高中数学人教A版选修2-1测评模块综合测评（A）

模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:∀x∈R,x≥1,则命题p为()A.∀x∈R,x≤1 B.∃x0∈R,x0<1C.∀x∈R,x≤1 D.∃x0∈R,x0<1解析全称命题的否定是特称命题.答案B2.设向量a=(2,2,0),b=cosα,12,1(0°<α<180°),若a⊥b,则角α=()A.30° B.60° C.120° D.150°解析a·b=2cosα+2×-12+0×1=0得cosα=12,因为0°<α<180°,所以α=60°,答案B3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为()A.18 B.18 C.8 D解析由y=ax2得x2=1ay,∴1a=8,∴a=答案B4.设a,b,c,d为实数,则“a>b,c>d”是“a+c>b+d”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析根据不等式的可加性可得a>b,c>d⇒a+c>b+d成立;反之不成立,例如取c=5,d=1,a=2,b=3,满足a+c>b+d,但是a>b不成立,所以“a>b,c>d”是“a+c>b+d”的充分不必要条件.故选A.答案A5.下列命题中,真命题是()A.对于任意x∈R,2x>x2B.若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题C.“平面向量a,b的夹角是钝角”的充分不必要条件是“a·b<0”D.存在m∈R,使f(x)=(m1)xm2-4m+3是幂函数,解析对于A,对于任意x∈R,2x>x2,当x=2时,不等式不成立,所以A不正确;对于B,若“p且q”为假命题,则p,q至少有一个是假命题,不一定均为假命题,所以B不正确;对于C,“a·b<0”推出“平面向量a,b的夹角是钝角或平角”,又“平面向量a,b的夹角是钝角”可推出“a·b<0”,所以“平面向量a,b的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a·b<0”,所以C不正确;对于D,存在m∈R,使f(x)=(m1)xm2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上是单调递减的,例如m=2时,满足题意,所以答案D6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段A.椭圆 B.圆C.双曲线的一支 D.线段解析∵P为MF1中点,O为F1F2的中点,其中F2为椭圆的右焦点,∴OP=12MF2又MF1+MF2=2a,∴PF1+PO=12MF1+12MF2∴P的轨迹是以F1,O为焦点的椭圆.答案A7.在空间四面体OABC中,M,N分别是OA,BC的中点,P是MN的三等分点(靠近N),若OA=a,OB=b,OC=c,则OP=()A.13a+16b+1B.16a+13b+C.12a+16b+1D.16a+12b+解析由题意可得:AN=12(AB+AC)=12[(OB-OA)+(OCMN=MA+AN=12a+12(b+c)aOP=OM+23MN=12a+13(b+ca)故选B.答案B8.经过点(3,2)的双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其一条渐近线方程为A.2 B.2 C.22 D.4解析点(3,2)在双曲线x2a2-y2b2=又渐近线方程为y=±bax,一条渐近线方程为y=33x,可得ba=33,解得所以c=a2+b2=2,焦距为2c=4答案D9.已知向量a=(2,1,0),b=(1,1,1),且a+b与kab互相垂直,则k的值是()A.1 B.12 C.1 D.解析因为向量a=(2,1,0),b=(1,1,1),所以a+b=(1,2,1),kab=(2k+1,k1,1),又a+b与kab互相垂直,所以(a+b)·(kab)=0,即1×(2k+1)+2×(k1)+1×(1)=0,解得k=12.故选B答案B10.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2A.3 B.2 C.6 D.5解析双曲线的一条渐近线为y=bax由y=bax,y=x2+1,由题意,知Δ=-ba24=0,∴b2=4又c2=a2+b2,∴c2=a2+4a2=5a2.∴ca答案D11.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,则AA1与平面AB1C1所成的角为()A.π6 B.C.π3 D.解析∵在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,∴建立以A为坐标原点,直线AC,AB,AA1分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图.则A1(0,0,6),A(0,0,0),B1(0,2,6),C1(2,0,6),则AB1=(0,2,6),AC1设平面AB1C1的法向量为m=(x,y,z),AA1=(0,0,则m·AB1=2y+6z=0,m·AC1=2令z=1,则x=62,y=6即m=-6则AA1与平面AB1C1所成的角θ满足sinθ=|cos<AA1,=66则θ=π6,故选A答案A12.已知点P1,32是椭圆x24+y23=1上一点,点A,B是椭圆上两个动点,满足PA+A.12 B.22 C.12解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵PA+PB=3PO,点P∴x=3-1∴x1+x2=1,y1+y2=32把A,B代入椭圆方程,得3两式相减,得3(x1+x2)(x1x2)+4(y1+y2)(y1y2)=0,∴y1-y∵x1+x2=1,y1+y2=32∴kAB=y1-y2x故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.双曲线x2y23=1的渐近线方程为,焦点坐标为解析双曲线x2y23=1的渐近线方程为y=±3x,焦点坐标为(±答案y=±3x(±2,0)14.若抛物线y2=2px(p>0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为.

解析∵抛物线y2=2px(p>0)上一点到对称轴的距离为6,∴设该点为P,则P的坐标为(x0,±6).∵P到抛物线的焦点Fp2,∴由抛物线的定义,得x0+p2=10.①∵点P是抛物线上的点,∴2px0=36,②由①②联立,解得p=2,x0=9或p=18,x0=1,∴抛物线方程为y2=4x或y2=36x.答案y2=4x或y2=36x15.已知点P是椭圆x29+y25=1上的一点,F1,F2是焦点,且∠F1PF2=90°,则△F1解析由椭圆x29+y25=1知,|PF1|+|PF又∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16,而|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)22|PF1|·|PF2|=16,解得|PF1|·|PF2|=10,所以△F1PF2的面积为S=12|PF1|·|PF2|=5故答案为5.答案516.在棱长为2的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则DE·AC=解析∵E是BC的中点,∴DE=DA∴DE·AC=(DA+AE)·AC=DA+=DA=|DA|·|AC|·cos120°+12|AB|·|AC|·cos60=2+1+2=1.故答案为1.答案1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知p:x26x+5≤0,q:x22x+1m2≤0(m>0).(1)若m=2,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.解(1)由x26x+5≤0,得1≤x≤5,∴p:1≤x≤5.当m=2时,q:1≤x≤3.若p∧q为真,p,q同时为真命题,则1≤x≤5,-1≤x≤3∴实数x的取值范围为[1,3].(2)由x22x+1m2≤0,得q:1m≤x≤1+m.∵p是q的充分条件,∴m>0,1-∴实数m的取值范围为[4,+∞).18.(本小题满分12分)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.(1)求证:EG∥AC;(2)求证:平面EFG∥平面AB1C.证明把{AA1,(1)因为EG=ED1+D1所以EG∥AC.(2)由(1)知EG∥AC,又AC⊂平面AB1C,EG⊄平面AB1C,所以EG∥平面AB1C.因为FG=FD1+D1所以FG∥AB1.又AB1⊂平面AB1C,FG⊄平面AB1C,所以FG∥平面AB1C.又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C.19.(本小题满分12分)设命题p:函数f(x)=lgax2-x+a16的定义域为R;命题q:不等式3x(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;(2)如果“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.解(1)若命题p是真命题,则:①当a=0时,定义域为{x|x<0},不符合题意;②由a所以a>2.因此,实数a的取值范围为(2,+∞).(2)若命题q是真命题,则不等式3x9x<a对一切正实数x均成立.令t=3x,t>1,y=tt2.当t=1时,ymax=0,所以a≥0.若命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则p,q一真一假.①若p真q假,则a>2,a②若p假q真,则a≤2,a≥0,得0综上,实数a的取值范围为[0,2].20.(本小题满分12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:OM·OP(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(1)解a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2.∴椭圆方程为x24+(2)证明C(2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则OP=(x1,y1),OM=(2,y0).直线CM:y=y04(x+2),即y=y04x+代入椭圆方程x2+2y2=4,得1+y028x2+12y∵x1=12∴x1=2(y02-8)∴OP=∴OP·OM=4(y0(3)解设存在Q(m,0)满足条件,则MQ⊥DP.MQ=(m2,y0),DP=则由MQ·DP=0得4y02y02+8(∴存在Q(0,0)满足条件.21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=2,M是棱PD上一点,且DM=λDP,0≤λ≤1.(1)当λ=13时,求直线AM与PC所成角的余弦值(2)当CM⊥BD时,求二面角MACB的大小.解(1)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设M(x,y,z),则DM=λDP=(0,2λ,2λ)(0≤λ≤1),AM=AD+DM=(0,22当λ=13时,AM=0,4∴cos<AM,PC>=∴直线AM与PC所成角的余弦值为25(2)BD=(2,2,0),CM=CD+DM=(2,2当CM⊥BD时,CM·BD=24λ=0,解得λ=此时,AM=(0,1,1),AC=(2,2,0),设平面MAC的一个法向量n=(x,y,z),则n·AM=y+z=0,n·又平面BAC的一个法向量AP=(0,0,2),∴cos<n,AP>=n·由图象得,二面角MACB是钝二面角,∴二面角MACB的大小为120°.22.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1(b>0)的右顶点和上顶点分别为A,B,M为线段AB的中点,(1)求椭圆的离心率;(2)四边形ABCD内接于椭圆,AB∥CD.记直线AD,BC的斜率分别为k1、k2,求证:k1·k2为定值.(1)解A(2,0),B(0,b),线段AB的中点M1,b2.AB=(2,b),OM=1,b2.∵OM·AB=32∴2+b2