2023年上海市高考数学考前20天复习-14 导数大题综合学生版

14导数大题综合

1.(2023•上海静安•统考二模)已知函数/(x)=:χ2-(α+l)x+αlnx.(其中。为常数)

⑴若。=一2,求曲线y=∕(χ)在点(2J(2))处的切线方程；

⑵当即0时，求函数y=∕(χ)的最小值；

(3)当0≤α<l时，试讨论函数y=∕(χ)的零点个数，并说明理由.

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2.(2023∙上海静安•统考一模)已知函数於)=-2HnX—一，g(x)=ax~(2a+l)ln%——,

XX

其中o∈R.

(1)若x=2是函数/5)的驻点，求实数Q的值；

(2)当a>0时,求函数g(x)的单调区间;

⑶若存在XeJ,e2](e为自然对数的底)，使得不等式火x)4g(x)成立，求实数"的取

e

值范围.

3.(2023•上海奉贤•统考二模)设函数y=∕(x)的定义域是R,它的导数是/'(x).若存

在常数m(meR),使得/(x+m)=-∕'(x)对一切X恒成立，那么称函数y=∕(x)具有性

质p(%)∙

(1)求证：函数y=e'不具有性质P(W)；

(2)判别函数y=sinx是否具有性质P(m).若具有求出机的取值集合；若不具有请说明

理由.

4.(2023•上海•统考模拟预测)已知S为正比例系数，定义：S=今,用为建筑物暴露在

空气中的面积(单位：平方米)，KO为建筑物的体积(单位：立方米).

(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H,求该建筑体的S(用尺”表示)；

(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，C为建筑底面周长.已知/

T2

为正比例系数，Z?与A成正比，定义：f=J建筑面积即为每一层的底面面积，总

A

建筑面积即为每层建筑面积之和，值为T∙已知该建筑体推导得出S=、叵+',"为

VT3”

层数，层高为3米，其中/=18,7=10000,试求当取第几层时，该建筑体S最小？

5.(2023•上海•统考模拟预测)函数"x)=α'+x(α>0),且"l)=e+∣.

(1)判断/(X)在R上的单调性，并利用单调性的定义证明；

(2)g(x)=∕(x)-芥，且g(x)在(0,+8)上有零点，求彳的取值范围.

6.(2023•上海长宁•统考二模)(1)求简谐振动y=sinx+cosx的振幅、周期和初相位

e(9∈[0,2τr));

(2)若函数y=singx+gcosx在区间(0,附上有唯一的极大值点，求实数小的取值范

围；

(3)设α>0,F(X)=SinaX-αsinx,若函数y=∕(x)在区间(0,π)上是严格增函数,求实

数α的取值范围.

7.(2023•上海金山•统考二模)若函数y=∕(x)在x=%处取得极值，且“Λ))=∕⅛(常

数/UR),则称X(I是函数y=∕(x)的“2相关点”.

(1)若函数y=V+2x+2存在“相关点”，求；I的值;

(2)若函数y=⅛√-2Inx(常数左eR)存在力相关点”,求％的值:

⑶设函数y=∕(x)的表达式为〃X)=加+/+u(常数。、b、ceRRa≠0),若函数

y=∕(χ)有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点P(l,2)存在3条直线与曲线

y=∕(x)相切，求实数”的取值范围.

8.(2023•上海松江•统考二模)已知x>0,记/(x)=e*,g(x)=x*,h(x)=Ing(x).

⑴试将y=/(x)、y=g(x)、y=∕∣(χ)中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复

合函数；

(2)借助(1)的结果，求函数y=g(2x)的导函数和最小值；

(3)记〃(X)=也与她+x+a,。是实常数，函数y="(x)的导函数是y'=H'(χ).已

知函数y="(χ)∙"'(χ)有三个不相同的零点玉、林W∙求证：X1∙χ2∙χ3<1.

9.(2023•上海•高三专题练习)已知函数/(x)=(x-l)e"-αr(α∈R且α为常数).

(1)当4=0,求函数F(X)的最小值；

(2)若函数/(χ)有2个极值点，求。的取值范围；

⑶若/(x)≥Inx-e，+1对任意的Xe(O,+∞)恒成立，求实数。的取值范围.

10∙(2023∙上海崇明•上海市崇明中学校考模拟预测)已知函数f(x)=xTnx-2.

⑴求曲线y=∕(χ)在x=l处的切线方程；

(2)函数Ax)在区间伏,Z+l)«wN)上有零点，求人的值；

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⑶记函数g(X)=3/-乐-2-/(X),设X”W(为<々)是函数g(x)的两个极值点，若b≥5,

且g(x∣)-gO⅛)≥Z恒成立，求实数A的取值范围.

11.(2023春•上海•高三统考开学考试)设函数/(x)=α√-(α+l)χ2+x,g(x)=Ax+∕n,

其中“≥0,£机eR,若任意Xe[0,1]均有/(x)≤g(x),则称函数y=g(x)是函数y=/(x)

的控制函数”，且对于所有满足条件的函数N=g。)在X处取得的最小值记为7(x).

(1)若α=2,g(x)=X,试问y=g(χ)是否为y=/(x)的控制函数”；

(2)若。=0,使得直线y=〃(x)是曲线y=∕(χ)在X=L处的切线，证明：函数y=∕∕(χ)为

函数y=∕(χ)的控制函数，并求的值；

⑶若曲线y=∕(x)在x=Λo(∙⅞∈(0,l))处的切线过点(L0),且CeN,1],证明：当且仅

当C=Xo或C=I时，7(t∙)=/(c).

12.(2023•上海普陀•统考二模)已知〃力eR,设函数y=f(x)的表达式为

f(x)=a∙x2-b∖nx(其中x>0)

(1)设α=l,b=0,当f(x)>χT时,求X的取值范围;

(2)设α=2,h>4,集合£>=(0,1],记g(x)=2cx--j(ceR),若y=g(x)在。上为严

格增函数且对。上的任意两个变量s,r,均有〃s)≥g(f)成立，求C的取值范围:

⑶当α=0,b<0,0时‘记"C+看,其中〃为正整数.求证:

πu

[∕√%)]+2>ftπ(x)+2.

13.(2023•上海浦东新•统考二模)设P是坐标平面Xoy上的一点，曲线r是函数y=f(X)

的图像.若过点P恰能作曲线「的Z条切线(ZeN),则称尸是函数y=∕(x)的'〃度

点”.

(1)判断点O(OQ)与点4(2,0)是否为函数y=lnx的1度点，不需要说明理由；

(2汜知O<m<Jt,g(x)=sinx.证明：点B(0,π)是y=g(x)(0<x<m)的0度点;

(3)求函数y=炉-X的全体2度点构成的集合.

14.(2023•上海黄浦•统考二模)三个互不相同的函数y=∕(χ),y=g(χ)与y=∕z(χ)在区

间D上恒有/(x)≥〃(x)>g(x)或恒有/(ɪ)≤h(x)≤g(x),则称y=∕z(x)为y=/(x)与

y=g(χ)在区间。上的“分割函数

⑴设似x)=4x,似X)=X+1,试分别判断y=Λ,(x)∖y=Λ2(x)是否是y=2∕+2与

》=+4χ在区间上的“分割函数”，请说明理由；

(2)求所有的二次函数，使得该函数是y=2f+2与y=4x在区间(v,E)上的“分割函

数”；

⑶若［〃?,〃］0一2,2］,且存在实数％,b,使得尸区+。为y=/-与y=4∕-16在区

间［m,n］上的“分割函数”，求〃一根的最大值.

15.(2023•上海闵行•统考二模)如果曲线)=∕(x)存在相互垂直的两条切线，称函数

y=∕(x)是“正交函数”.已知/(x)=f+0r+21nx,设曲线y=∕(x)在点"(∙⅝,∕(%))

处的切线为：

⑴当了'⑴=O时，求实数”的值：

⑵当“=-8,%=8时，是否存在直线乙满足4,L且4与曲线y=∕(χ)相切？请说明

理由；

(3)当α≥-5时，如果函数y=∕(x)是“正交函数”，求满足要求的实数。的集合O；若对

任意“∈r>,曲线y=∕(χ)都不存在与4垂直的切线4,求工的取值范围.

16.(2023•上海•高三专题练习)已知函数/(x)=2x-sinx-αlnx.

(1)当α=0时，VXe(OgJ(X)4吟求实数〃?的取值范围；

2

(2)若马,七e(0,+oo),χ∣≠%,使得/(Λ⅛)=∕(Λ⅛),求证：xlx2<a.

17.(2023•上海•统考模拟预测)已知函数/(x)="ln(x-a)-gf+x(a<0).

⑴求〃x)的单调区间；

⑵若T<α<2(ln2-1),求证:函数/(x)只有一个零点看,且α+l<x°<a+2；

(3)当α=-g时，记函数/(x)的零点为%,若对任意看,Λ2W［O,ΛO］且W-%=l,都有

∣∕(x2)-∕(x1)∣≥∕zz,求实数，〃的最大值.

18∙(2023∙上海崇明•统考二模)已知定义域为。的函数y=∕(x),其导函数为y,=f(χ),

满足对任意的xe。都有∣∕'(x)∣<L

⑴若"X)=奴+成.，x∈[l,2],求实数”的取值范围；

(2)证明：方程/(x)-x=O至多只有一个实根；

(3)若y=∕(x),XeR是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数为，演，都有

∣∕(^)-∕(x2)∣<ι.

19.(2023•上海青浦•统考二模)设y=∕(χ)∖y=g(χ)是定义域为R的函数，当

g(xjwg(xz)时，*为,々)=

'g>(x?j-gO(*2')]

⑴已知y=g(x)在区间/上严格增，且对任意x∣,We/'X产々，有Sa,Λ2)>0,证明：

函数y=∕(χ)在区间/上是严格增函数：

i2

(2)己知g(x)=gr+0r-3x,且对任意^,々eR，当g(%)#g(%)时，有Sa,x2)>0,

若当x=l时，函数y="x)取得极值，求实数