.-3030

第四节数列求和及综合应用

积累必备知识

1.(1)〃仙+的Fd(2书2

三、

1.答案：(I)J(2)√(3)×(4)7

1_11

2.解析：Y斯

n(n+l)nn+l,

∣

ΛS5=al÷fl2+...÷fl5=1-1+i-ɪ+...+1-1=.

答案:B

+n(1+2n-l)^)[÷

3.解析：S,=与斗2l-2+w2

答案：2π+l~2+n2

一n,n为奇数,

4.解析：S=2×[0+1-2+3-44-----F(-l)π(n-l)]=

nn,n为偶数.

1-n,n为奇数,

答案:

n,n为偶数.

a?—+2d—3,

1

5.解析：设等差数列｛斯｝的首项为0,公差为人由(s4=4a1÷^d=10≡^'

d=l,所以a∏=nS〃=n(,D,所以£?=]*=止+三+[12

9+≡-+A+∙∙∙+

Nɔkɔlɔzɔɜ1×272×33x4

22

n(n-l)n(n+l)

=2×(l-i+i-i+∙∙∙+j--i+i-ɪ)

v223n-1nnn+l7

=2X(La)=备

套案.3^L

U木∙n+1

6.解析：C(I)=∕α1。2+〃2〃3+Ciyu+。4。5+。5。6)=|(a1。2+。2。3+。3々4+。4。5+1),

C(2)=z1。3÷政。4+〃3。5+〃4〃6+ClsCll)=Bml的÷〃2〃4+。3。5+I+〃5。2),

C(3)=((〃1。4+Cl2Cl5+。3。6+〃4〃7+。5〃8)=~(^1。4+。2〃5+1+。4〃2+。5。3),

C(4)=g(αι。5+Ciiae÷ci3a7÷。4。8÷。5。9)=WaIa5÷aιa∖÷a3a2÷。必÷。5。4).

对于A,C(I)=FC(2)=：,故A不正确；对于B,C(l)=∣,故B不正确；对于D,C(I)

=£故D不正确；对于C,C(I)=2，C(2)=0,C(3)=0,C(4)=2,,C正确.

答案：C

提升关键能力

考点一

例1解析：(1)因为数列｛斯｝的前"项和为Sl=I-4+7—10+…+(-1)"一1(3"-2),所

以Sn=1-4+7-104------58+61=1+10X(—4+7)=31.故选B项.

(2)由题意可知，数列｛α2n｝是首项为1,公比为2的等比数列,数列｛傲-｝是首项为1,

公差为2的等差数列，故数列｛斯｝的前20项和为Ic”+10X1+竽X2=l123.故选C.

答案：(I)B(2)C

对点训练

l,λλ6

1.解析：⑴设数列｛为｝的公差为“，由题意得：｛2^+i5(Γ=3'=^>d=l,an

=-6+(n-I)×l=n-7.

(2)由题意得：I*+』’=：，｛与｝是递增的等比数列，故解得：加=1,加=8,设公比为

q,则夕=2,∙'∙■=2"1,

∙*∙(αI+力)+(。3+加)+(。5+儿)H------H(‰-ɪ+⅛2M-I)

=(。］+。3-1--------H^2M-1)÷(⅛1÷⅛3H--------b⅛2w-l)

=(-6-4-2H------F2∏-8)+(l÷4+16H------F4rt^1)

n(-6+2n-8)+Wl=47〃+言

2

2.解析：(1)设｛斯｝公差为d,由题意知，公一1,43,1不为零，且(政一1)(〃6—l)=a专,

.∙.(2+d—l)(2+5d—l)=(2+2^f)2,化简即1+6d+5理=4+8d+4v/2,

得(d-3)3+l)=0,Jd=-I或d=3,

其中d=-1时，aι-I=J÷1=0,不符合题意，故d≠z-1,经检验d=3符合题意，

Λa=2+3(n-1)=3∏-1,故｛与｝公比q=-^-=~2

na2~149

.∙.与=22门=2"；

π

(2)cn=(-l)∙log2[(3n-l)(3n+2)]+n

=(—1)n[log2(3n—1)+log2(3n+2)]+n

π

=(-l)"∙log2(3n-l)+(-l)∙log2(3n+2)+n,

TK)=CI+。2+。3H-------I-ClO=(—logι2—ɪogɔʒ+log25+log28—log28-l0g2lH--------log226

i

-log229+log229+log232)+(1+2H----F10)=-log22+log232+i∣^=-1+5+55=59.

考点二

例2解析：(1)∙∙∙S"+L2S"=S"—2S"-ι(心2),

*

∙'∙Sn+\~Sn=2Sn-2S∏-ι=2(5n-Sπ-∣)(w⅛2),..an+ι=2απ(n22),

又“2=4=2αι,

所以数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

故数列｛”“｝的通项公式为%=2".

(2)据⑴可得(2〃-I)S=(2〃-1)∙2",

所以η,=l×2*+3×22+5×234------∣-(2n-l)∙2n,

27;=1×22+3×23H-----F(2〃-3)∙2"+(2w—l)∙2"+ι,

两式相减得-7｝,=2+2X(22+23∏-----F2n)-(2n-∣)∙2^1

=2+2×2。*(：?，)一(2〃-i),2"+∣.

化简得7；=6+(2〃-3)∙2"+ι.

对点训练

解析：(1)由题意，数列｛〃〃｝满足an+↑-2an+2=0,

可得知+1—2=2(如-2),即皿3=2,

a∏-2

又因为0=1,可得0—2=-1,

所以如一2=(0—2)2「

=-2"-∣,所以斯=2-2"-1,

n

即数列｛%｝的通项公式aπ=2-2-'.

解析：(2)由(1)知斯=2-2"^^ι,可得6"=〃%=2〃一“∙2"-∣,则Sn=⅛∣+⅛2÷⅛3÷∙∙∙+⅛Λ

=(2×l-∣×20)+(2×2-2×2l)+(2×3-3×22)+∙∙∙+(2n-n∙2,,^1)

=(2×l+2×2+2×3H-----∣-2n)-(l×20+2×2'+3×22H-----Fn∙2,,",)

=n(n+1)-(1×20+2×2'+3×22H-----Fn×2n^1).

令f=l×20+2×2'+3×22H-----F“X2"-∣,

则2z=l×2'+2×22+3×23H-----∖-n×2n,

所以一f=lX2°+lX2i+lX22∙H-------1-1×2,,^l-n×2n,

所以f=l-2"+∙X2".

所以S,,^n2+n-∖+2"-n×2n.

考点三

例3解析：(1)因为S9=5θ9,所以9%=5。9,即9(m+4G=5(αι+80,整理得α∣=d,

又因为S4=44ι+6d=αι+9,所以tη+2d=3,

即αι=d=l,所以小=〃；

(2)由(1)知a”=",所以S"="?。,又瓦尸^—7~—,

Nɔnɔn+1

所以Tn=堂-/)+(/__∑-)=~~_T-=2

ɔlɔzɔzɔɜɔnɔn+1ɔi>n+ι(n+l)(n+2)∙

例4解析：(1)证明：由Jα]+2=αn+1得*+[一成=2,且a：=l,

所以数列｛a分是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以每=1+(〃-1)X2=2"-1,

又由已知易得斯＞0,所以斯=√^T=I("∈N*).

22

(2)⅛=

an÷an+ι√2n-l÷√2n+l

=y∣2n+1-√2n—1,

-

故数列｛d｝的前n项和Tn=⅛∣÷⅛2∏-----∣-fe,,=(V31)÷(V5--∖∕3)4------F(√2n+1—

√2n-1)=√2n+1-I.

对点训练

1∙解析：由曲)=2，可得4。=2,解得a=：,则.)=«.所以4"=f(n+j+f(n5=焉南=

Vn+1-Vn»所以S2020=0+02+03+…+。2020=(遮-V1)+(V3—λ∕2)+(V4—V3)+∙∙∙+

(√2^021-√2020)=√2021—1.故选C.

答案：C

2.解析：（1）因为。〃=。〃+1+2。,膜〃+1,令〃=1,则4|=。2+2。1。2,又。2=才所以0=1.

=

对4"=4"+l+2a,ιa,t+↑两边同时除以ClnCln+1>得'----2,

an+ιan

又因为工=1,所以p∙1是首项为1,公差为2的等差数列，

aɪIanJ

所以工=1+2（〃-1）二2〃-1,故

an2n-l

解析：（2）由⑴得：

所以北=：。—1+?-；+：—：+…+g-+）=3G-；⅞⅛⅛Ξ）

因为〃CN*,所以；？3>0,故r,<Jχ,=j,即

nz+3n+22244

考点四

例5解析：由题意知数列｛斯｝是等差数列.

•。5=m，・・+〃9=〃2+。8=的+。7=。4+。6=245=兀

/危）=Sin2x÷2cos2p

/./（X）=sin2x÷cosx+1.

・\/（Qi）+y（〃9）=sin2a∖+cosa↑÷1÷sin2α9+cos3+1=2.

同理八。2）+火〃8）=/（〃3）+/（。7）

=犬。4）+<。6）=2.

∙.‰）=ι,

・,・数列｛如｝的前9项和为9.

答案：C

nl

例6解析：由等比数列的通项公式知丽=〃1义2切一1an=a∖×2~,由〃加加=16a：可得

aι×2