2023年上海市徐汇区中考数学二模试卷-普通用卷

2023年上海市徐汇区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列互为倒数的是（）

A.3和；B.—2和2C.3和—：D.—2和；

2.下列运算结果错误的是（）

A.m2÷τn3=m~1B.（m2）3=m6C.m2∙m3=m5D.m2+τn3=m5

3.如图，数轴上的点4和点B分别在原点的左侧和右侧，点/、8对应的实数分别是a、b,下

列结论一定成立的是（）

AB

_____I_________I______________I______

A.α÷ð<0B.b—a<0C.—2a>—2bD.∣α∣>∖b∖

4.若点（-2,MI）、（-l,y2）'（2,y3）在反比例函数y=（（k<0）的图象上，则（）

A.y1>y2>y3B.y2>yι>y3C.y3>y1>y2D.y3>y∑>yι

5.某校足球社团有50名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的》,下列关于

年龄的统计量不会发生改变的是（）

年龄（单位：岁）1314151617

频数（单位:名）1215X14—%9

A.平均数、中位数B.平均数、方差C.众数、中位数D.众数、方差

6.如图，在梯形ABC。中，己知BC,4。=3,BC=9,AB=6,

CD=4,分别以48、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.计算：4∑='

ɔ__

8.已知/（x）=M,那么耳）=.

9.根据电影发行方的数据，电影造江红沙截至2023年3月17日，以4535000000元的票房

高居春节档前列，数据4535000000用科学记数法表示为

'χ2-3y+2/=。的解是

10.方程组•

,%+y=3

11.妈妈煮了4个汤圆，分别是2个花生味和2个芝麻味，小明随意吃两个恰好都是花生味的

概率是.

12.己知关于X的方程/一2x-m=0有两个不相等的实数根，那么Tn的取值范围是

13.如图，已知在△4BC中，点。是边4C上一点，且CD=24D.设瓦？=

a,BC=b,那么向量筋.(用久五+yE的形式表示，其中X、

y为实数)

14.为了了解学生在家做家务情况，某校对部分学生进行抽部分学生平均每周做家务

时间的频数分布百方图

样调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图(每组数据含最

小值，不含最大值).如果该校有1500名学生，估计该校平均

每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是人.

I2.54N问

15.某公司产品的销售收入y1元与销售量%吨的函数关系记为yι=∕(x),销售成本y2与销售

量X的函数关系记为及=g(χ),两个函数的图象如图所示.当销售收入与销售成本相等时，销

售量X为吨.

16.如图，已知O。的内接正方形力BCz）,点F是力的中点，AF与边

DC交于点E,那么M=.

17.如图，抛物线口：丫=%2+2%-3与抛物线。2：）/=

α∕+bx+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线CI和抛

物线C2与X轴有着相同的交点4、B（点B在点4右侧），与y轴的

交点分别为C、。.如果2。=CD,那么抛物线C2的表达式是

18.如图，在直角坐标系中，已知点4（8,0）、点8（0,6）,04的半径为5,点C是。4上的动

点，点P是线段BC的中点，那么OP长的取值范围是.

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题10.0分）

先化简，再求值：（工―1）+-⅛J,然后从一3,-2,0,2,3中选一个合适的数代入求

kx+3JX2÷6X+9

值.

20.(本小题10.0分)

(^ix+6>5(X—2)

求不等式组，x-2∕2x-l的整数解.

t1^^r≤-

21.(本小题10.0分)

如图，AD,AE分别是AABC边BC上的高和中线，已知BC=8,tcmB=^,NC=45。.

(1)求AC的长；

(2)求SinNB4E的值.

22.(本小题10.0分)

小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘

米的4处，花洒AD的长度为20厘米.

(1)己知花洒与墙面所成的角NBAD=120。,求当花洒喷射出的水流CD与花洒力。成90。的角时,

水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离.(结果保留根号)

(2)某店铺代理销售这种花泗，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每

个花洒的价格比上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求

这个此款花洒的原价是多少元？

图2

23.(本小题12.0分)

如图，已知。。是AABC的外接圆,联结40并延长交边BC于点。,联结OC,且。C?=ODAD.

(1)求证：AC=BC；

(2)当ZB=AC时，过点4作边BC的平行线，交。。于点E,联结。E交4C于点F.请画出相应的

图形，并证明：AD-AE=BC-EF.

24.(本小题12.0分)

如图，已知抛物线y=/+b%+c经过点4(一2,7),与X轴交于点8、C(5,0).

(1)求抛物线的顶点M的坐标；

(2)点E在抛物线的对称轴上，且位于工轴的上方，将△BCE沿直线BE翻折，如果点C的对应点

F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标；

(3)点P在抛物线的对称轴上,点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当^CPQ为等边三角形时,

求直线BQ的表达式.

25.(本小题14.0分)

已知：如图1,四边形ABCD中，AB=AD=CD,NB=NC<90。.

(1)求证：四边形4BCD是等腰梯形；

(2)边CO的垂直平分线E尸交CD于点E,交对角线4C于点P,交射线AB于点F.

①当4F=AP时，设AD长为X,试用X表示AC的长；

②当BF=DE时，求黑的值.

BC

备用图2

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：λ>∙.∙3×∣=1,

••.3和拒为倒数，符合题意；

8、•••(-2)×2=-4,

-2和2不互为倒数，不符合题意；

1

C>∙.∙3×(―ɜ)=-1»

•••3和-！不互为倒数，不符合题意；

Ds'''(-2)XT=-1,

•••-2和杯互为倒数，不符合题意.

故选：A.

根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可.

本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：•・•m2÷m3=m~1,

・・.A选项的运算正确，不符合题意；

,：(Tn2)3=m6t

・・.B选项的运算正确，不符合题意；

Vm2∙m3=m5ɔ,

二C选项的运算正确，不符合题意；

••・m2和m3不是同类项，不能合并，

∙∙∙D选项的运算错误，符合题意.

故选：D.

利用同底数第的除法法则，幕的乘方和积的乘方，同底数基的乘法法则和合并同类项的法则对每

个选项进行逐一判断即可.

本题主要考查了同底数塞的除法，基的乘方和积的乘方，同底数基的乘法和合并同类项，熟练掌

握上述法则与性质是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：根据数轴可知α<O<b,∣ɑ∣<∣b∣,

4依题意α+b>O,故结论错误，该选项不符合题意；

B：依题意b-α>0,故结论错误，该选项不符合题意；

C：依题意-2α>-2b,故结论正确，该选项符合题意；

D：依题意∣α∣<网，故结论错误，该选项不符合题意.

故选：C.

首先利用数轴上的信息确定a、b的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题.

此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，同时也利用了不等式的性质.

4.【答案】B

【解析】解：∙∙∙k<0,

・••反比例函数丫=5(卜<0)的图象在二、四象限，在每个象限内y随X的增大而增大，

∙∙∙⅛(-2,y1)>(-1,y2)在第二象限，y2>yι>0:(2,y3)在第四象限，为<0,

y∑>yι>y≡∙

故选：B.

先判断出反比例函数y=；(k<0)的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象

限坐标的特点进行判断即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为X+14-x=14,而14岁人数有15

人，

故该组数据的众数为14岁，

中位数为：(14+14)÷2=14(^).

即对于不同的工，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数.

故选：C.

由频数分布表可知年龄15岁和年龄16岁的两组的频数和为14,即可得知总人数，结合前两组的频

数知出现次数最多的数据及第25、26个数据的平均数，可得答案.

本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、

中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：分别取48、OC中点M和N,连接"N,

∙∙∙MN是梯形ABCD的中位线，

.∙.MN=XAD+BC)=TX(3+9)=6,

••・分别以4B、CD为直径的圆的圆心是M和N,

.∙∙OM和。N的圆心距d=MN=6,

•••OM的半径R=∖AB=TX6=3,ON的半径r=TCD=；x4=2,

・•・d>R+r,

这两圆的位置关系是外离.

故选：D.

两圆的圆心距是d,半径分别是R、r,两圆外离合d>R+r,由此即可判断.

本题考查圆与圆的位置关系，关键是掌握圆与圆位置关系的判定方法.

7.【答案】2

【解析】解：根据算术平方根的定义，

得，42=V4—2∙

故答案为：2.

根据算术平方根的定义，如果一个正数X的平方等于α,即∕=α,那么这个正数X叫做α的算术平

方根，解答出即可；

本题考查了算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一

个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找.

8.【答案】1

［解析］解：•・・/(x)=ɪ-,

•••/⑶=£2=1,

故答案为：1.

根据/(X)==,可以求得/(3)的值，本题得以解决.

本题考查函数值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答.

9.【答案】4.535×IO9

【解析】解：4535000000=4.535×IO9.

故答案为：4.535XIO9.

科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中l≤∣α∣<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成α时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，

n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为αXI(Tl的形式，其中1≤∣α∣<10,n

为整数，正确确定ɑ的值以及n的值是解决问题的关键.

io.【答案】卜片=；

【解析】解：F一3盯+2yJ°

U+y=3②

由①得：(x-y)(x-2y)=0,

X—y=0或X-2y=0③，

由③和②组成两个二元一次方程组：

(x—y=0(x-2y=0

f%+y=3'(x+y=3,

ɪl=久2=2

解得：∙

%=1

∖yι=

X=2

所以原方程组的解是2

yι=ι,

故答案为:

由①得出(X-y)(x-2y)=0,求出X-y=0或X-2y=0③，由③和②组成两个二元一次方程

组，求出两方程组的解即可.

本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键.

11.【答案】ɪ

O

【解析】解：设2个花生味的汤圆分别记为A,B,2个芝麻味的汤圆分别记为C,D,

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小明随意吃两个恰好都是花生味的结果有：AB,BA,共2种，

二小明随意吃两个恰好都是花生味的概率为4=ɪ

IZO

故答案为：ɪ

O

画树状图得出所有等可能的结果数以及小明随意吃两个恰好都是花生味的结果数，再利用概率公

式可得出答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

12.【答案】m>-l

【解析】解：根据题意得：

4=4+4m>0,

解得：m>-1,

故答案为：m>—1.

根据“关于X的方程%2-2X-Tn=O有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于小的

一元一次不等式，解之即可.

本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键.

13.【答案】∣α+jð

【解析】解："AC=AB+BC,

：.AC=-a+b>

VCD=2AD,

.∙.AD=^AC,

■.AD=I(―α+6),

BD—BA+AD=ɑ+—(—α+b)=ɜɑ+—6.

故答案为：∣α+ɪfa.

利用三角形法则求出而，再求出而，前即可.

本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型.

14.【答案】720

【解析】解：

1500x4JX10=720(A),

估计该校平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数约是720人.

故答案为：720.

用总人数乘样本中平均每周做家务的时间少于2小时的学生人数所占比例即可.

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.本题用到的知识点是：频率=频

数÷总数，用样本估计整体让整体X样本的百分比即可.

15.【答案】4

【解析】解：由图象可得，

函数%=f(X)是正比例函数，过点(2,2000)；函数丫2=g(x)是一次函数，过点(0,2000),(2,3000),

设yi=kx,

则2k=2000,得k=1000,

即月=IOOOxi

设丫2=ax+b,

则代=2000,

l2a+b=3000

解得仁湍

即=500x+2000≈

令力=丫2，

则IOoOX=500x+2000,

解得X=4,

即当销售收入与销售成本相等时，销售量久为4吨，

故答案为：4.

根据函数图象和图象中的数据，可以得到两个函数对应的函数解析式，然后令它们的函数值相等,

求出相应的X的值即可.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

16.【答案】咛工

【解析】解：如图，作直线OF交CD,4B分别为M,N,

r点F是8的中点,

.∙.OF1CD,

•••正方形ABCC是。。的内接正方形,

.∙.OF1AB,

设。。的半径为r,

则AB=√^7r,

.∙.ON=OE=?r，

EF=r-¥r，

∙.∙EM//AN,

EFEF—苧rC-I

"AE^EN=~T^r=~2^•

故答案为：£2-1.

作直线OF交CD，ZB分别为M,M点F是力的中点，根据垂径定理得OFlCD,根据正方形ABCD

是。。的内接正方形，所以0F∙L4B,设O。的半径为r,则4B=，2r，ON=OE=号r，EF=

TWτ，根据EM〃/IN,所以空=空=L⅛=CzL

2AEENy∏,r2

本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质以及正多边形和圆，熟练掌握相似三角形的

判定和性质，正方形的性质以及正多边形和圆的性质是解题的关键.

17.【答案】y=#+京V

【解析】解：令/+2%—3=0,

解得—1»久2=-3,

ΛΛ(-3I0),B(LO),

•・・当％=0时，y=%2+2%-3=-3,

ΛC(0,-3),

•・•当％=0时，y=ax2÷hx+c=c,

・•・D(O,c),

ʌCD=c+3,

在Rt△BDo中，

BD=√OD2+OB2=√c2+1,

•・•BD=CD,

・•・Vc2÷1=C+3，

解得C=Y，

抛物线。2：y=ax2+bx-

将力(-3,0),8(1,0)代入丁="2+法-$

(9a—3b—2=0,

得4ɜ

(α+6-w=0,

解得

.•・抛物线C2的表达式是：y=#+狂一去

故答案为：y=ξx2+∣x-5'

先利用抛物线Cl求出4,B,C的坐标，再利用BD=CC,以及勾股定理求出点D的坐标，最后用

待定系数法求出C2的表达式即可.

本题考查待定系数法求抛物线解析式，解答时涉及抛物线与坐标轴的交点，勾股定理，掌握待定

系数法求函数解析式是解题的关键.

18.【答案】∣≤OP≤竽

【解析】解：•••4(8,0)、AOB=90点8(0,6),

：•OA=8,OB=6,Z.AOB=90°,

连接力B,AC,取AB的中点D,即D的坐标(4,3),

又∙.∙DP分别是4B、BC的中点，

.∙.DP=∣AC="X5=|,

D是定点,DP=|，即点P的运动轨迹是以点。为中心，DP为半径的圆.

5

-

2-

VDPT=DP2

・・・点。坐标(4,3),

・•・OD=V42+32=5»

.∙.OP的取值范围是0。-DP1≤OP≤OD+DP2,即5-?≤

OP≤5+1，

即I<OP≤y∙

故答案为：I≤OP≤y.

根据DP分别是4B、BC的中点，DP==^×5=γ。是定点，DP=|，即点P的运动轨迹是

以点。为中心，DP为半径的圆，由此解答即可.

本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键.

2

19.【答案】解：原式=(JT—≡±¾∙,(；翌)八

∖v+3X+37(X+2)(X-2)

—一(%+2)、(X+3)2

—x+3)(x+2)(x-2)

x+3

二2≡χ,

vχ+3≠O,x+2≠0,%—2≠O,

∙*∙x≠-3、-2、2,

当X=O时，原式=黑=今

L-UL

当％=3时，原式=1^=一6.

Z—ɔ

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简,根据分式有意义的条件确定X的值,代入计算即可.

本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

3x+6>5(x-2)①

.【答案】解:

201-寻竽②

解不等式①得：X<8,

解不等式②得X≥ɪ,

・•.不等式组的解集为告≤x<8,

O

则不等式组整数解有2、3、4、5、6,6、7.

【解析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答案.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小：大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

21.【答案】解：⑴∙.∙AE是AABC边BC上中线，BC=8,

.∙.BE=EC=^BC=4.

•••ADABC边BC上的高，/.C=45°,

.∙.△力CD是等腰直角三角形，AD=DC,

设AD=X,则DC=X,BD=3x.

■■BD+DC=BC=8,

■-3x+X=8,

解得X=2,

•••AD的长为2；

(2)如图,作EFIaB于尸.

由(1)知EC=4,DC=2,

：.ED=EC-DC=4-2=2,

ʌAE=√AD2+DE2=√22+22=2√^I∙

在Rt△BEF中,•：tanB=或='，

or3

二可设E尸=y,则BF=3y.

•••EF2+BF2=BE2,

•.y2+(3y)2=42,

解得y=智,

2√T0

.∙.EF

-5-,

r∙

r2Er~ε

YiMBAE=族=帚•=丁

【解析】(1)根据三角形中线的定义得出BE=EC=；BC=4,根据正切函数的定义设40=x,则

DC=XJ8。=3%.由BD+DC=BC=8,列出方程3%+%=8,求出入即可得到4D的长;

(2)如图，作EF1AB于F,利用勾股定理求出AE=√AD2+DE2=2-2在Rt△BEF中，利用正切

函数定义以及勾股定理求出E尸=?，然后根据正弦函数定义即可求出SinaBAEɪgɪɪ=

√~5

^^5^'

本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形的中线和高，掌握相关定义及

定理是解题的关键.

22.【答案】解：（I）如图，过点。作E/7/BC,作4E，EF,CF1EF,垂足分别为E,F,

图1图2

VZ.BAD=120°,

∙,∙Z-EAD=60°,

・•.∆EDA=30°,

-AD=20厘米,

ʌAE=^AD=10厘米,DE=Ioq厘米,

.∙.CF=BE=160+10=170厘米,

・・•Z.ADC=90°,

・・・乙CDF=60°,

・•・乙DCF=30°,

nc,CF170∖Λ^3r≡-Λj∕

・•.OF=%=-T-厘米,

170√^3200/3

・・・BC=EF=IOq+（厘米），

33

200√^3

答：水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离为:f厘米;

3

（2）设每个花洒的原价是X元，则现在的价格是（尤-20）元,

2400+4002400C

根据题意得:-----=8,

X-20X

解得Y=120或-50（舍去）,

经检验：X=120是原方程的解,

答：这个此款花洒的原价是120元.

【解析】（1）过点。作EF〃BC,作4E1EF,CF1EF,垂足分别为E,F,分别求出DE=IOq厘

米，DF=〃婴厘米，即可得出答案;

3

（2）设每个花泗的原价是X元，则现在的价格是（X-20）元，根据题意得：2400+400_2400=8）解

X-ZUX

方程即可.

本题考查了解直角三角形的应用和分式方程的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，

利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键.

23.【答案】CI）证明：延长C。，交。。于点E,交4B于点F,如图，

∙.∙DC2=OD-AD,//\\\

OD_DC

V∆ODC=Z-CDA,

•••△ODCSXCDA,

ʌ∆OCD=∆DAC,

•・•OA=OC,

：・Z-DAC=∆ACOf

・•・Z.ACO=∆OCD,

：•AE=BE，

・•・OFIaB,

：•BC=AC'

，AC=BC；

(2)解：依题意画出图形如图：

VAB=ADf

・•・∆ABD=∆ADB,

•：AEUBJ

ʌ∆ACB=Z.EAFf∆EAD=Z-ADB,

・∙・Z-ABD=∆EAD.

VOA=OE,

.•・Z.DAE=∆E，

ʌ∆ABD=Z-E,

ABC〜二FEAf

AB__BC_

~EF=AE

VAB=AD,

tAD_B£

ʌ~EF~AEf

.∙.AD∙AE=BC∙EF.

【解析】(1)延长CO,交。。于点E,交AB于点凡利用相似三角形的判定定理与性质定理得到

∆OCD=∆DAC,利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质得到NACO=/OCD,利用圆周角定理

得到靛=命，利用垂径定理和圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理解答即可得出结论；

(2)依题意画出图形，利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到乙4BD=4E,利用相似三角形

的判定与性质和等量代换解答，即可得出结论.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，

熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.

24.【答案】解：(1)♦.・抛物线y=x2+bx+(?经过点4(一2,7),点。(5,0),

.(4-2b+c=7

''l25+5b+c=0'

解得:F=一：，

IC=-5

Vy=%2—4%—5=(%—2)2—9,

・•・抛物线的顶点M的坐标为(2,-9)；

(2)设E(2,t),且t>0,如图，连接CF,设抛物线的对称轴交X轴于D,

则D(2,0),

•・・点B、C关于直线X=2对称,

・・・8(-L0),

:,BC=6,BD=CD=3,DE=t,

-1

由翻折得：BF=BC=6,乙FBE=乙CBE=a乙CBF,

・・•点F在抛物线的对称轴上，

.∙.CF=BF=6,

ʌCF=BF=BC,

.•.△8C尸是等边三角形，

・・・乙CBF=60°,

・•.∆CBE=30°,

・•.M=tan∆CBE=tan30o=¥，

BDɔ

t口

-=-----，

33

:∙t=√"3,

・•・EQO、

(3)取(2)中的点F,连接CF9设直线BQ交y轴于点H,

・.・BF=BC=CF=6,

・・・△尸CB为等边三角形，

ΛZ-BCF=乙BFC=60°,

•・・FM1BCf

ʌ乙CFP=T乙BFC=30°,

・・・点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，ACPQ为等边三角形,

・・・CP=CQfZ-PCQ=60°,

・•・乙BCF+乙BCP=乙PCQ+乙BCP,即NFCP=(BCQ,

・•.△CFP≡ΔCBQ(SAS),

・•・Z-CBQ=Z.CFP=30o,

在Rt△BOH中，OB=1,∆BOH=90o,∆HBO=30°,

空=tanzHBO=tαn30o=呈,

UD3

.∙.OH=乌

-m÷n=0

设直线BQ的函数表达式为y=mx+n,把8(-1,0)、H(0,_f)代入，得:

解得：

••・直线BQ的表达式为y=一?%一y.

【解析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线解析式为y=X2-4X-5,再运用配方法化为顶点式

即可得出抛物线的顶点M的坐标为(2,-9)；

(2)设E(2,t),且t>0,连接CF,设抛物线的对称轴交X轴于D,利用抛物线的对称性可得B(-l,0),

由翻折的性质可得：BF=BC=6,乙FBE=&CBE=三乙CBF,推出△BCF是等边三角形，得出

NCBF=60。，NCBE=30。，再运用解直角三角形即可求得答案；

(3)取(2)中的点尸，连接BF,CF,设直线BQ交y轴于点“，可得△FCB为等边三角形，再证得△

CFP≤ΔCBQ(SAS),得出NCBQ=4CFP=30。，利用解直角三角形求得H(O,再运用待定

系数法即可求得直线BQ的表达式.

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的应用，等边三

角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，解本题的关键，熟练掌握代入

法求二次函数解析式，添加辅助线构造全等三角形.

25.【答案】（1）证明：延长84、CD交于点尸,

P；、

：,PB=PC,

-AB=CD,

・•・PB-AB=PC-CD,即24=PD,

・•・∆PAD=∆PDA1

•・•zβ+ZC÷ZP=∆PAD+∆PDA+4P=180°,

・•・+ZC=∆PAD+Z-PDA,

即2N8=2Z-PAD,

：■Z-B=Z-PAD1

^AD//BC,

•・・zβ÷ZC<90°,

・・・÷ZC≠180°,

.∙.AB与CD不平行，

四边形ABCn是梯形，

∙.∙AB=CD,

••・梯形ABCC是等腰梯形；

(2)解：①连接DP,

则DP=CP,

・•・Z.PDC=乙PCD,

图1

-AD=CD,

ʌZ.DAC=Z.DCA=∆PDC,

ʌʌ