（江苏专用）高考数学一轮复习 第十三章 选考部分 第1讲 几何证明选讲练习 理-人教版高三数学试题

1.(2014·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点.求证：∠OCB＝∠D.证明因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.2.(2013·江苏卷)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以eq\f(BC,OD)＝eq\f(AC,AD).又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3.(2012·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.证明如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.4.(2011·江苏卷)如图，圆O1与O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2).圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上).求证：AB∶AC为定值.证明如图，连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD、CE.∵圆O1与圆O2内切于点A，∴点O2在AD上，故AD、AE分别为圆O1，圆O2的直径.从而∠ABD＝∠ACE＝90°.∴BD∥CE，于是eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(2r1,2r2)＝eq\f(r1,r2)，∴AB∶AC为定值.5.(2015·湖南卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.6.(2016·无锡一模)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AE,\s\up8(︵))，DE交AB于点F.(1)证明：DF·EF＝OF·FP；(2)当AB＝2BP时，证明：OF＝BF.证明：(1)如图，连接EO，因为eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AE,\s\up8(︵))，所以∠AOE＝∠CDE，所以∠EOF＝∠PDF，又∠EFO＝∠PFD，所以△EFO∽△PFD，所以eq\f(OF,DF)＝eq\f(EF,PF)，所以DF·EF＝OF·FP.(2)设BP＝a，由AB＝2BP，得AO＝BO＝BP＝a，由相交弦定理得DF·EF＝AF·BF，由(1)得AF·BF＝OF·FP，所以(a＋OF)·BF＝OF·(a＋BF)，所以OF＝BF.7.(2016·苏州一模)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.(1)求证：△ABF∽△EAD；(2)若∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长.(1)证明因为AB∥CD，所以∠BAF＝∠AED.又因为∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE，所以∠BFA＝∠ADE.所以△ABF∽△EAD.(2)解因为BE⊥CD，AB∥DC，所以EB⊥AB，△ABE为直角三角形，因为∠BAE＝30°，所以∠AEB＝60°，所以eq\f(AB,AE)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，又△ABF∽△EAD，所以eq\f(BF,AD)＝eq\f(AB,AE)，所以BF＝eq\f(AB,AE)·AD＝eq\f(3\r(3),2).8.(2015·全国Ⅱ卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2eq\r(3)，求四边形EBCF的面积.(1)证明由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线.又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上.连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE＝2eq\r(3)，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝eq\f(1,2)MN＝eq\r(3)，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝eq\f(10\r(3),3).所以四边形EBCF的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc