安徽省池州市池州市名校 2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2023-2024年池州名校九年级下学期开学考数学试题注意事项：1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的）1.下列图形中．是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】A．原图是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．原图轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．原图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选不项符合题意；D．原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2.在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查正切值的计算方法，掌握直角三角形中正切函数的定义是解题的关键．根据题意作图，再根据正切值的计算方法即可求解．【详解】解：根据题意作图如下，∴，故选：．3.若两个相似三角形的对应高之比为，则这两个三角形的面积之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据“相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方”，求解即可．【详解】解：相似三角形的对应高之比为，这两个三角形的面积之比为，故选：B．4.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点坐标的求法是解题的关键．将二次函数配方，即得答案．【详解】，该二次函数的图象的顶点坐标为．故选A．5.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A.等弧对等弦 B.等弧所对的圆心角相等C.等弦所对的圆心角相等 D.等弦所对的圆周角相等【答案】D【解析】【分析】本题考查了同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角的关系．熟练掌握同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．根据同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角的关系对各选项进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，同圆或等圆中，等弧对等弦，A说法正确，故不符合要求；在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，B说法正确，故不符合要求；在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，C说法正确，故不符合要求；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，D说法错误，故符合要求；故选：D．6.如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，已知点的横坐标为．当时，的取值范围是（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出，两点位置关系是解题关键．直接利用正比例函数与反比例函数的性质得出，两点关于原点对称，进而得出点的横坐标为，再结合图像即可求解．【详解】解：正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，，两点关于原点对称，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，的取值范围是，故选：B．7.如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握三角形的外接圆，内切圆的综合运用是解题的关键．根据外接圆，是直径可得，根据内切圆，可得是角平分线，再结合三角形内角和定理即可求解．【详解】解：是外接圆，是直径，∴，∴在中，，∵是内切圆，∴是的角平分线，∴，∴在中，，故选：B．8.如图，在矩形中，与交于点O，，，点E是的中点，连接交于点F，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理先求出，再证明，得出，然后求出，最后求出．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，，，，∴，∵E为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选：C．9.一次函数（a是常数且）和二次函数在同一平面直角坐标系中大致图像可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，利用一次（二次）函数的图象排除选项是解题的关键．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确；B、由一次函数的图象可得：且，矛盾，故选项错误；C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，对称轴，故选项错误；D、由一次函数的图象可得：且，矛盾，故选项错误．故选：A．10.如图，在中，，，点P是上一点，将绕着点C按顺时针方向旋转得到．连接，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查全等三角形，勾股定理，垂线段最短．在上取一点D，使得，连接，利用证明，然后得到当时，有最小值，即有最小值，此时是等腰直角三角形，再根据勾股定理解题即可．【详解】如图，在上取一点D，使得，连接，∵，，∴，又∵，∴，∴．∵，∴，∴，当时，有最小值，即有最小值，此时是等腰直角三角形，在中，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴的最小值为，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知点是双曲线上的点，则代数式___________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查反比例函数图象的运用，根据点在反比例函数图象上可得，代入计算即可求解，掌握反比例函数中关于点坐标计算比例系数的方法是解题的关键．【详解】解：根据题意得，，∴，∴代数式，故答案为：．12.如图，已知，若，．则的长为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，带入即可求解．【详解】解：，，，，，．故答案为：．13.如图，在中，，，以为直径作交于点，过点作于点，连接．若，则的面积为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理，连接，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得，，根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，，求出，再由进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，连接，，是圆的直径，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．14.已知抛物线（m是常数）．（1）当时，抛物线的对称轴为___________；（2）若该抛物线不经过第四象限．则m的取值范围是___________．【答案】①.直线②.【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键．（1）当时，，进而可求该抛物线对称轴；（2）令时，则，由，可知该方程有两个实数根，且，，由该抛物线不经过第四象限，且抛物线的开口向上，可知存在以下两种情况：①当该抛物线与x轴只有一个交点时；②当该抛物线与x轴有两个交点时，则这两个交点都位于原点左侧时；两种情况求解作答即可．【详解】（1）解：当时，，∴该抛物线的对称轴为直线，故答案为：直线．（2）解：由题意知，，当时，，∴，∴该方程有两个实数根，且，，∵该抛物线不经过第四象限，且抛物线的开口向上，∴存在以下两种情况：①当该抛物线与x轴只有一个交点时，，解得；②当该抛物线与x轴有两个交点时，则这两个交点都位于原点左侧，∴且，解得，综上所述，m的取值范围是，故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．【答案】1【解析】【分析】本题考查了实数的运算，掌握零指数、实数的运算顺序、特殊角的函数值的意义是解决本题的关键．先代入特殊角的函数值计算乘方，零指数，最后算加减．【详解】解：原式．16.如图，是的弦，点是的中点，连接并反向延长交于点．若，求的半径．【答案】【解析】【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键．设的半径为，根据点是的中点，是过圆心的直线，可得，在中，由勾股定理得，即可求解．【详解】解：如图，连接，设的半径为，则，，∵点是的中点，是过圆心的直线，∴，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴的半径为．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，点，的坐标分别为，．（1）将绕点按顺时针方向旋转，得到，画出；（2）以点为位似中心，在网格内画出，使，与位似，且相似比为．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查作图—旋转变换与位似变换，解题的关键是掌握旋转变换与位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．（1）将点，分别绕点顺时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可得出答案；（2）根据位似变换的概念作出点，的对应点，再与点首尾顺次连接即可．【小问1详解】如图，即为所求，【小问2详解】如图，即为所求．18.如图，在中，，，；求证：（1）；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】（1）根据等边对等角，以及两组对应角对应相等的三角形相似，即可得证；（2）根据，推出，再根据，利用对应边对应成比例，求出，进而求出，再利用勾股定理即可得解．【小问1详解】∵，∴，∵，∴，∴．【小问2详解】∵∴设，，∴，∵，，∴，，∴，．∵，∴．在中，．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．五、（本大题共2小题．每小题10分，满分20分）19.如图，某数学兴趣小组测位一座古塔的高度，从点处测得塔顶的仰角是，由点向古塔前进米到达点处，由点处测得塔顶的仰角是．塔底点与点共线，且，求古塔的高．（参考数据：，，，）【答案】米【解析】【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握解直角三角形的方法即可求解．在中，根据的正切值可求出，在中，根据的正切值可求出，由即可求解．【详解】解：由题意知，，，，米，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∴米，解得：米，答：该古塔的高为米．20.如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，连接，，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）25【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据等腰三角形三线合一的性质结合圆周角定理得出结论；（2）由圆周角定理结合已知可得，设，则，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程求出x即可．【小问1详解】证明：∵是的直径，∴，即，∵，∴，，∵，∴；【小问2详解】解：∵，∴．∵是的直径，∴，∴．设，则，∴，∴，∴．∵，，∴．在中，，∴，解得（负值舍去），∴．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，正切的定义，勾股定理的应用等知识．灵活运用相关性质定理进行推理论证是解题的关键．21.柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）（2）当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．【小问1详解】解：当时，设y与x函数关系式为，∵点在该函数图象上，∴，解得：，∴当时，y与x的函数关系式为，当时，设y与x的函数关系式为，，解得，即当时，y与x的函数关系式为，综上所述，y与x的函数关系式为；【小问2详解】解：设利润为w元，当时，，∵，∴y随x的增大而增大，∴w随x的增大而减小，∴当时，w取得最大值，此时，当时，，∴当x=10时，w取得最大值，此时w=980，∵980>480，∴当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元，答：当销售单价为10时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是980元．22.如图，已知，是正方形的对角线，点，分别是，上的点，且，，分别与交于点，，连接，．（1）求证：；（2）求证：；（3）求的值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得出，由已知，通过等量代换得到，即可得出，（2）根据正方形的性质可得出，由已知，通过等量代换得到，得出，，由（1）结论可得，，即可求解，（3）由