广东省佛山市重点中学2023-2024学年高三上学期12月数学月考试题

广东省佛山市重点中学2023-2024学年高三上学期12月数学月考试题一、单项选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）1．已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=−1，则共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合M={x||x−3|<1}，N={x|x2−3x−4<0}，那么“a∈MA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=x|x|A． B．C． D．4．已知cos(α2A．13 B．12 C．−15．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a3A．63 B．72 C．135 D．1446．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD−A′B′CA．13 B．−13 C．37．已知函数f(x)=12x，x≥0A．(0，12eC．(−∞，−18．设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|≤π2)．若x=−π3为函数f(x)的零点，x=A．334 B．394 C．60二、多项选择题（本大题共4小题，共20分．在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求．）9．在△ABC中，下列命题正确的是（）A．ABB．若(AB+ACC．ABD．若AB⋅AC>010．已知直线l：x+2my+1=0，圆E：x2A．直线l必过点(1B．直线l与圆E必相交C．圆心E到直线l的距离的最大值为1D．当m=1211．如图，平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，AB⊥BD且AB=BD=2，M是AD的中点．沿BL将△BCD翻折，折成三棱锥C−ABD，翻折过程中下列结论正确的是（）A．当平面ABD⊥平面BDC时，三棱锥C−ABD的外接球的表面积是28πB．棱CD上存在一点N，使得MN∥平面ABCC．存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角D．三棱锥C−ABD的体积最大时，二面角C−AD−B的正切值为612．在数列{an}中，an2−aA．{(−3)B．若正项等方差数列{an}的首项a1C．等比数列不可能为等方差数列D．存在数列{a三、填空题（本大题共4小题，共20分．）13．当x∈(0，+∞)时，幂函数y=(m214．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为23，则圆锥底面圆的半径等于15．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=2b，a=1，则△ABC面积的最大值为．16．已知函数f(x)=12(x+4)ex，g(x)=xln(2x)+4x．若实数x1，四、解答题（本大题共6小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知直线l1：2x−y−7=0，l2：ax+y-a=0，且直线l1（1）求a的值：（2）若直线l过直线l1与l18．已知向量m=(sinx，1)（1）若m∥n，求（2）若△ABC为锐角三角形，且f(A)=12，求19．在四棱锥P−ABCD中，侧面PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PB=PC=2，CD=AD=1，E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N．（1）求证：MN⊥平面PAB；（2）若直线PC与平面CEMN的所成角的正弦值为217，求PM20．某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验．（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图：甲乙总和合格不合格总和151530现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善2×2列联表，依据α=0.05的独立性检验，能否认为产品质量与生产团队有关联；（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为35，来自乙生产的概率为2附：K2=nP(0.150.100.050.0250.0100.001k2.0722.7063.8415.0246.63510.82821．已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为S给出以下条件：①1a5是1S2与1S5的等差中项：②S2，a6，S（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）求{a（2）令{bnan}（3）若n∈N∗，λ(T22．若对实数x0，函数f(x)、g(x)满足f(x0)=g(x0)已知f(x)=ax3−（1）若1是平滑函数F(x)的“平滑点”，①求实数a，b的值；②若过点P(2，t)可作三条不同的直线与函数（2）判断是否存在a>1，使得对任意b>0，函数F(x)存在正的“平滑点”，并说明理由．

答案解析部分1．【答案】C【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数【解析】【解答】解：因为z=−11+i=−11−i2=−122．【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法；一元二次方程的解集【解析】【解答】解：由x−3<1，可得2<x<4，由x2−3x−4<0可得−1<x<4.即M⊆N，所以“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件.

3．【答案】A【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象【解析】【解答】解：由题意知x≠0，f−x=−x−xe−x−ex4．【答案】D【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式【解析】【解答】解：因为cosα2+π4=63，所以cos2α2+5．【答案】C【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项【解析】【解答】解：因为S1010−S55=10，所以6．【答案】B【知识点】二面角的平面角及求法；余弦定理【解析】【解答】解：由已知可得四面体A'BDA为正四面体，取BD的中点E，连接A'E，CE，设四面体的棱长为2，则A'E=CE=3，且A'E⊥DB，CE⊥DB，则∠A'EC为二面角A′−BD−C的平面角，因为cos∠A'EA=A'7．【答案】A【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：因为函数f(x)=12x，x≥0−x2，x<0，

构造函数h(x)=f(x)ex=x2ex，x≥0，x2ex，x<0，

当x≥0时，h(x)=x2ex，则h'(x)=1−x2ex，

当x>1故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合构造法得出函数h(x)，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象和方程的根与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，进而得出实数k的取值范围。8．【答案】A【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【解答】解：因为x=−π3为函数f(x)的零点，x=π3为函数f(x)的图象的对称轴，所以T4·k=2π3(k为奇数），又T=2πω，所以ω=3k4(k为奇数）.因为f(x)在区间(π10，π2)上有且只有一个极大值点所以π69．【答案】B,C【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；三角形的形状判断【解析】【解答】解：AB→−AC→=CB→故A错误；(AB→10．【答案】B,D【知识点】恒过定点的直线；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：当y=0时可知x=-1，所以直线l必过点(−1，0)，A错误；因为点(−1，0)在圆E内，所以B正确；由于(−1，0)在x轴上，故圆心E到直线l的距离的最大值即为圆心到点(−1，0)的距离1，故C正确；当m=111．【答案】A,B,D【知识点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法【解析】【解答】解：取BD中点E，连接CE，ME，因为△BCD为正三角形，可证得BD⊥平面CME，所以CM⊥BD，C错误；取CD的中点N，连MN，因为M是AD的中点，则MN//AC，即MN//平面ABC，B正确；对于D，要使三棱锥C−ABD的体积最大，当且仅当点C到平面ABD的距离最大，由C知，点C到直线BD的距离CE=3，∠CEM是二面角A-BD-C的平面角，当∠CEM=90°时，CE⊥平面ABD，即当C到平面ABD距离最大为CE=3时，三棱锥C-ABD的体积最大，过点E作EF⊥AD于点F，连接CF，则AD⊥平面CEF，所以CF⊥AD，所以∠CFE为二面角C-AD-B的平面角，EF=22，tan∠CFE=CEEF=32=6，故D正确；

三棱锥C−ABD的外接球被平面BCD所截小圆圆心O1正是△BCD的中心，O1E=33，被平面ABD所截小圆圆心为点M，设球心为O，则当平面ABD⊥平面BDC时，由选项D知，四边形OO1EM为矩形，连接AO，在直角三角形AOM中，OM=O1E=12．【答案】B,C【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比中项【解析】【解答】解：对于数列{(−3)n}，因为an2−an−12=−3n2−−3n−12=8·9n−1，所以A错误；

对于B，由题意知an2=1+n−1p，则a2=1+p，a4=1+3p，13．【答案】-1【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质；一元二次方程的解集【解析】【解答】解：由幂函数的定义知m2−2m−2=1，m=3或−1，因为当x∈(0，+∞)时，幂函数y=(m2−2m−2)14．【答案】2【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积；余弦定理的应用【解析】【解答】解：设圆锥的侧面展开图为扇形AOB，OA，OB为其半径，则由余弦定理知cos∠AOB=OA2+OB2−AB22OA·OB=15．【答案】1【知识点】函数的值域；余弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【解答】解：由a2=b2+c2−2bccosA，c=2b，得1=b2+4b2−416．【答案】4−8【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】解：由f(x)=12(x+4)ex得，数f，(x)=12(x+5)ex，f，x>0在x>0时恒成立，所以fx1=a中x1唯一，fln2x17．【答案】（1）解：由直线l1与l2垂直，得2×a+1×(−1)=0，即2a−1=0，解得（2）解：由（1）得，直线l2的方程为12x+y−由2−y−7=0x+2y−1=0，得x=3y=−1①当直线l的斜率不存在时，其直线方程为x=3，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x−3)，即kx−y−3k−1=0，因为原点到该直线的距高为3，所以d=|−3k−1|1+k则直线l的方程为4x−3y−15=0．综上所述，直线l的方程为x=3或4x−3y−15=0．【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；平面内点到直线的距离公式【解析】【分析】（1）两直线垂直，则A1A218．【答案】（1）解：∵m∥n，∴3cosx=−2sincos2x=（2）解：f(x)=(=3由f(A)=12，得∵A∈(0，π2)，∴2A−π所以0<B<π20<π−∴tanB>33，故tan【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；同角三角函数基本关系的运用；辅助角公式【解析】【分析】(1)先利用两向量(坐标）的平行公式x1y2=x2y1，求出角x的正切值，再利用余弦的二倍角公式和平方公式，即可求解；

19．【答案】（1）证明：∵△PAB为等边三角形，PB=2，∴AB=2，又∵E为AB中点，CD=1，∴AE=DC，∵AE∥DC，∠DAB=90°，∴四边形AECD为矩形，故CE∥AD，又CE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，．∴CE∥平面PAD，∵CE⊂平面CEMN，平面CEMN∩平面PAD=MN，∴CE∥MN，∵E为等边三角形PAB边AB的中点，AB=2，∴PE=3又∵PC=2，CE=1，∴PE⊥EC，又∵EC⊥AB，AB∩PE=E，AB⊂平面PAB，PE⊂平面PAB，∴EC⊥平面PAB，∴MN⊥平面PAB；（2）解：∵△PAB为正三角形，∴PE⊥AB，又PE⊥EC，AB∩EC=E，AB⊂平面ABCD，EC⊂平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD．以E为原点，以EC，EB，EP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，P(0，0，3)，C(1，0，设PM=λPA=λ(0EM=设平面CEMN的法向量为ñ=(x，取z=λ，y=3−3依题意，得|cos⟨n，PC⟩|=∴PM=23【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）要证明线面垂直，则需证明直线与平面内的两条相交直线垂直，根据已知推出CE∥平面PAD，CE∥MN，又因为EC⊥平面PAB，∴MN⊥平面PAB；

（2）易证PE⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，用向量法求出PC→，平面CEMN的法向量，设20．【答案】（1）解：完善2×2列联表如下：甲乙总和合格12618不合格3912总和151530零假设H0K2依据α=0.（2）解：记事件A为“一袋中有4个合格品”，事件B为“所抽取的这袋来自甲生产”，事件C为“所抽取的这袋来自乙生产”，故P(B)=35，又∵Ω=B+C，且B与C互斥由全概率公式，得P(A)=P(A=(C【知识点】独立性检验；独立性检验的应用；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布；2×2列联表【解析】【分析】（1）由评估图的数据即可完善2×2列联表，再代入K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，21．【答案】（1）解：选①，设递增等差数列{an}由1a5是1S2与1S则有(4+d+10+10d)(2+4d)=2(4+d)(10+10d)，化简得12d2−11d−26=0，即(d−2)(12d+13)=0则an选②，设递增等差数列{an}的公差为d(d>0)，由S2=4+d有(2+5d)2化简得19d2−16d−44=0，即(19d+22)(d−2)=0则an选③，设递增等差数列{an}的公差为d(d>0)，由a2=2+d有(2+2d+2)2=(2+d)(2+5d+4)，化简得d=4，则所以an=a1+(n−1)d=2n（2）解：由{bna由（1）知an=2n，即有则Tn于是得2T两式相减得：−T因此Tn（3）解：因为Sn所以不等式λ(Tn+又n∈N∗，所以等价于令cn=2n−11则n≤6时，cn+1−cn>0，即数列{cn所以当n=7时，(cn)max=3128【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与函数的综合；数列与不等式的综合；等比中项；等差中项【解析】【分析】（1）若a，A，b成等差数列，则2A=a+b；若a，A，b成等比数列，则A2=ab，再结合等差数列的通项公式an=a1+n−1d分别进行求解；

(2)由（1）求出数列{bn}的通项公式为一个等差数列乘以一个等比数列，因此应用错位相减法即可求出其前n项和；22．【答案】（1）解：①由f(x)=ax3−得f′(x)=3ax∵1是平滑函数F(x)的“平滑点”，∴a−1=03a−52②由题意，F(x)=x过点P(2，t)作F(x)的切线，设切点(x故题意等价于方程：t=F(x设p(x)=F(x)−F′(x)(x−2)令p′(x)>0，得12<x<2；令p′所以函数p(x)在(12，2)上单调递增，在又因为p(0)=1，p(12)=F(且当x→+∞时，p(x)→−∞，如图所示所以t∈(−3（2）解：题意等价于：是否∃a>1，使得对∀b>0，ax消去a，得1−32x=b(2lnx−1)，b=故题意等价于是否∃a>1，使得x∈(23，又∵当x∈(23，故题意等价于当x∈(23，设q(x)=(4x2−3x)lnx−2∴q(x)在(23，1)上单调递减，在∴q(x)>0有解，即存在满足题意的a．【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用【解析】【分析】（1）根据题意“平滑点”的定义，求出函数fx，gx的导函数，代入即可求出a，b；设出切线方程，等价转化为t=F(x0)−F′(x0

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：150分分值分布客观题（占比）60.0(40.0%)主观题（占比）90.0(60.0%)题量分布客观题（占比）12(54.5%)主观题（占比）10(45.5%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）单项选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）8(36.4%)40.0(26.7%)多项选择题（本大题共4小题，共20分．在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求．）4(18.2%)20.0(13.3%)填空题（本大题共4小题，共20分．）4(18.2%)20.0(13.3%)解答题（本大题共6小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）6(27.3%)70.0(46.7%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(63.6%)2困难(36.4%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1直线与平面垂直的性质5.0(3.3%)112一元二次方程的根与系数的关系5.0(3.3%)73等比数列的前n项和12.0(8.0%)214直线与圆的位置关系5.0(3.3%)105等差中项17.0(11.3%)5,216等比数列的通项公式5.0(3.3%)127旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征5.0(3.3%)148相互独立事件的概率乘法公式12.0(8.0%)209等比数列概念与表示5.0(3.3%)1210诱导公式5.0(3.3%)411利用导数研究曲线上某点切线方程12.0(8.0%)2212复数代数形式的乘除运算5.0(3.3%)113恒过定点的直线5.0(3.3%)1014二项分布12.0(8.0%)2015平面向量加法运算5.0(3.3%)916直线的点斜式方程10.0(6.7%)1717函数的零点与方程根的关系5.0(3.3%)818分析法的思考过程、特点及应用12.0(8.0%)2219直线与平面平行的判定17.0(11.3%)11,1920平面向量共线（平行）的坐标表示12.0(8.0%)1821二倍角的正弦公式12.0(8.0%)1822利用导数研究函数的极值5.0(3.3%)823函数恒成立问题5.0(3.3%)1624二面角的平面角及求法10.0(6.7%)6,1125平面向量的数量积运算5.0(3.3%)926辅助角公式12.0(8.0%)1827幂函数的概念与表示5.0(3.3%)1328直线与圆相交的性质5.0(3.3%)1029平面内点到直线的距离公式10.0(6.7%)1730利用导数研究函数的单调性17.0(11.3%)16,2231直线与平面平行的性质12.0(8.0%)1932函数在某点取得极值的条件5