2023年高考数学训练-压轴题10-导数的简单应用（解析版全国通用）

压轴题10导数的简单应用

题型/考向一：导数的计算及几何意义

题型/考向二：利用导数研究函数的单调性

题型/考向三：利用导数研究函数的极值、最值

@@@©-导数的计算及几何意义

「压轴题要颁

1.复合函数的导数

复合函数y=虑(X))的导数和函数y=fiu),u=g(χ)的导数间的关系为y√=yJ∙"J.

2.导数的几何意义

(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.

(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.

(3)切点既在切线上，又在曲线上.

3.导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转

化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算

素养.

J压轴题通骑

一、单选题

1.函数"x)=ln(3x-2)-2X的图象在点(IJ(I))处的切线方程是()

A.x+y+l=OB.x+2y+3=0

C.x-2y-3=0D.X-y-3=0

【答案】D

a

【详解】f'(x)=「三—2,则切线的斜率是r(l)=l,/(l)=-2,

则切线方程是y-(-2)=1x(x-l),即x-y-3=0.

故选：D

2.若函数/(x)=e'+lnx+α的图象在点(Ij(I))处的切线方程为y=H-l,则α=()

A.1B.OC.一1D.e

【答案】B

【详解】因为/'(x)=e'+g,所以/'(l)=e+l,故A=e+1

又/⑴=e+a=k-l=e,所以α=O.

故选：B

3.已知直线/为曲线y=2χ2fnx在x=l处的切线，则点(3,-2)到直线/的距离为()

A.√5B.10C."ZD.√10

【答案】D

【详解】由函数y=2∕-lnx,可得V=4x-1,则y'0=3,即切线的斜率为化=3,

X

又由x=l时，求得y=2,即切点坐标为。,2),

所以切线方程为y-2=3(x-l),即3x-y-l=0,

由点到直线的距离公式，可得点(3,-2)到直线I的距离d=早[：F=√io.

故选：D.

4.若直线V=x+α与函数/(x)=e*和g(x)=lnx+6的图象都相切，贝∣Ja+/?=()

A.-1B.OC.1D.3

【答案】D

【详解】设宜线y=X+。与函数/O)和g(χ)的图象分别相切于点Aaj),3(孙％)，

则由/(X)=炉,得r*)=e',令注=1,得旦=0,弘=1,

将(0,1)代入V=x+α中得α=l，

由g(x)=lnx+6,得J(X)=4，令，=1,得々=1,必=分,

XX2

将(Lb)代入y=x+l中得6=2,

所以。+人=3.

故选：D

5.曲线y=[x∙e2i+2在χ=ι处的切线与坐标轴围成的面积为()

4

【答案】A

【详解】记/(x)=}∙e2-+2,则:(X)Veg+9.2eW=笥Ie?，"，

31Q

⑴="又/⑴2+2="

1Qqqq

•••曲线y=:χ∙e22+2在X=I处的切线方程为：y-7=τ(x-1)^即y=：x+—

444,42

3

令X=0,解得：y=-；令y=0,解得：χ=-2↑

・•・该切线与坐标轴围成的三角形面积为铲12、；3=宗3

故选：A.

6.己知函数/(x)=-gf+2矿(2023)+2023InX-2,则/'(2023)=()

A.2022B.2021C.2020D.2019

【答案】A

【详解】由己知条件得广(力=-了+2/(2023)+学，

ɔnɔɜ

贝IJr(2023)=-2023+2∕'(2023)+∣^∣∣,解得广(2023)=2022,

故选：A.

7.若对VmeR,3^,⅛∈R,使得""b"")=/W)成立,则称函数“x)满足性质C,

下列函数不遒是性质Ω的是()

A./(X)=X2+3XB./(x)=(二)2

C./(x)=e^x+lD./(x)=cos(l-2x)

【答案】C

【详解】若对V"Z∈R,3∏,⅛eR,使得J⑷-〃')=〃")成立,则/(x)的值域是/'(X)值

a-b

域的子集；

对于A,由二次函数性质知：/(x)=χ2+3x的值域为-幸，+8)；

/(x)=2x+3,，r(x)的值域为R,则-q,+8)gR,A满足性质Ω;

对于B,(x+l)2>0,∖/(x)的值域为(。,+8)；

2

∕,(x)=-^y,又(χ+ι)3*o,∙∙J'(χ)的值域为(-∞,o)u(o,+∞),

则(0,+∞)u(ro,0)∣(0,+∞),B满足性质Q：

对于C..∙r+l∈R,(X)=e*的值域为(0,y)；

r(x)=γi,∙∙J'(x)的值域为(-8,0);

则/(X)的值域不是r(x)值域的子集，C不满足性质Ω;

对于D,.l-2x∈R,.∙j(x)=cos(l-2x)的值域为[-1,1]；

f'(x)=2sin(l-2x),.∙∕(x)的值域为[―2,2],则q[-2,2],D满足性质C.

故选：C.

8.已知函数f(x)的定义域是(y,0)U(0,+∞),./(X)为/(x)的导函数，若

/(x)=∕(2)x+^-l,则“x)在(0,+⑹上的最小值为()

A.逑7B.WC.√2-lD.ʤ/ɜ-l

555

【答案】A

【详解】对于/(x)="2)x+*—1,令x=2,则"2)=2∕(2)+gr⑴-1,

即“2)+#(I)=I①.

对“x)=∕(2)x+fτ求导，可得((χ)="2)-岑ɪ,

令X=I,可得r⑴=∕(2)-∕'(l),即2ιf(l)="2)②.

由①②解得(⑴=：，〃2)=：，因此f(x)=9+>l∙

JJJJ∙∙¾l

当x∈(0,+∞)时，f(χ)≥2匹Z-I=逑-1,当且仅当X=且时等号成立,

y55x52

所以/(X)在(0,+8)上的最小值为券-1,

故选：A.

麴G包@三利用导致研究函数的单调性

不压轴题要颁

利用导数研究函数单调性的关键

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.

(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.

(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.

[压轴题速喷

一、单选题

1.函数f(x)=2x-e'的单调递增区间为()

A.(-8,0)B.(ln2,+∞)

C.(-∞,ln2]D.[0,+oo)

【答案】C

【详解】/(x)=2x-e∖

,∙.Γ(x)=2-e',

令得x<ln2,

所以函数“力=2x-e"的单调递增区间为(-∞,ln2].

故选：C

2八

一,0<X<。，

2.已知函数〃x)=<I；X若/(X)在(0,+8)上单调递减，则实数。的取值范围是()

----,x≥a,

X

A.[l,e2]B.[e,2e]

C.[e,e]D.[e,+∞)

【答案】C

【详解】令函数g(χ)=:,MM=?.

要满足条件，必须g(x)在(OM)上单调递减，

MX)在(α,+∞)上单调递减,且g(α)≥%(α).

易知g(χ)在(0,y>)上单调递减.

"(χ)=*

令〃(X)>0,即I-InX>0,解得0<x<e,

令"(x)<0,即I-InX<0,解得x>e,

可得力(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，所以4≥e.

g(x)-a(x)="詈,

令2W∆>0,即2Tnx>0,解得0<χ≤e2,

X

令2d上Σ<0,即2—lnx<O,解得x>e)

X

则当0<x≤e?时，g(x)>Λ(x),

当X>e?时，g(x)<Λ(x),

要使g(α)≥Ma),则0<(7≤eL

所以”的取值范围是[e,/].

故选:C.

3.设Q=3e^03，b=e°∕,c=1.6,则()

A.c<b<aB.c<a<hC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【详解】设/(x)=e'rf因为r(x)=e]-1,

所以当XVo时,/'(χ)<0,f(χ)在(y,0)上单调递减,

当χ>0时，/'(x)<0,"χ)在(0,+8)上单调递增,

所以当XeR，且XWO时，/(x)>∕(0)=0,即e">x+l.

所以α=3e<3>3x(~O.3+l)=2.1,/,=eΟ6>0.6+1=16,所以c=1.6最小，

又因为gb=-e⅛°.6=Je°'9<±c<l,所以力<α∙

a3e-0∙333

综上，c<b<a.

故选：A

4.若函数y=F(x)满足M^'(χ)>-∕∙(χ)在R上恒成立，且α>b,则()

A.af(b)>bf(a)B.af[a}>bf(b)

C.af[a)<bf[b}D,af(h')<bf[a)

【答案】B

【详解】由矿(x)>-∕(x),

设g(x)=V(X),则g'(x)=×f(ʃ)+ʃ(ɪ)>O,

所以g(x)在R上是增函数，

又α>b,所以g(")>g(A),即歹(α)>”S),

故选:B.

5.已知/(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，/(x)=ev+sinx,则不等式/(2x-l)<e"

的解集是()

【答案】D

【详解】当XNo时，r(x)=e'+cosx,

因为e*≥l,cosx∈[T,l],所以r(x)=e*+cosx≥0恒成立，

所以f(x)在[0，+")单调递增，

又因为/(x)是定义在R卜一的偶函数，所以在(-8,0]单调递减，

所以f(-π)=∕(π)=e",

所以由/(2x-l)<e*可得—π<2xT<π,解得号,子)，

故选:D.

6.已知函数f(x)与g(x)定义域都为R,满足/(x)=(x+lj(x),且有

g'(x)+xg'(x)-xg(x)<0,g(l)=2e,则不等式F(X)<4的解集为()

A.(1,4)B.(0,2)C.(-∞,2)D.(l,+∞)

【答案】D

【详解】由f(x)=a+；y(x)可得

、_8(》)6'+(》+1)短(犬卜,一(》+1)8(犬)6'_xg'(x)+g'(x)-xg(x)

"")一=-

而g'(x)+xg'(x)-Xg(X)<0,a∕,(x)<0,IV(X)在(-∞,y)上单调递减，

又g(l)=2e,则”1)=Za=%=4,

ee

所以/(x)<4=∕(l),贝∣Jχ>l,

故不等式/(x)<4的解集为(l,+∞).

故选：D.

7.己知函数/(X)=靖，若存在x°∈[T2]使得%)=J⅛+∕(Λ0)T恒成立,则b=/(XO)T的

取值范围（）

A.0,-+1B.-+l,c2-2

ee

C.1,—+1D.[l,e?-2]

【答案】D

【详解】由/⑺=%+，(Xo)T，可得％)+f=x°+∕(x°),

设函数MX)=/(x)+x=e'+x,则6'(X)=e'+l>O在R上恒成立，

所以MX)=e*+X单调递增，所以

则b=/(Xo)T=/(f)τ=e'τ,问-1,2],

令g(r)=e'τ,r∈[-l,2],则g'(∕)=e'-l,当，=0时，g'(r)=O,

令g'(f)>0得：r<0,2],令g'(r)<O得：re[T0),

2

所以g0min=g(θ)*-O=1，又g(T)=e-∣+l,g(2)=e-2,其中e2-2>e∖l,

所以实数6的取值范围是[id-2].

故选：D.

Qr+1

8.己知函数/口)="5，g(x)=(4-2x)e*,若也,x2e[0,m)，不等式

(f+e)g(x2)≤(/+e2)f(xj恒成立，则正数f的取值范围是()

B.(√7-2,e2]C.[2+√7,÷w)D.[(2+√7)e,+∞)

【答案】D

【详解】因为〃X)=亘=1=-=3-2，所以/(x)在[0,+e)上单调递增,

x+2x+2x+2

所以对Vxw[0,+8),/(x)>∕(0)=∣.

因为g(X)=(4-2x)e,,所以/(x)=-2e*+(4-2x)e*=2(1-x)et,

当x>l时，g,(x)<0:当0<x<l时，g'(x)>0,

所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(l,+∞)上单调递减，

所以g(x)max=g(l)=2e.

因为f>0,任意即Λ2C[0,+∞),不等式(f+e)g(w)≤r+e?)/(XJ恒成立，

所以有(r+e)∙2e4g∕+e2),整理得产-4ef-3e?≥0,

解得t≤(2-√7)e或t≥Q+")e,

所以正数f的取值范围为［(2+77卜,+«)卜

故选：D.

二、解答题

9.已知函数/(x)=gχ3-TaX2,qeR.

⑴当α=2时，求曲线y=∕(x)在点(3J(3))处的切线方程；

(2)讨论/(χ)的单调性.

【详解】(1)当α=2时，/(x)=∣x3-x2,则r(x)=f-2x,⑶=9—6=3,又

"3)=9-9=0,

∖/(x)在点(3J⑶)处的切线方程为：y=3(x—3),即3x-y-9=0.

(2)由题意得：/(x)定义域为R,r(χ)"-3χ(χ-α);

当α=0时，/,(x)=x2≥0,∖F(X)在R上单调递增;

当α<0时，若x∈(-∞,”)u(°,+∞)，贝∣J∕KX)>0；若xe(α,0),则/'(x)<0；

∖/(x)在(f,α),(0,+8)上单调递增，在(4,0)上单调递减：

当α>0时，若》«-<»,0)5。,+=0),贝若Xe(O,a),则/'(x)<0;

\/任)在(-∞,0),(α,m)上单调递增，在(OM)上单调递减：

综上所述：当α=0时，/(x)在R上单调递增；

当“<0时，.f(x)在(-∞,α),(0,+s)上单调递增，在(。,0)上单调递减；

当”>0时，.f(x)在(e,0),(4,+∞)匕单调递增，在(OM)上单调递减.

10.已知函数/⑺=21n;；,+l.求函数“χ)的单调区间；

【详解】函数/(X)=网爰土ɪ的定义域为(0,+8)，

令尸(X)=0,可得χ=l,

当OVXVl时，第x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增;

当x>l时，∕,(x)<0,f(χ)在(1,田)上单调递减，

即函数/(χ)的单调递增区间为(。,1),单调递减区间为(l,+∞).

@@@@X利用导数研究函数的极值、最值

「压轴题要颁

1.由导函数的图象判断函数y=∕(x)的极值，要抓住两点

(1)由y=∕(x)的图象与X轴的交点，可得函数y=∕(x)的可能极值点.

(2)由y=∕(x)的图象可以看出y=∕(x)的函数值的正负，从而可得到函数y=J[x)

的单调性，可得极值点.

2.求函数4r)在[α,句上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(0,份内的极值.

(2)求函数在区间端点处的函数值式口),Λ⅛)∙

(3)将函数7U)的各极值与人①，寅与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一

个为最小值.

[压答题曲骑

一、单选题

1.函数〃x)=χ3+gχ2-4χ的极小值为()

45104

A.—B.1C.—D.—

3227

【答案】C

【详解】因为〃X)=X3+gχ2-4χ,所以r(x)=3χ2+χ-4=(x-l)(3x+4).

4

令尸(X)=O得玉=-§,/=1，

当xe(-8,-g](1,+8)时，>0,当Xd-$1)时，/'(x)<0.

故的单调递增区间为10θ,-g)和(LE),单调递减区间为,*1).

则当χ=ι时，F(X)取得极小值，且极小值为/(1)=-∣.

故选：c

2.函数〃x)的定义域为R,导函数/'(X)的图象如图所示，则函数/(x)()

C.有两个极大值点、两个极小值点

D.有四个极大值点、无极小值点

【答案】C

【详解】解：设尸(x)的图象与X轴的4个交点的横坐标从左至右依次为知声,不，看，

当x<x∣或Z<x<∙x3或x>∙r4时，>0»

当X∣<X<Λ⅛或三<x<x,时,，∕,(x)<0,

所以函数/(x)在(-∞,%),(々，毛)和(Λ4,+∞)上递增，

在(玉,X2)和(玉,演)上递减,

所以函数/(x)的极小值点为％，Z，极大值点为占，£，

所以函数/(X)有两个极大值点、两个极小值点.

故选：C.

3.己知函数"x)=2Sin(S+?(〃>())在(0,兀)上有3个极值点，则。的取值范围为()

T13k19c∙(U13,719口.匕7不13

A'

【答案】C

【详解】因为。>0,x∈(0,π),

π

所以—<ωx+-<cσ..

333

因为函数/（力=2而（8+小（0>0）在（0,外上有3个极值点，

所以当<6OT+g≤^,

解得孩<0≤^,

OO

<1319"

所以0的取值范围为，

166J

故选：C.

4.己知函数，（X）=e，+]-InX的极值点为为，函数MX）=野的最大值为々，则（）

x

A.百>々B.X2>X1C.X∣≥X2D.X2≥ι

【答案】A

【详解】"x）=e*+]-lnx的定义域为（0,+巧，

/（刈=/+1在（0,+8）上单调递增，且*[=∕-∣>0,/（£|=«-+0,

MX)=~的定义域为(o,+⑹，由〃(X)=2"2'nx==⅞ξ,

4人i,τΛ4人

当x∈(0,e)时，∕Z(x)>O,当x∈(e,+8)时，∕Z(x)<O,

故MX)=宇在x=e处取得极大值，也是最大值，∕7(χ)maχ=∕7(e)=等=；,

即∙r2=4<!∙所以X∣>j⅛∙

2e4

故选：A

5.若函数/(力=1+2/+〃》在χ=ι处有极大值，则实数。的值为()

A.1B.-1或一3C.-ID.-3

【答案】D

【详解】由/(x)=Λ3+2ax2+ci1x^>∕,(Λ)=3X2+4cιx+a2,

因为函数/(x)=d+2以2+∕χ在X=］处有极大值，

所以有/⑴=0=3+4α+q2=0=q=τ,或”=—3,

当a=—1时，∕,(x)=3x2-4x+1=3(x-ɪ)(ɪ-1),

当x>l时，函数/(χ)单调递增，当;<χ<ι时，函数f(χ)单调递减，所以χ=l是函数”χ)

的极小值点，不符合题意；

当°=-3时，∕,(X)=3X2-12X+9=3(X-1)(X-3),

当x<l时，函数/(x)单调递增，当l<x<3时，函数”x)单调递减，所以x=l是函数〃x)

的极大值点，符合题意，

故选：D

2

6.已知函数f(χ)=M(χ+l)∣+0j,则()

A.X=O是“X)的极小值点B.X=I是/(X)的极大值点

C./(x)的最小值为l+ln2D./(x)的最大值为3

【答案】C

2

2H-------,X≥0

【详解】函数/(x)=∣ln(x+l)∣+d

\2

X÷1)H------,-1<%<0

x+1

x+l(x+l)^

12

,-l<x<0

x+1(x+l)^

当x≥0时∙，/'(X)=，当Xe(0,1),((X)(0,Xe(I,+8),广(砌0

(χ+ι)

当x∈(T,0)时，∕,(x)=~-77函数/(x)是(-1,«Q)上的连续函数,

(χ+ι)

所以函数/(χ)在(-1,1)上单调递减，在(i,+∞)上单调递增，

故X=I是/(X)的极小值点，没有最大值，所以ABD都不正确.

“X)的极小值为"1)=M(I+1)1+市=l+ln2,所以C正确.

故选：C

7.若函数/(力=，«:+1村只有一个极值点，则”的取值范围是()

A.ʤB.(-∞,0]C.(→o,0]D.S-?,官

【答案】D

【详解】解：由题知f'(x)=Gz专一“W=与［］一。

人Λʌ∖ʌ)

令r(x)=o得x=3或；■=〃

X

√∣lnx

因为函数/(x)=∙∣y-+只有一个极值点,

故当3为函数的极值点时，∙⅛-α≥0恒成立，即q≤∙⅛恒成立，

x'X

令g(x)=},x>0'g,(x)=("j)e,

所以，当x>2时,g'(x)>O,g(x)单调递增：当0<x<2时,g'(x)<O,g(x)单调递减,

ɔ2

所以g(x)*=g(2)吟，故。吟；

当3不为函数的极值点时，则3为马=〃的一个根，此时“=2，∕,(x)=⅛∣≤-⅛∣,

X29X-{x29)

因为函数g(x)在(0,2)上单调递减，(2,+∞)上单调递增，且g⑴=eqq,

g⑵=卜洽(⅜^*Y⑶吟

所以，存在不“1,2)使得/'(x)=0,

,

所以，当Xe(O,Λ0)时，∕(x)<0,当XW(ΛJ),3)和xe(3,+∞)时，制x)>0,

所以，/⑴斗-曜+心)只有一个极值点，满足题意.

综上，”的取值范围是,？,jMU.

故选：D

8.已知定义域为(0,y)的函数〃x)满足f(x)+Λf(X)=T+1,∕,(l)=0,

g{x)=a+2-ax-,若0<α<l,贝IJf(X)-g(x)的极值情况是()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极小值，也无极大值

【答案】C

【详解】闻［V(x)］=∕(χ)+V(χ)=,+∣，0V(x)=lnx+x+c.

取X=I可得，/(l)=l+c,

由/(x)+4'(X)=B+1，令χ=l,得/(D+r(l)=2,

因为/'⑴=0,可得"1)=2,

回c=l,则"x)="+2+l,

XX

回〃x)_g(X)=平+/+%一(〃+1).

TnX+lɑʌi

令Λ(x)ɪɪɪɪʌ+-+^0r-(d,+l),

则〃(X)=

XX2---------2--------(0<“<])；

令Zn(X)=-InX+J0χ2-i,w∕(jv)=^EE——1

区时，加(x)<0,m(x)在∣0,JL∣上单调递减;

易知0<尤<

x>F时,m(x)>0,oι(x)在区,+8上单调递增,

所以当X=工∙时，MX)取最小值机(Inqf,

又/(In〃-1)<0,—]X―>0时,m(x)→-κo,χ→+8时，M∕(Λ)→+∞,

团存在为，.使得相(XJ=加(毛)=。.

不妨设％<七，则当0<x<x∣时，机(x)>0,当X∣<X<J⅛时，"z(x)<O,当X>J⅛时，MX)>0.

回〃(x)在(0,苦)上单调递增，在U,々)上单调递减，在(4,E)上单调递增.

M(X)既有极大值，又有极小值.

故选：C.

二、解答题

9