新课第03讲向量的数乘运算与数量积

新课第03讲：向量的数乘运算与数量积考点一：向量的数乘运算 考点二：平面向量的混合运算考点三：向量的线性运算的几何应用 考点四：三角形的心的向量表示考点五：向量的数量积的定义和几何意义 考点六：数量积的运算考点七：数量积和模关系问题 考点八：向量夹角的计算考点九：垂直关系的向量表示 考点十：向量投影问题考点十一：向量的数量积的综合问题【知识梳理】知识一向量数乘的定义实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.知识二向量数乘的运算律.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知识三向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.知识四两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.知识五：向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.知识六投影向量在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cosθe.知识七平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ. (2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.知识八平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【题型归纳】题型一：向量的数乘运算1．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.【详解】根据向量的四则运算可知，.故选：D2．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题：①②③若，则④若，则其中正确命题的个数是：（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立.【详解】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误；④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误.故①②两个命题正确．故选：B3．（2023下·高一课时练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果；（2）按照向量的运算法则依次计算即可.【详解】（1）原式．（2）原式题型二：平面向量的混合运算4．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.【详解】,,即,.故选：D.5．（2023下·江苏镇江·高一统考期中）在中，是的中点，在上且，记，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量的线性运算法则运算.【详解】∵是的中点，∴，∵在上且，∴，∴，∴，故选：A6．（2022·河南·校联考模拟预测）已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（）A．7 B．6 C．3 D．2【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算可求出，则得到，的值，进而即可求解．【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，，故.故选：A．题型三：向量的线性运算的几何应用7．（2024·全国·高一假期作业）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：B8．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，如图，，故选：A.9．（2023下·福建三明·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的加减法的几何意义将转化为、即可.【详解】.故选：D.题型四：三角形的心的向量表示10．（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.11．（2023·全国·高一专题练习）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】等价于等价于点为重心.【详解】充分性：等价于：等价于：等价于：所以为的靠近的三等分点，所以点为重心；必要性：若点为重心，由重心性质知，故故选：C12．（2022下·山西运城·高一统考期末）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（）A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心【答案】D【分析】由给定条件可得，由表示出即可判断作答.【详解】令边BC上的高为h，则有，令边BC的中点为D，则，因此，，即，所以动点的轨迹一定通过的重心.故选：D题型五：向量的数量积的定义和几何意义13．（2023下·陕西咸阳·高一校考阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；0乘以任何向量都为零向量，故②正确；向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误；故选：A14．（2023下·陕西西安·高一统考期中）已知，为非零向量，且，则（）A．，且与方向相同 B．，且与方向相反C． D．，无论什么关系均可【答案】A【分析】对两边平方得到，结合平面向量数量积公式得到，从而，且与方向相同.【详解】，两边平方得，化简得，即，又，其中为，的夹角，因为，为非零向量，所以，则.故，且与方向相同.故选：A15．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）在中，已知，向量在向量方向上的投影向量为，，则（）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】若，由题设及向量数量积的几何意义可得，再由，利用数量积的运算律求即可.【详解】如下图，若，则在方向上的投影向量为，又向量在向量方向上的投影向量为，则，即，所以，又，所以.故选：B题型六：数量积的运算16．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，，且，的夹角为，则（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意得，所以，故，故选：D17．（2024·全国·高一假期作业）已知非零向量与满足，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量数量积的运算律可得，结合已知及数量积定义求夹角余弦值.【详解】因为，所以，所以，而，所以，所以.故选：B18．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）在中，，，，则（）A． B．16 C． D．9【答案】B【分析】根据向量的减法运算结合题意推出，平方后可得数量积，再结合数量级的运算律，即可求得答案.【详解】由题意得在中，,故由，，，得，即，即，故，故选：B题型七：数量积和模关系问题19．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量，且与的夹角为，则（）A． B．4 C．2 D．0【答案】C【分析】平方展开后，利用向量的数量积定义进行运算即可.【详解】因为，所以，故选：C.20．（2023下·广东广州·高一统考期末）已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将平方结合平面向量数量积的运算律即可得解.【详解】因为，，，所以，即，即，即，解得.故选：A21．（2023下·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）设向量满足，且，则以下结论正确的是（）A． B．向量和的夹角为C． D．【答案】D【分析】由已知条件得，计算各选项中向量数量积和模等问题.【详解】向量满足，且，则，所以，故.由，则，A选项错误；由，则，向量和的夹角为，B选项错误；由，C选项错误；由，得，D选项正确.故选：D题型八：向量夹角的计算22．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设向量的夹角为，结合，求得，即可求解.【详解】设向量的夹角为，因为，可得，又因为，，可得，解得，因为，可得.故选：B.23．（2023下·湖北·高一安陆第一高中校联考期末）已知平面向量满足且对，有恒成立，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将两边平方，根据，有恒成立，可求得两向量夹角，再结合夹角余弦公式即可求得.【详解】由展开得，对，有恒成立，即,即，所以可得，所以解得，又，所以，则，所以，则与的夹角余弦值,所以与的夹角为.故选：A．24．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，再两边平方求解即可.【详解】由，则①，又②，由①+②可得，即，故，设与夹角为，则，解得.故选：C．题型九：垂直关系的向量表示25．（2024·全国·高一假期作业）已知平面向量的夹角为，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，利用向量数量积运算可得，即求，又，代入条件运算可得解.【详解】，，即，，.故选：A.26．（2023下·四川自贡·高一校考期中）如果向量，满足，，且，则和的夹角大小为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量垂直，数量积为0，得，再代入模和夹角公式，即可求解.【详解】由，则，则，得，，所以.故选：D27．（2023下·贵州黔西·高一校考阶段练习）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.【详解】由，可得，即，，等式两边平方，化简得，，因此，是直角三角形.故选：B.题型十：向量投影问题28．（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得出为外接圆的直径，且是等边三角形，从而求出向量在向量上的投影向量.【详解】∵的外接圆的圆心为O，且，∴O为的中点，即为外接圆的直径，∴．∵，∴是等边三角形.设为的中点，则.∴向量在向量上的投影向量为.故选:B.29．（2023下·广西南宁·高一校联考期末）已知点是直角斜边的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得、，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为点是直角斜边的中点，且，所以，则，向量在向量上的投影向量为.故选：C30．（2023下·辽宁·高一辽宁实验中学校联考期末）已知向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数量积定义先计算，然后由投影向量定义可得.【详解】因为，，与的夹角为，所以，所以在上的投影向量为.故选：D题型十一：向量的数量积的综合问题31．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）单位向量，满足.(1)求与夹角的余弦值：(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值；（2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】（1）因为，，所以，即，则，则，即与夹角的余弦值.（2）因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，当与共线时，有，即，由（1）知与不共线，所以，解得，所以当与不共线时，，由，得，即，解得，所以且，即实数的取值范围为.32．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）如图，在中，是的中点，点在上，且与交于点，设.(1)求的值；(2)当时，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三点共线的知识求得.（2）根据向量数量积的运算求得.【详解】（1）依题意，由于三点共线，所以.（2）由（1）得，所以.33．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．(1)求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件结合数量积的运算得到，再利用线性运算得到，即可求解；（2）根据（1）和条件得到，，由垂直关系得到，从而得到关于的方程，即可求解.【详解】（1）在平行四边形中，，，，所以，因为点是线段的中点，所以，则，故的值为.（2）由（1）知：，，则，，又因为，则，即，即，解得：，故的值为.【双基训练】一、单选题34．（2023下·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）在中，点为边的中点，记，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.【详解】由题意可知，.故选：C35．（2023下·青海海东·高一统考阶段练习）在平行四边形ABCD中，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为，所以，所以．故选：A36．（2023下·河南焦作·高一焦作市第一中学校考阶段练习）下列四个命题中，正确的个数是（）①；②“”等价于“存在实数，使得”；③A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】根据向量数量积的定义式可判断①③错误，对于②，可通过举反例说明.【详解】对于①，等式左边，等式右边，而与不能确保恒等，故①不正确；对于②，若满足，但不存在实数，使得成立，故②不正确；对于③，，但不恒等于1，故③不正确.故选：A.【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的数量积和向量共线的等价条件的判断.处理向量数量积的问题一般有以下方法：(1)向量数量积的定义法；(2)向量数量积的坐标法；(3)向量数量积的基底表示法.37．（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）下列命题正确的有（）A．若，，则．B．向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上C．D．满足的四边形ABCD是正方形【答案】C【分析】利用与任意向量共线判断A，利用共线向量的基线平行或重合判断B，利用向量的线性运算法则判断C，利用平行四边形法则判断D.【详解】对选项A，当时，与不一定平行，故选项A错误；对选项B，因为共线向量的基线平行或重合，故选项B错误；对选项C，因为，所以选项C正确；对选项D，因为，所以，整理可得，即为直角，但是四边形不一定是正方形，故选项D错误.故选：C.38．（2023下·全国·高一随堂练习）已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（）A． B． C． D．12【答案】A【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得.【详解】依题意，，所以.故选：A39．（2024·全国·高一假期作业）如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（）A． B．3 C．9 D．13【答案】C【分析】利用平面向量数量积的几何意义及三角形相似计算即可.【详解】由题意易知，则，过作于，所以，，所以，不妨设，则，故.故选：C40．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）若向量与向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影向量是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由数量积的运算律代入计算，可得，再由投影向量的计算公式，即可得到结果.【详解】因为向量与向量的夹角为，且，则，即，又，所以，所以向量在向量方向上的投影向量是.故选：D41．（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由题意可知，为外接圆的圆心，过作，，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得，同理得，从而两式联立即可求得的值．【详解】由题意可知，为的外心，设外接圆半径为，在圆中，过作，，垂足分别为，，则，分别为，的中点，因为，两边乘以，即，的夹角为，而，则，得①，同理两边乘，即，，则，得②，①②联立解得，，所以．故选：C．二、多选题42．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）如图在中，AD､BE､CF分别是边BC､CA､AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.【详解】由条件可知为的重心，对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；对于D，故D错误；对于C，，，，故C正确.故选：BC.43．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）下列说法不正确的是（）A．已知均为非零向量，则存在唯一的实数，使得B．若向量共线，则点必在同一直线上C．若且，则D．若点为的重心，则【答案】BC【分析】根据平行向量基本定理可判断A，根据平面向量共线的含义可判断B，根据平面向量的数量积可判断C，根据平面向量的运算与三角形重心的性质可判断D．【详解】由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的；向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线，只有当向量，所在的直线线共线时，点，，，才在同一直线上，故B不正确；由平面向量的数量积可知，若，则，所以，无法得到，故C不正确；设线段的中点为，若点为的重心，则，而，所以，即D正确.故选：BC．44．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）若向量满足，，则（）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量为【答案】BC【分析】根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，求出，即可判断D.【详解】对于A：因为，，所以，所以，故A错误；对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：因为，且，所以在上的投影向量为，故D错误；故选：BC45．（2023下·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知向量满足，则下列说法正确的是（）A． B．若，则C．，有恒成立 D．若，则【答案】ABC【分析】将化为可判断A；将化为可判断B；将平方，根据二次函数的最值可判断C；计算可判断D.【详解】解：对于A,因为，所以，即，故，故A正确；对于B，可化为，即.若，则，即，故B正确；对于C，，故，故C正确；对于D，若，则，该式子的值随着的变化而变化，故D错误.故选：ABC.三、填空题46．（2023下·山西朔州·高一校考阶段练习）已知是的边上的点，且，设，则.【答案】【分析】画出图形利用向量线性运算即可得到答案.【详解】故答案为：.47．（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是，最大值是．【答案】3【分析】综合应用平面向量的数量积和三角函数的知识即可解决.【详解】设向量的夹角为，，因为，所以，故的最大值是3；同理，所以，则，因为，所以，故.因为，所以，故最大值是.故答案为：3；.48．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面向量