科学计算中的函数与极限

汇报人：XX2024-01-28科学计算中的函数与极限目录函数基本概念与性质极限概念与性质连续性与可导性关系探讨微分学在函数研究中的应用目录积分学在函数研究中的应用总结与展望01函数基本概念与性质函数定义设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应，则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y=f(x)$。函数的表示方法主要有解析法、表格法和图像法三种。用含有数学运算的解析式来表示函数的方法。用表格来表示函数的方法。在平面直角坐标系中，用图像来表示函数的方法。函数表示方法表格法图像法解析法函数定义及表示方法函数的四则运算设函数$f(x)$和$g(x)$的定义域分别为$D_f$和$D_g$，且$D_fcapD_gneqvarnothing$，则可以进行四则运算乘法$(fcdotg)(x)=f(x)cdotg(x)$加法$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$除法$(f/g)(x)=f(x)/g(x)$（需保证$g(x)neq0$）减法$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$复合函数设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，且值域$R_gsubsetD_f$，则称函数$y=f[g(x)]$为复合函数。函数四则运算与复合函数奇偶性01设函数$y=f(x)$的定义域关于原点对称，若对于定义域内的任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；若都有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。周期性02设函数$y=f(x)$的定义域为无限集，若存在正数$T>0$，使得对于定义域内的任意一个$x+T$，都有$f(x+T)=f(x)$，则称函数为周期函数，称最小的正数周期为最小正周期。有界性03设函数在区间上有定义，如果存在正数M，使得对于区间上任意一点，函数的值都满足$-Mleqf(x)leqM$，则称函数在区间上有界。奇偶性、周期性和有界性形如$y=kx+b(kneq0)$的函数称为一次函数。其图像是一条直线。一次函数如正弦函数、余弦函数、正切函数等。它们的图像分别是正弦曲线、余弦曲线、正切曲线等。三角函数形如$y=ax^2+bx+c(aneq0)$的函数称为二次函数。其图像是一条抛物线。二次函数形如$y=a^x(a>0,aneq1)$的函数称为指数函数。其图像是一条指数曲线。指数函数形如$y=log_ax(a>0,aneq1)$的函数称为对数函数。其图像是一条对数曲线。对数函数0201030405常见函数类型及其图像02极限概念与性质123当自变量趋近于某个值时，函数值无限接近于某个确定的数，则该数称为函数在此点的极限。极限的直观定义函数在自变量的某去心邻域内有定义，且当自变量趋于该点时，函数值趋于一个确定的常数。极限的存在条件对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当自变量x的绝对值小于δ时，函数f(x)与极限A的差的绝对值小于ε。极限的严格定义（ε-δ定义）极限定义及存在条件以0为极限的变量称为无穷小量，即当x→x0时，f(x)→0，则称f(x)为x→x0时的无穷小量。无穷小量当自变量趋于某个值时，函数值趋于无穷大，则称该函数在此点为无穷大量。具体分为正无穷大、负无穷大和无穷大（不区分正负）。无穷大量在自变量的同一变化过程中，无穷小量之倒数为无穷大量，反之亦然。但需注意，并非所有无穷小（大）量之商仍为无穷小（大）量。无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则以及极限的换元法等。这些法则在求解复杂函数的极限时非常有用。极限运算法则如果三个函数f(x)、g(x)和h(x)满足f(x)≤g(x)≤h(x)，且当x→x0时，f(x)和h(x)的极限都存在且相等，则g(x)在x→x0时的极限也存在且等于f(x)和h(x)的极限。夹逼定理极限运算法则和夹逼定理lim(x→0)sinx/x=1。这个极限公式在求解三角函数相关问题时非常有用。lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。这个极限公式与自然对数e的定义密切相关，在求解指数函数、对数函数等问题时经常用到。两个重要极限公式第二个重要极限公式第一个重要极限公式03连续性与可导性关系探讨定义若函数在某点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。性质连续函数具有局部有界性、局部保号性、四则运算性质、复合函数性质等。连续函数定义及性质可导函数定义及性质定义若函数在某点的左、右导数都存在且相等，则称该函数在该点可导。性质可导函数必连续，连续函数不一定可导；可导函数具有线性性质、乘法性质、链式法则等。连续与可导关系分析连续是可导的必要条件，但不是充分条件。即函数在某点可导，则必在该点连续；但函数在某点连续，不一定在该点可导。可导与连续的关系可以通过函数的图像来理解。连续函数的图像是一条不间断的曲线，而可导函数的图像在每一点处都有切线。例题1解析例题2解析典型例题解析讨论函数f(x)=|x|在x=0处的连续性和可导性。函数f(x)=|x|在x=0处的左、右极限都存在且等于0，因此f(x)在x=0处连续。但在x=0处，f(x)的左、右导数分别为-1和1，不相等，因此f(x)在x=0处不可导。求函数f(x)=x^2在x=1处的导数，并讨论其连续性和可导性。函数f(x)=x^2在x=1处的导数为f'(1)=2。由于f(x)是多项式函数，它在整个实数范围内都是连续且可导的。04微分学在函数研究中的应用03高阶导数二阶及二阶以上的导数，用于描述函数的更高阶变化率。01导数的定义与几何意义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数在该点的局部变化率。02微分的基本公式与运算法则包括常数、幂函数、三角函数、指数函数等基本函数的导数公式，以及四则运算、复合函数等微分法则。微分学基本概念回顾如果函数在闭区间上连续，开区间内可导，且区间端点函数值相等，则存在至少一点使得函数在该点的导数为零。罗尔定理如果函数在闭区间上连续，开区间内可导，则存在至少一点使得函数在该点的导数等于区间两端点函数值之差与区间长度的比值。拉格朗日中值定理是拉格朗日中值定理的推广，涉及两个函数的比值。柯西中值定理微分中值定理及其应用0/0型与∞/∞型极限当分子分母同时趋于零或无穷大时，可以使用洛必达法则求解极限，即分别对分子分母求导后再求极限。其他类型极限的转化通过适当的变形或换元，将其他类型的极限转化为0/0型或∞/∞型极限，进而应用洛必达法则。洛必达法则在求极限中应用泰勒公式的定义与性质泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，通过在某点处的各阶导数构造多项式来近似表示该函数。麦克劳林级数当泰勒公式中的展开点取为零时，得到的级数称为麦克劳林级数，是泰勒公式的特殊形式。近似计算与误差估计利用泰勒公式进行近似计算时，可以根据需要选择展开的项数来控制误差的大小。同时，通过对余项的估计可以了解近似的精度。泰勒公式在近似计算中应用05积分学在函数研究中的应用01原函数是指一个函数的导数等于另一个给定函数的函数，而不定积分则是求一个函数的原函数的过程。原函数与不定积分02定积分是求一个函数在某个区间上的面积的过程，其几何意义表示曲边梯形的面积。定积分及其几何意义03包括积分的可加性、积分区间可加性、常数倍可积性等。积分的基本性质积分学基本概念回顾牛顿-莱布尼兹公式通过求解被积函数的原函数，并利用区间端点的函数值来计算定积分。换元积分法通过变量代换简化被积函数，从而更容易求解定积分。分部积分法将两个函数的乘积的积分转化为两个较简单函数的积分的差，从而简化计算。定积分计算方法和性质无穷限反常积分被积函数在无穷远处不收敛的定积分，需要利用极限的概念进行求解。无界函数反常积分被积函数在有限区间内存在无界点的定积分，同样需要利用极限的概念进行求解。广义积分的性质包括收敛性、绝对收敛与条件收敛等。反常积分和广义积分简介030201面积和体积的计算利用定积分可以计算平面图形和立体图形的面积和体积，如圆的面积、球的体积等。物理问题的应用在物理学中，许多量都可以用定积分来表示和计算，如物体的质心、转动惯量等。经济问题的应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本等经济指标，以及求解最优化问题。积分在解决实际问题中应用举例06总结与展望本次课程重点内容回顾无穷小量与无穷大量包括无穷小量的定义、无穷小量的比较、无穷大量的定义等。极限的定义与性质包括数列极限和函数极限的定义、极限的性质和运算法则等。函数的基本概念与性质包括函数的定义、函数的表示方法、函数的四则运算、复合函数等。函数的连续性包括连续函数的定义、连续函数的性质、间断点的分类等。微分学基本概念包括导数的定义、导数的几何意义、导数的计算法则等。学生自我评价报告分享01掌握了函数与极限的基本概念，能够熟练地进行函数运算和求解极限问题。02对无穷小量与无穷大量有了更深入的理解，能够运用相关知识解决复杂问题。03通过学习函数的连续性，对函数的性质有了更全面的认识，能够分析函数的间断点并判断其类型。04在微分学基本概念方面，理解了导数的定义和几