2023年高考数学一轮复习习题：第八章第2节　空间几何体的表面积和体积

第2节空间几何体的表面积和体积

考纲要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.多面体的表（侧）面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与

底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

77∖

/`

侧面展开图2昌/ɪjʌ//2τ∏⅛

侧面积公式S圆柱侧=2兀/7STOW=πr∕S圆台侧=π(rι+n)/

3.空间几何体的表面积与体积公式

几何小表面积体积

柱体

S表面积=S例+2S底V=S^h

（棱柱和圆柱）

锥体

V=∣S⅛Λ

S表面枳=S（W+S底

（棱锥和圆锥）

台体

V=；(S上+Sκ+y∣S1.5∖)h

S表面积=S侧+S上+S下

（棱台和圆台）

-4^^'-

球S=4πR2V=^πR3

•—常用结论与微点提醒

1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R

（1）若球为正方体的外接球，则2R=√54;

（2）若球为正方体的内切球，则2R=α;

（3）若球与正方体的各棱相切，则2/?=血&

2.长方体的共顶点的三条棱长分别为α,h,c,外接球的半径为R,则2R=7足+F+c2.

3.正四面体的外接球的半径R=乎”，内切球的半径r=*α,其半径R：r=3：l（α为该正

四面体的棱长）.

诊断自测

►■思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()

(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()

(4)已知球。的半径为凡其内接正方体的边长为“,则R=坐外()

答案(I)X(2)×(3)√(4)√

解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.

(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.

〉教材衍化

2.已知圆锥的表面积等于12πcmz,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()

A.1cmB.2cm

3

C.3cmD.2Cm

答案B

解析设圆锥的底面圆的半径为r,母线长为/,因为侧面展开图是一个半圆，所以兀/=2”,

即∕=2r,所以πτ2+τrH=πr2+7tr∙2r=3πr2=127r,解得r=2.

3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下

的几何体体积的比为.

答案1：47

解析设长方体的相邻三条棱长分别为α,b,c,它截出棱锥的体积为0=；XBX)X3义

5=表4bc,剩下的几何体的体积V2=abc—^abc=^α%c.所以V∣:V2=\:47.

＞考题体验

4.(2020.天津卷)若棱长为2小的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A.12πB.24πC.36πD.144π

答案C

解析设球的半径为R,由题意知球的直径2R=-(2小y+(2√5)2+(2√5)2,得R=3,该球

的表面积S=4TΓR2=36兀.故选C.

5.（2020・全国III卷）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A.6+4√2B.4+4√2

C.6+2√3D.4+2√3

答案C

解析由三视图知，该几何体为从同一点出发的三条棱两两垂直的三棱锥P-ABC,其中PA

，平面ABC,ABLAC,AB=AC=AP=2,所以PB=PC=BC=2巾,故其表面积S=SAMB

+5Δ∕¾C÷5∆Λβc+SΔPBC=35ΔΛIB+SΔPBC=3×(IX2X2)+^X2Λ∕^XX^^=6+2小.故选

C.

6.（2020•浙江卷）已知圆锥的侧面积（单位：cπ?）为2兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这

个圆锥的底面半径（单位：cm）是

答案1

解析如图，设圆锥的母线长为/,底面半径为r,则圆锥的侧面积S制=πr∕=2π,即r∙∕=2.

由于侧面展开图为半圆,

可知亍t∕2=2π,可得/=2,

因此r=1.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一空间几何体的表面积与侧面积自主演练

1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为。ι,。2,过直线0102的平面截该圆柱所得的截面

是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.12√2πB.12πC.8-∖∕2πD.10π

答案B

解析由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为8的正方形，则圆柱的高与底面直径均为2√1

设圆柱的底面半径为r,则2r=2也，得r=√l

所以圆柱的表面积卷汕兀乂豆乂兀+兀=兀.

SlH=2∕+2π=2π（√^+226=4812

2.（2020.北京卷）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为

（）

m□

H-I→H-1-H

正视图恻视图

俯视图

A.6+√3B.6+2√3

C.12+√3D.12+2√3

答案D

解析由三视图知该几何体为正棱柱，且底面是边长为2的正三角形，高为2,则表面积为

S=2S底+Sw∣=2X坐X22+3X22=2√5+12.故选D.

3.（2021.成都诊断）如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱

的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心,圆柱的侧面积是（）

A∙SB.叫C,平兀D,冬

答案C

解析如图所示，过点P作PEL平面ABC,E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心,

连接AE并延长，交BC于点D

H

AE=^ADfAO=半，

∙∙AE=gXɔ—ɔ,

.,.PEKa2_AE2=普.

√3

设圆柱底面半径为r,则r=AE=竽，

/.圆柱的侧面积S=2πr∙PE=2τrX坐X率=打譬.

感悟升华空间几何体表面积的求法

(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对

应侧面展开图中边的关系.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.

考点二空间几何体的体积多维探究

角度1简单几何体的体积

【例1】(1)祖唯是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“寨势既同，则积不容异”称

为祖晅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式y∣"*=s∕j,其中S是柱体的底面积，〃是

柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm),则该柱体的体积(单位：cm3)是()

俯视图

A.158B.162C.182D.324

(2)(2019•天津卷)已知四棱锥的底面是边长为限的正方形，侧棱长均为小.若圆柱的一个底面

的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体

积为.

答案(I)B(2)J

解析(1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6,底面可以看作由两

个直角梯形组合而成，其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,

高为3.

4

则底面面积S=-^-X3+=-X3=27.

因此，该柱体的体积U=27X6=162.

(2)由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对

角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为戏，所以底面正方形对角线长为2,所以圆

柱的底面半径为去

又因为四棱锥的侧棱长均为小，所以四棱锥的高为N(小A—J=2,所以圆柱的高为1.

所以圆柱的体积V=π({j2×l≈J.

感悟升华1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公式计算.第(2)题求解的

关键在于两点：(1)圆柱的高恰为圆锥高的一半；(2)圆柱的底面圆的直径恰是四棱锥底面正

方形对角线的一半.

2.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的

线面垂直等关系，进而利用公式求解.

【训练1】⑴(2019•江苏卷)如图，长方体ABCD-ABlelDl的体积是120,E为Cel的中

点，则三棱锥E-BCD的体积是.

(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

答案⑴10(2)∙pr

解析(1)设长方体中BC=mCD=b,CCι=c,贝IJahC=I20,

VE-BCD=整于b×1c=τabc=10.

（2）由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为πX22χ2

—∣π×22×2=∙yπ.

角度2不规则几何体的体积

【例2】如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABC。是边长为1的正方形，且AAOE,

△BCF均为正三角形，EF//AB,EF=2,则该多面体的体积为

答案当

解析如图，分别过点4,8作EF的垂线，垂足分别为G,H,连接。G,CH.

则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.

依题意，三棱锥E-ADG的高EG==直三棱柱AGO-BHC的高AB=I.

则AG=NAE2-EG2=∖JjQ>=坐

取4。的中点M,则MG=勺，

所以SZkAGO=EXɪ，

∙,∙V多面体=VE-AOG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG÷VAGD-BHC

UX坐只χ2+(XI=当

感悟升华1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形

的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.

2.本题利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱（也可分割成四棱

锥）.另外，经常考虑把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱

补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.

【训练2]（2020•浙江卷）某几何体的三视图（单位：Cm）如图所示，则该几何体的体积（单位:

Cm3）是（）

14

A.∣B.^yC.3D.6

答案A

解析由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组成的组合体，它们的公共面

是等腰直角三角形，如图所示.

由三视图知，三棱柱ABC-A'

三棱锥「一A'B'C的高为1,

又S^ABC=2X2X1=1,

所以该几何体体积V=V≤K⅛P-A,BC+vABC-A'BC

=∣×1×1+1×2=^(cm3).

考点三多面体与球的切、接问题典例迁移

【例31(经典母题)(2021・长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC—4BJCl内有一个体积为丫的

球.AB±BC,AB=6,BC=S,A4∣=3,则丫的最大值是.

9

答案7π

解析由AB_LBC,AB=6,BC=S,得AC=10.

要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面AABC

的内切圆的半径为r.

则T><6X8=Tx(6+8+10)∙r,所以r=2.

2r=4>3,不合题意.

球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.

3

由2R=3,即R=/

z

故球的最大体积V=∣πR3=*t.

【迁移】本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切

球的体积各是多少？

解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球

的直径.设该正方体外接球的半径为R,内切球的半径为匚

又正方体的棱长为4,故其体对角线长为4小，

从而V漳玳=泰K'=^πX（2√3）5≈32√3π,

,,4a4-a32兀

V内切林=WTIr=WTtX2'=­ɜ-.

感悟升华1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是

作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、”接

点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.

2.若球面上四点P,A,B,C中朋，PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可

构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.

【训练3】（1）（2020•全国Ill卷）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最

大的球的体积为.

（2）（2021・济南质检）己知球。是三棱锥P—ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=I,CP=2√2,

点。是PB的中点，且CD=币,则球。的表面积为（）

,28πC14π

A.亍B.—

28√∑lπ16兀

C.D.

273

答案⑴华(2)A

解析（1）当球为圆锥的内切球时，球的半径最大.

如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.

其中球心为O,设其半径为r,AC=3,O∣C=I,

22

：.AOi=y∣AC~OlC=2y∣2.

<OO[=OM=r,AO=AOi—OoI=2y∣2—r,

又TΔAM0^∆Λ01C,

.OMAO即£=《，，解得r=喙∙

,,砧=Xð

该圆锥内半径最大的球的体积V=:兀X闺3=等.

(2)依题意，由以=AC=2,CP=2√2,得AP_LAC.

连接AO,由点。是P8的中点且∕¾=AB=PB=2,得AD=yβ,

又CD=巾,AC=I,可知AO_LAC,

又APCAO=A,APU平面RW,4。U平面∕¾B,所以AeI.平面RW.

以aaiB为底面，AC为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，球心。到底

面△/¾B的距离J=∣AC=1.

PA2

由正弦定理得ABAB的外接圆半径八

-2sin60O-√3,

所以球。

oo

故球O的表面积S=4πR2=弩7.r

核心素养/空间几何体的实际应用

“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中

得”的崭新理念，既有利于培养考生的探究意识和创新精神，又能够很好地提升考生的数学

综合素养，因而成为高考试卷中的一道亮丽的风景线.如全国HI卷第16题是以学生到工厂

劳动实践，利用3D打印技术制作模型为背景创设的与空间几何体的体积有关的问题.考查

运用空间几何求解实际问题的能力.

【典例】(2019•全国Ill卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模

型为长方体A8CD-A∣5GO∣挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体.其中。为长方体的

中心，E,F,G,“分别为所在棱的中点，AB=BC=Gcm,AAl=4cm.3D打印所用原料密

度为0.9g∕c∏?,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.

答案118.8

解析由题意得，四棱锥。一EFGH的底面积为4X6—4xgx2X3=12(cm2),其高为点。

到底面E/G，的距离，为3cm,则此四棱锥的体积为H=；X12X3=12(cm3).

3

又长方体ABCo—4山|GQl的体积为V2=4×6×6=144(cm),

所以该模型的体积V=V2—Vl=I44-12=132(cn?),

因此模型所需原材料的质量为0.9X132=118.8(g).

素养升华1.题目以“3D打印”技术制作模型为背景考查数学应用，有利于培养学生的创

新意识.

2.掌握长方体、四棱锥的结构与体积公式是解题的基础，题目突出数学建模，直观想象与

数学运算等核心素养.

【训练】(2021・潍坊联考)如图所示，直三棱柱ABC-AlBiCl是一块石材，测量得NABC

=90。，AB=6,BC=8,AAl=I3.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，

则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()

AI

32兀,C9TtC

Aa.-y,4B.3

32π

C.6π.4D.-ɜ-,3

答案D

解析依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大.

易知AC=y∣AB2+BC2=10.

设健身手球的最大半径为R,

则g><(6+8+10)XR=gx6X8,解得R=2,

则健身手球的最大直径为4.

因为A4∣=13,所以最多可加工3个健身手球.

于是一个健身手球的最大体积V=∣4πΛ3=∣4π×23=23y9π.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

32

A.12πB.奇■兀C.8πD.4兀

答案A

解析设正方体的棱长为α,则/=8,解得a=2.设球的半径为R,贝∣J2R=√5α,即R=√l

所以球的表面积5=4π∕？2=12π.

2.（2021•郑州调研）现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，

则圆锥的侧面积为（）

A.3πB.ɪC.D.y∣5π

答案D

解析设底面圆的半径为R,圆柱的高为力，

依题意2R=h=2,.∙.R=1.

二圆锥的母线l=y∣h2+R2=y∣21+1=y[5,

因此S圆锥例=TLR/=1Tt=

3.如图所示，正三棱柱ABC—4SC的底面边长为2,侧棱长为√L。为BC中点，则三棱

锥A—8。G的体积为（）

3

A.3B.2

C.1D.坐

答案C

解析由题意可知，AO_L平面3QCι,

即AO为三棱锥A—8。G的高，且40=竽X2=√5,

易求得SABioci=T><2X√5=√5,

所以VA-B∣DCI=3×Λ∕3×∙∖∕3=1.

4.已知直三棱柱ΛβC-AιBιC∣的6个顶点都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,ABLAC,

AAi=12,则球0的半径为（）

A.B.2-∖[lQC.ɪD.3Λ∕TO

答案C

解析将直三棱柱补形为长方体ABEC-ABlE∣G,

则球O是长方体ABfC-AlBiF1C,的外接球.

二体对角线BCI的长为球。的直径.

___________________14

因此2Λ≈√32+42+122=13,则R=∙y.

5.己知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的

体积为（）

C3兀一兀C兀

A.πB∙不C.2D∙W

答案B

解析如图画出圆柱的轴截面A8C。，。为球心.球半径R=OA=I,球心到底面圆的距离

为OM=

二底面圆半径r=y∣OA2-OM2=^,

故圆柱体积V=TrM√z=7τ（雪＞χI=竽.

6.（2020.全国Il卷）已知aABC是面积为乎的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若

球。的表面积为16兀，则O到平面ABC的距离为（）

A.∙∖∕3B.IC.1D.坐

答案C

解析如图所示，过球心。作OOi_L平面ABC,则Oi为等边aABC的中心.

设aABC的边长为",则坐层=与§,解得。=3（负值舍去）,

二ON=^X坐X3=小.

设球。的半径为广，则由4兀r2=16τι,得r=2,即04=2.

在RtZ∖00∣A中，OOl=7。42-04=1,

即O到平面ABC的距离为1.

9

7.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该儿何体的体积为

O

则它的表面积是（）

A9CC-45n54

A.］兀B.9πC.Z-兀D.N-兀

答案C

解析由三视图可知该几何体是一个圆柱挖去了一个半径等于圆柱底面半径的半球体，其中

圆柱的高等于半球的半径r,所以该几何体的体积v=π∕2×r-∣×∣πr1=∣πr3=∣π,/.r3=γ,

3I,,945

又知r>0,.」=1,.∙.该几何体的表面积S=7u∙2+2πrXr+2X47∏2=5"~=5πXι=q^π.

8.（2021・安庆调研）已知在四面体PABC中，用=4,BC=2√6,PB=PC=9,平面

PBC,则四面体∕¾BC的外接球的表面积是（）

A.160πB.128πC.40πD.32π

答案C

解析VPβ2+PC2=12+12=24=BC2,.∖PBLPC,

又BA_L平面P8C,.'.PALPB,PALPC,

即∕¾,PB,PC两两垂直，以以，PB,PC为从同一顶点出发的三条棱补成长方体，所以

该长方体的体对角线长为∙√∕¾2+PB2+pc2=V12+12+16=2d⅞,

故该四面体的外接球半径为，而.

于是四面体P-ABC的外接球的表面积是4π（√Iδ）2=40π.

二、填空题

9.如图，在圆柱0。2内有一个球O,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱0。2的

体积为匕，球。的体积为丫2,则行的值是_______.

V2

3

答案2

解析设圆柱内切球的半径为R,

则由题设可得圆柱0∣02的底面圆的半径为尺高为2R,

,,VπR2-2R3

F1K•

10.如图，已知正方体ABCD-AtBlCiD↑的棱长为1,则四棱锥A1-BB1DiP的体积为

箕案ɪ

U杀3

解析因为正方体ABCC-A/CQl的棱长为1,

所以矩形881。。的长和宽分别为√5,1,

因为四棱锥Ai-BBiDiD的高是正方形A1β1C,D1面对角线长的一半，即为坐.

故VJS⅛ftAl-BBIDlD=β×1×√2×"^zzzβ∙

11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cπ?）为

答案6

解析由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V

=∣×（l+2）×2×2≈6.

12.（2021・太原质检）已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A、B满足ASAB为等边三角

形，且面积为4小，又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为.

答案8√2π

解析设圆锥的母线长为/,由ASAB为等边三角形，且面积为4√5,所以吴访W=4√5,

解得1=4；

又设圆锥底面半径为r,高