普通高中学业水平考试高考数学模拟卷4

普通高中学业水平考试数学模拟卷(四)(时间:80分钟,满分:100分)一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1.已知集合A={1,2,3},B={2,4},则A∪B=()A.{2} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{0,2,3,4}2.已知i为虚数单位,则复数(1+2i)+(-3+2i)在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.函数f(x)=2-x+lg(x-1)的定义域为(A.{x|x≥2} B.{x|x<1} C.{x|1≤x≤2} D.{x|1<x≤2}4.已知a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,则a+b=()A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1)5.已知α∈π,3π2,且tanα=34,则cosα=(A.-35 B.35 C.-456.“a≤1”是“方程x2+2x+a=0(a∈R)有正实数根”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为()A.3π3 B.3π C.2π38.已知a=e13,b=ln13,c=sin13,A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b9.现测得某放射性元素的半衰期为1350年(每经过1350年,该元素的存量为原来的一半),某生物标本中该放射性元素的初始存量为m,经检测现在的存量为m5.据此推测该生物距今约为()(参考数据:lg2≈0.A.2452年 B.2750年 C.3150年 D.3856年10.已知函数f(x)=lg(x+x2+1)-22x+1,则不等式f(2x+1)+f(x)>-A.-13,+∞ B.-13,100 C.-∞,-13 D.-23,10011.已知正实数x,y满足x+2y=1,则1x+1+2A.12+2 B.3+22 C12.在四面体ABCD中,△ABC与△BCD都是边长为6的等边三角形,且二面角A-BC-D的大小为60°,则四面体ABCD外接球的表面积是()A.52π B.54π C.56π D.60π二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)13.已知a,b∈R,则下列选项中能使1a<1bA.b>a>0 B.a>b>0 C.b<0<a D.b<a<014.不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球,其中3个红球、2个白球,从袋中一次性取出2个球,记事件A=“两球同色”,事件B=“两球异色”,事件C=“至少有一红球”,则()A.P(A)=35 B.P(C)=C.事件A与事件B是对立事件 D.事件A与事件B是相互独立事件15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则()A.若A>B,则sin2A>sin2BB.若S△ABC=1,a=1,则sinA的最大值为8C.若a=23,b=4,A=π4,D.若AB|AB|+AC|AC|·BC=0,且16.已知定义在R上的函数y=f(x)满足fx-32=-f(x),且fx+34为奇函数,f(-1)=-1,f(0)=2.下列说法正确的是()A.3是函数y=f(x)的一个周期B.函数y=f(x)的图象关于直线x=34C.函数y=f(x)是偶函数D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=2三、填空题(本大题共4小题,共15分)17.已知f(x)是幂函数,且满足:①f(-x)=f(x);②f(x)在(0,+∞)内单调递增,请写出符合上述条件的一个函数f(x)=.

18.已知a=(2,1),b为单位向量,且(a+2b)⊥(a-b),则a·b=,向量b在向量a上的投影向量为.

19.某班共有学生40人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图,如图所示,成绩不低于85分的人数有人.

20.已知函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)在0,π3内存在最值,且在2π3,π内单调,则ω的取值范围是.

四、解答题(本大题共3小题,共33分)21.(11分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足2cosC(1)求ac的值(2)若sinB=154,b=2,求△ABC的面积22.(11分)已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AB=AD=2BC=2,E为PD的中点.(1)求证:CE∥平面PAB;(2)设平面EAC与平面DAC的夹角为45°,求三棱锥E-ACD的体积.23.(11分)已知函数f(x)=log2[(3m-6)x+2m-5],g(x)=log21x+m,m∈R.(1)若f(1)=2,求m的值;(2)若方程g(x)-f(x)=0恰有一个实根,求m的取值范围;(3)设m>0,若对任意t∈12,2,当x1,x2∈[t,t+1]时,满足|g(x1)-g(x2)|≤1,求m的取值范围.

普通高中学业水平考试数学模拟卷(四)1.C2.B解析因为(1+2i)+(-3+2i)=-2+4i,所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(-2,4),位于第二象限.故选B.3.D解析由题意,要使f(x)有意义,则2-x≥0,x-1>0,解得1<x≤2,4.A解析因为a=(2,1),b=(x,-2),a∥b,所以2×(-2)-1×x=0,所以x=-4,所以b=(-4,-2),所以a+b=(-2,-1),故选A.5.C解析由α∈π,3π2可知α为第三象限的角,故cosα<0,由tanα=34又sin2α+cos2α=1,解得cosα=-45,故选C6.B解析由于函数y=x2+2x+a图象的对称轴为直线x=-1,且开口向上,所以x2+2x+a=0(a∈R)有正根,则必须f(0)<0,解得a<0,因为“a≤1”是“a<0”的必要不充分条件,故选B.7.A解析因为圆锥底面半径为1,其侧面展开图是半圆,所以圆锥的底面周长为2π,则圆锥的母线长为2,故圆锥的高为22所以圆锥的体积为V=13×π×12×3=3π8.D解析因为a=e13>e0=1,b=ln13<ln1=0,c=sin13∈(0,1),所以a>c>b9.C解析由题意可知m5=m12两边取对数得-lg5=t1350(-lg2),所以t=1350lg5lg2=1350(1-10.A解析由f(x)=lg(x+x2+1)-22x+1可知故f(x)+f(-x)=lg(x+x2+1)-22x+1+lg(-x+x2+1)-22-x+1=lg(x+x2+1)(即f(x)+1+f(-x)+1=0,令g(x)=f(x)+1,则g(x)+g(-x)=0,即g(x)=f(x)+1为奇函数,f(x)=lg(x+x2+1)-22x+1为增函数,则g(x)=f(x不等式f(2x+1)+f(x)>-2,即f(2x+1)+1+f(x)+1>0,即g(2x+1)+g(x)>0,g(2x+1)>-g(x)=g(-x),故2x+1>-x,x>-13,即f(2x+1)+f(x)>-2的解集为-13,+∞,故选A.11.C解析由题可得,x+2y=1,则(x+1)+2(y+1)=4,所以1x+1+2y+1=141x+1+2y+1[(x+1)+2(y+1)]=145+2(y+1)x+1+2(x12.A解析如图所示,取BC的中点O,连接OD,OA,分别取△BCD和△ABC的外心E与F,过两点分别作平面BDC和平面ABC的垂线,交于点P,则P就是外接球的球心,连接OP,DP,则∠AOD为二面角A-BD-C的平面角,即∠AOD=60°,则△AOD是等边三角形,其边长为6×32=33,OE=13OD=13×33=3,在△POE所以PE=OEtan30°=3×3又由DE=23OD=23,所以PD=R=P所以四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2=4π×(13)2=52π.故选A.13.BD解析对于A,由b>a>0可得1a>1b对于B,由a>b>0可得1b>1a对于C,由b<0<a可得1a>0>1b,C对于D,由b<a<0可得0>1b>1a,D正确14.BC解析随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含10个样本点,随机事件A包含的样本点的个数为4,所以P(A)=410=2随机事件C包含的样本点的个数为9,所以P(C)=910,B正确事件A与事件B不可能同时发生,所以事件A与事件B为互斥事件,又因为P(A+B)=1,即事件A+B为必然事件,所以事件A与事件B是对立事件,C正确;随机事件B包含的样本点的个数为6,所以P(B)=610=35,随机事件AB为不可能事件,所以P(AB)=0,所以P(AB)≠P(A)所以事件A与事件B不是相互独立事件,D错误.故选BC.15.BCD解析A选项,若A>B,如A=π2,B=π4,2A=π,2B=π2,sin2A=0,sin2B=1,sin2A<sin2B,所以B选项,S△ABC=12bcsinA=1,bc=2由余弦定理得cosA=b2+c2-12bc,2bc2·2sinA·cosA=b2+c2-1≥2bc-1=2·2即4cosAsinA≥4sin由于在三角形中,sinA>0,所以4cosA≥4-sinA,cosA≥1-14sinA>0,则cos2A≥1-14sinA2,又因为cos2A=1-sin2A,即1-sin2A≥1-14sinA2,整理得178sinA-1·sinA≤0,解得0<sinA≤817,所以sinA的最大值为817,所以BC选项,若a=23,b=4,A=π4,则bsinA=4×22=22,所以bsin所以满足条件的三角形有两个,所以C选项正确.D选项,AB|AB|表示AB方向的单位向量;AC|根据平面向量加法的几何意义可知AB|AB|+AC由AB|AB|+AC|AC|·BC=0可知∠BAC的角平分线与BC而AB|AB|·AC|AC|=1×1×cosA=cosA=12>0,所以A为锐角,且A=π3,所以三角形16.AC解析对于A选项,因为fx-32=-f(x),所以f(x-3)=-fx-32=f(x),所以3是函数f(x)的一个周期,故A正确;对于B选项,因为fx+34为奇函数,所以f-x+34=-fx+34,所以点34,0是函数y=f(x)图象的对称中心,故B错误;对于C选项,因为fx+34为奇函数,所以f-x+34=-fx+34,所以f-x+32=-f(x).又因为fx-32=-f(x),所以f-x+32=fx-32,所以f(-x)=f(x),所以函数y=f(x)是偶函数,故C选项正确;对于D选项,由选项C知,函数y=f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1)=-1.又因为3是函数y=f(x)的一个周期,所以f(2)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2,f(2023)=f(1)=-1,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=20223×0-1=-1,故D错误.故选AC17.x2(答案不唯一)(形如f(x)=xnm,m为正奇数,n为正偶数,都可以)解析因为f(x)是幂函数,且f(x)在(0,+∞)内单调递增,故可设f(x)=xnm(m,n∈N*,m又因为f(-x)=f(x),所以m为奇数,n为偶数,故f(x)=x2为符合条件的一个函数.18.-3-65,-35解析因为a=(2,1),b为单位向量,则|a|=22+12=因为(a+2b)⊥(a-b),则(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=5+a·b-2=0,可得a·b=-3,所以向量b在向量a上的投影向量为|b|cos<a,b>·a|a|=a·b|a|2·a=-35a19.9解析由频率分布直方图的频率和为1,可得0.005×10+0.0225×10+a×10+0.035×10+0.0075×10=1,解得a=0.030.故成绩不低于85分的人的频率为0.0302×10+0.0075×10=0.225,所以成绩不低于85分的人数有0.225×4020.114,176解析因为f(x)=sinωx-3cosωx=2sinωx-π3当0<x<π3时,因为ω>0,则-π3<ωx-因为函数f(x)在0,π3内存在最值,则πω3-π3>π2,解得ω>52,当2π3<x<π时,2因为函数f(x)在2π3,π内单调,则2πω3-π3,πω-π3⊆kπ-π2,kπ+π2所以2πω3-π解得32k-14≤ω≤k+56(k所以32k-14≤k+56,解得k又因为ω>0,则k∈{0,1,2},当k=0时,0<ω≤56;当k=1时,54≤ω≤116;当k=2时,114≤又因为ω>52,因此,实数ω的取值范围是114,21.解(1)由2cosC得2sinBcosC-sinBcosA=sinAcosB-2sinCcosB,所以2sin(B+C)=sin(A+B),则2sinA=sinC,所以ac(2)由sinB=154,且2sinA=sinC则cosB=±14设a=x⇒c=2x,则b2=a2+c2-2accosB⇒4=x2+4x2-4x2cosB,所以x=1或x=63又因为S=12acsinB=x2sinB当x=1时,S=154;当x=63时,S=22.(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF,∵E是PD的中点,∴EF∥AD且EF=12AD又BC∥AD且BC=12AD∴BC∥EF且BC=EF,∴四边形BCEF为平行四边形,CE∥BF,又CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB,∴CE∥平面PAB.(2)解取AD的中点G,连接EG,过点G作GH⊥AC交AC于点H,连接EH,∵E,G分别是PD,AD的中点,∴EG∥PA.又PA⊥平面ABCD,∴EG⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴EG⊥AC,又AC⊥HG,HG∩EG=G,HG,EG⊂平面EGH,∴AC⊥平面EGH,HE⊂平面EGH,∴AC⊥HE,∴∠EHG是平面EAC与平面DAC的夹角的平面角.∴∠EHG=45°.∵AB=2,BC=