2023-2024年中考数学复习：二次函数与最值 压轴题汇编（含答案解析）

2024年中考数学专题复习：二次函数与最值高频压轴题汇编

1.如图1,抛物线y=-∕+3x+4与X轴交于4、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于

点C,连接4C,BC.

(1)求ZIABe的面积；

(2)如图2,点尸为直线上方抛物线上的动点，过点P作尸£>〃AC交直线Be于点。，过

点尸作直线PEX轴交直线8C于点E,求PD+PE的最大值及此时尸的坐标；

⑶在(2)的条件下，将原抛物线y=-∕+3χ+4向右平移2个单位，再向上平移8个

单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N

为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标.

2.综合与探究

如图1,经过原点。的抛物线y=-2/+8x与X轴的另一个交点为A,直线/与抛物线交

(2)如图2,若点〃是直线/上方的抛物线上的一个动点，直线QM交直线/于点C,设

点M的横坐标为加，求筹的最大值.

(3)如图3,连接08,抛物线上是否存在一点M,使得NM4O=N8Q4,若存在，请直

接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，抛物线y=-∕+2x+3交X轴于点A和点B(A在B左边)，与了轴交于点C,P

是抛物线上第一象限内的一个动点

⑴求A,B,C三点的坐标；

(2)连接AP交线段BC于点。，当CP与X轴不平行时，Wpn的最大值=」

DA

(3)若直线OP交BC于点是否存在这样的点P,使以B、。、M为顶点的三角形与ABC

相似？若存在，求点尸的横坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图，已知抛物线y=α√+bx+3与X轴交于A(T,0),8(3,01两点(点4在点B的

左侧)，与)，轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若M为抛物线对称轴上一动点，使得MBC为直角三角形，请求出点M的坐标.

(3)如图，尸为直线BC上方的抛物线上一点，P轴交Be于。点，过。作OElAC

于点E,设m=PD+叵DE,求加的最大值及此时尸点坐标.

2

5.已知二次函数J=X2一工一2的图象与X轴交于点A,点&与y轴交于点C

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图1图2

⑴直接写出点A和点B的坐标.

(2)如图1,若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q.设

点尸的横坐标为f,设卬=器，求W的最大值.

(3)如图2,已知点-2),P是二次函数图象上不同于点。的一个动点,连接C。、尸5、

PC,当AO8C的面积等于一PBe时，求点P的坐标.

6.已知：如图，二次函数y=c£-4办-12α(α<0)与X轴交于点A,B,点A在点B左

(2)在第一象限的抛物线上有一点。，连接AO,若ND4B=45。，求点。坐标；

(3)在「在第一象限的抛物线上，PQ_LBC于点。，求PQ的最大值？

7.在平面直角坐标系xθy中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与X轴交于点A(TO),B(2,0),

备用图

(1)求抛物线的解析式；

⑵当点尸在第一象限运动时，连接线段AR8F,CESΔΛBF=S∣,%C"=S2,且

5=S1+S2.当S取最大值时，求点尸的坐标;

(3)过点尸作FEJ_犬轴交直线BC于点。，交X轴于点E,若ZFeO+NACO=45。，求

点尸的坐标.

8.如图1,抛物线y=-χ2+feχ+c经过A(TO),B(4,0)两点，与)，轴相交于点C,连

接3C,点尸为线段BC上方抛物线上一动点，过点P作X轴的垂线/,交BC于点G,

(2)过点C作CF，直线/,尸为垂足，当点P运动到何处时，以尸，C,尸为顶点的三角

形与408C相似？并求出此时点P的坐标.

(3)如图2,连接PC,P8,请问PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积

S,并求出此时点尸的坐标；若不能，请说明理由.

9.抛物线y=0χ2+⅛r+4(αHθ)与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点B的坐标

为(4,0),抛物线的对称轴为X=1,直线AD交抛物线于点0(2,〃?).

(2)如图I,点Q是线段AB上一动点，过点。作QE〃40,交BO于点E,连接力Q,

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若点Q的坐标为(S0),求=QEZ)的面积S与相的函数表达式，并写出S是否存在最大

值？若存在，求出S的最大值，并直接写出此时点E的坐标；

(3)如图2,直线A£)交y轴于点几点M为抛物线对称轴上的动点，点N在X轴上，当

四边形CMA下周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标.

10.如图，抛物线'=一/+反+。与X轴交于A(TO),B(3,0)两点，与y轴交于点C,

点。是抛物线的顶点.

(1)求抛物线解析式;

(2)求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标

'-vb-4`cιʒc~bʌ~；第二，确定自变量X的取值范围；第三判定X=-bF是否在其范围内，

I2α4ay2a

若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当

b/7

m≤x≤n<------On<〃)时，X="时，V最大；当----<机≤x≤"(加<〃)时，X=机时，

2«2a

》最大.若t<0,∕4x≤f+l时，二次函数y=-∕+⅛x+c的最大值是f,求f的值.

(3)如图，若点尸是第一象限抛物线上一点，且ND4P=45。，求点P的坐标.

11.如图：抛物线>=仆2+法+4的图象交X轴于A(-l,0),8(4,0)两点，交y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接BC,过点P作PHLBC于点H,求PH的

最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线y=d√+6x+4沿射线CB平移2√Σ个单位，得到新的抛物

线％,点〃为点尸对应点，点N为新抛物线y对称轴上任意一点，在新抛物线X上确

定一点G,使得以点8,M,N,G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有

符合条件的点G的坐标，并对其中的一个满足条件的G点进行说明.

12∙如图,在平面直角坐标系g中，抛物线y=/+++c("θ)与X轴交于A、B两

图I图2

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图1,点E在线段8。上方抛物线上运动(不含端点8、D),求S的最大值及

此时点E的坐标；

(3)如图2,将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点。，M为平移后的抛

物线的对称轴直线/上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移后的线段记为A'C'(线

段Ae'始终在直线/左侧)，是否存在以4、C'、M为顶点的等腰直角A4'CM?若存

在，请写出满足要求的所有点〃的坐标，并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，

请说明理由.

13.如图，抛物线y=α√+fcv-3过点A(-1,0),B(3,0),且与y轴交于点C,点E是抛

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：BE=2CE;

(3)若点尸是第四象限内抛物线上的一动点，设点P的横坐标为X,以点8、E、尸为顶

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点的A3EP的面积为S,求S关于X的函数关系式，并求S的最大值.

14.如图，抛物线y=加+bx-4(4*0)与X轴交于A(4,0)和8(T,0)两点，与)'轴交于

点C,点尸是直线AC下方的抛物线上一动点.

(2)过点P作尸尸_L直线AC于点尸，过点尸作叨，X轴于点Q,交直线Ae于点E,求

JpE+也P尸的最大值及此时点P的坐标；

22

(3)取(2)中IPE+且尸产最大值时的P点，在坐标平面内是否存在点。，使得以点A、

22

C、P、。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在,

请说明理由.

15.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线卜=奴2+法一2(<^0)交》轴于4(-1,0)、

(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接PB,过点C作CQ〃8尸交X轴于点Q,连接PQ,

求一PB。面积的最大值及此时点P的坐标.

(3)在(2)的条件下，将抛物线y=οr2+6χ-2(。*0)向右平移经过点Q,得到新抛物线,

点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F,使得以4、P、E、尸为顶点的

四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

16.已知，如图，抛物线y=αχ2+⅛x-8与X轴交于4、B两点，与y轴交于点C,

(1)求抛物线的函数表达式；

⑵连接AP、CP,求四边形AoCP面积的最大值；

(3)是否存在这样的点尸，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

17.如图1,抛物线y=-半χ2-半χ+五与X轴交于两点(点4在点B的左侧)，

与y轴交于点C,过点B作直线〃直线AC,交抛物线y于另一点。,点P为直线AC

上方抛物线上一动点.

⑴求线段A8的长.

(2)过点尸作尸尸〃y轴交AC于点Q,交直线8。于点F,过点P作PELAC于点E,求

PE+3PF的最大值及此时点P的坐标.

(3)如图2,将抛物线)，=-3χ2一手χ+石向右平移§个单位得到新抛物线》，，点M

为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为

顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程.

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18.已知抛物线y=以2+2χ+c(ɑ≠0)与x轴交于点4(-l,0)和点B,与直线y=-x+3交

于点B和点C,M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的解析式及点M的坐标.

(2)点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时,

求点尸的坐标.

(3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接4C,A∕,当ARVC是

直角三角形时，直接写出点尸的坐标.

参考答案:

1.(1)10

⑵最大值为4+警；此时P(2,6)

【分析】(1)分别求出点A,B,C的坐标，即可求解；

(2)证明二ABCSqP红),可得PD=叵PE,再求出直线BC的解析式为y=-x+4,设

5

P(t,-t2+3t+4),则网产一3/,—『+3/+4),可用r表示出PD+PE的长，并利用二次函数的

性质，即可求解；

(3)根据题意可得平移后的抛物线的解析式为y=-(x-g]+日，从而得到

然后分三种情况解答，即可求解.

【解析】(1)解：令y=。，则-d+3x+4=0,

解得或4,

JA(To),5(4,0),

9

..OA=i,BO=4t

令X=O,则y=4,

.∙.C(0,4),

.∙.OC=4,

SΔMC=∣×5×4-10;

(2)解：VOA=1,BO=4,0C=4,

・・・AB=5,AC=√∏,

,.∙PE〃x轴，

：•ZPED=ZCBAf

・・•PD//AC9

：•ZEPD=ZCABf

，么ABCSJPED,

.ab_AC日n5√∏

PEPDPEPD

JPD=叵PE,

5

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设直线BC的解析式为y=区+。,

JxO，解得k=-∖

⅛=4

...直线BC的解析式为y=-x+4,

设P(z,→2+3r+4),则E(i1-3t,-t2+3r+4),

.∙.PE=-t2+4t,

(而、1+手(r-2)2+41+平,

：.PE+PD=1+—(-/+4f)=-

I5J

当/=2时，PE+PQ的值最大，最大值为4+生叵,

5

此时P(2,6);

(3)解：∙.∙原抛物线y=-f+3χ+4向右平移2个单位，再向上平移8个单位得到新抛物

线,

57

平移后的抛物线的解析式为yH-----，

4

1

2r4X=—

V=-X+3x÷4E2

联立方程组■2rC，解z得a《

y=-x+7x+21

y=4

ɪ21

.∙.M

2'T

设N(X,y),

①当PB为平行四边形的对角线时,

,111

6=x+-X——

22

》明3

6=v+—

-47=7

N

②当PM为平行四边形的对角线时,

C143

2+-=x÷4X=——

22

，解得

2145

6+—=γy

4=τ

/345

JNλ——);

I24

③当PN为平行四边形的对角线时,

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5

x+2=4÷ɪx=-

22

,解得、

6/+f21

由决,⅛Λ∣Λ÷-⅛∩13Kf3451(531

综上所述：NΛ点坐标为EqJ或［1/，1J或［/，-),

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的

性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键.

2.⑴A(4,0),B(l,6),＞'=-2Λ+8,

9

(2)最大值为：—；

16

⑶/(3,6)或M(-3,T2).

【分析】(1)令y=-2f+8x=0可得A的坐标，把XB=I代入抛物线的解析式可得8的坐标，

再利用待定系数法求解A8的解析式即可；

(2)如图，过M作MQ〃y轴交AB于2,记48于V轴的交点为K,则一MCCCOCK,

可得筮=鬻，再建立箓=鬻=一；/+?”-1(1＜加＜4),利用二次函数的性质可得

答案；

(3)如图，过8作3T_Lx轴于T,而8(1,6),可得tanNM4O=6,过M作MS_LX轴于S,

可得tanNAMO=史=包上=6,再解方程可得答案.

AS4-m

【解析】(1)解：4*y=-2x2+8x=0,

Λ-2x(x-4)=0,

解得：ʌj=。，42=4,

・・・A(4,0),

・・♦点8的横坐标为1,

.,.γ=-2×l2+8×l=6,

.∙.B(1,6);

设A5为y="+3

.［4k+b=0

,∖k+b=6'

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k=-2

解得:

6=8

；・直线/为y=-2x+8;

(2)如图，过M作MQ〃y轴交A3于。，记AB于V轴的交点为K,

则SMCQsOCK,

•，点”的横坐标为m,则M(肛-2加+8〃?),

.∖Q(m,-2ιn+8),

：.MQ=-2m2+8/M+2m-8=-2m2+IOm-8,

把X=O代入y=-2x+8,则y=8,

.∙.K(0,8),

:・祭=翳=*2＞+ιo〜8)=-/+＞川＜加＜4),

5

45MC.

当m二-----刁=”寸,记最大,

2×

12525^1=⅛

最大值为：-→τ÷y

(3)如图，连接80,MA,过8作BT_LX轴于T,而B(l,6),

DrT

.*.tanABOA=----=6,

OT

"：NMAO=NBOA,

.*.tanZMAO=6,

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,.*M（m,一2"P+8加）,

2

MS=∣-2AW+8/??|,AS=4-m9

过〃作MSJLX轴于S,

・BS∣-2∕n2+8∕n∣

・・tanZ.MAO=——=----------------=6,

AS4-m

当-2.+8“=6时,解得：机=3,经检验符合题意;

4一〃I

ʌ-2W2+8W=-2×9+24=6.即"（3,6）,

当近二诬=6时，解得：加=一3,经检验符合题意:

4一机

.,.-2m2+8〃?=-2X9-24=T2,即〃（一3,-42）,

综上：M（3,6）或M（—3,Y2）.

【点评】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的性质与坐标轴的

交点，相似三角形的判定与性质，锐角的正切的应用，分式方程的解法，掌握以上知识并灵

活应用，注意分类讨论是解本题的关键.

3.（DA点为（-1,0）,B点为（0,3）,C点为（0,3）

⑶存在，弋姮或者6

【分析】（1）对于y=-∕+2尤+3,令x=0,得丁=3；令y=0,得^=-1,^=3,从而可得

结论；

（2）运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=τ+3,过点P作PQAB交Be于点Q,

设P（w,τ%2+2m+3）,得0（/-2肛一加+2zπ+3）,求出PQ,A3,证明,/DQADB,得

2号,得N=-9，/+=，"，再运用二次根式的性质可得结论；

DAABDA44

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(3)由勾股定理求出BC=4√Σ,过M作MVl."S,可求MN=NB=曰BM,设QM的解

析式为Y=依，分.BoM_ASC和=BOM_3C4两种情况利用相似三角形的性质求出点

M的坐标，从而求出直线。〃的解析式，再联立方程并求解方程即可得到点尸的横坐标

【解析】(1)解：当x=0时，y=-x2+2x+3=3,

：.C(0,3),

当产ο时，-炉+2工+3=0,

3

解得斗=τ,X2=

JA(TO),4(0,3),

综上，A(-1,O),8(0,3),C(0,3);

(2)解：过点Q作PQA3交BC于点。，如图，

设直线5C的解析式为y="+A

又5(0,3),C(0,3),

将两点坐标代入N=履+b得，

[3k+b=0

∖b=3'

=一1

解得，…，

[b=3

・,・直线BC的解析式为y=-χ+3,

设点P的横坐标为加，则P(〃2,->+2%+3),Q(nr-2m.-nr+Im+3),

.,.PQ=m-(nr-Ini)--nr÷3∕π,

PQ//AB.

:.POQ~.ADU,

.PDPQ-m2+3m

''~AD~~AB~4-

123

=——m÷-w

44

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12

=——(m-3∕n)

4

If3丫9

=—m—H----,

4(2)16

-Lo.

4

抛物线开口向下，图象有最高点，

・・・当加=33时,胃PD的最大值为看9；

9

故答案为：—；

16

(3)解：A(TO),8(3,0),C(0,3),

.∙.OA=1,OB=OC=3,

NCOB=90。，

.∙.NoBC=NoCB=45。,

由勾股定理得，BC=√OC2÷OB2=√32+32=3√2,

过M作MN_LX轴于M则MN=BN=@BM

2

依题意，0<⅞<3

设OM的解析式为y=履，

∙.∙∕OBM是公共角，

：._BOM_BAC或者口8。例_BCA,

BMBO

当ABOM,BAC时,

~BC^BA

BM3

即*

解得BM=g√Σ,

4

993

.*.MN=BN=—,则ON=3—=—,

444

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39

此时M

4,4

93

则厂衿

解得，2=3,

・・・0河解析式为)，=31,

解版―+27得X=W或X=W(不合题意，舍去),

BMBOBM3

当工BoMyBc4时---=--->即rπ-;—=-^产

BABC43√2

解得，BM=2垃,

：.MN=BN=2,贝IJQN=3—2=1,

此时M(1,2),

则&=2,

...0〃解析式为丫=2彳,

解2x=-W+2x+3得x=√J或x=-&(舍去),

综上，P点横坐标为若叵或者6时符合题意•

【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性

质、二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第(2)问将比例转化是关键,

第(3)问求出点M坐标是解题关键.

4.⑴y=-∕+2x+3

⑵点M的坐标为(1,4),(1,-2),

2557

⑶最大值为彳；P

2,4

【分析】(1)把A(T0),3(3,0)两点代入解析式y=αχ2+⅛r+3,计算即可.

(2)根据两点间距离公式表示出BC、MB、MC的长度，再根据三个顶点分别为直角顶点

进行分类讨论.

(3)先求出AC=√iU,得至IJ坐。E=JAC∙OE,进而表示出帆=-/+3〃+2〃，转化为

顶点式求出最值即可.

【解析】(I)解：把A(T,0),8(3,0)两点代入解析式y="2+bx+3,

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,∖a-b+3=Q

[9α+3⅛+3=0,

Ftz=-I

解得八ʌ，

[b=2

.∙抛物线的解析式为y=-V+2χ+3.

b2

(2)解：由(1)知，抛物线对称轴为％=一h=一大厂不=11

乙azX(-1J

故设M(L〃),

根据两点间距离公式可得，

BC=√32+32=3Λ∕2>MC=Ql+("-3),MB=y∣4+n^

若C为直角顶点，则有5C2+MC2=M/

贝IJ(3√2)2+.I+("-H?=(√4+∕j

解得n-^•,

若B为直角顶点，BC2+MB2=MC2

则(3√2)2+(√4+n2)2=(3+(〃一3)2『

解得〃=-4；

若M为直角顶点，MB2+MC2=BC2

则(√4+n2)2+(Jl+("ifJ=(3√2)2

解得〃=三姮；

2

综上所述，点M的坐标为(1,4),(1,-2),[1，羽乎[1，当

(3)解：如图，设P。与X轴的交点为凡点P(〃,-vΓ+2〃+3),

3(3,0),C(0,3)

设直线BC的解析式为y="+3,

..0=3^+3,

解得4=-1,

・・・直线BC的解析式为y=-χ+3,

O(〃,—〃+3),

.∙.PD——∏+2/?+3—(―〃+3)=—if+3H

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A(TO),C(O,3)

.∙.AC=√l2+32=√io

.-.-DE=-ACDE

22

连接AD,AB=Ar

DE=^ACDE=SADC=SABC-SAMJ=gx4x3-；x(f+3)χ4=2”

.∙.m=PD+^^-DE=-n2+3〃+2〃=——w2+5«=-fw-ɪɔ+—

2I2)4

抛物线开口向下，

二，〃有最大值，且当时5，且为2f5,

24

【点评】此题考查了二次函数的解析式、两点间距离公式及最值的求法，一次函数解析式的

求法，解题的关键是熟练掌握解析式的求解与函数的性质.

5.(1)A(-1,O),3(2,0)

(3)(I+>∕2,∙∖∕2j或

【分析】(1)根据次函数y=∕-x-2的图象与X轴交于点A,点B,令y=0,即√i-x-2=(),

解方程即可；

(2)过点尸作尸N,AB于点N,交BC于点M,二次函数y=--χ-2的图象与y轴交于点

C,求出点C的坐标为(0,-2),由8、C点坐标求出直线BC的解析式为y=x-2,可得

M(t,t-2),再结合P"∕τ-2),求出PM=―r+2/,根据证明-OQC-PQM,可得

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鬻=器=z⅛2，即W=T(I)即可求出结果；

(3)可分为点尸在直线BC的上方或下方两种情况，设点P的坐标分别为(，小，/-，〃-2)或

(n,ιι1-n-n^,分别表示出ABPC的面积，根据S∕⅛c=Soce=∣,列出方程求解，即可求出

点P的坐标.

【解析】(1)解：Y次函数y=∕-χ-2的图象与X轴交于点A,点8,

∙∙∙y=0时，X2-X-2=0,

解得：Xl=T,3=2,

∙∙.A点坐标为(-1,0),B点坐标为为,0).

(2)解：如图，过点P作PNLAS于点N,交BC于点M,

•；二次函数y=∕-χ-2的图象与y轴交于点C,

.∙.x=0时，y=-2,

点C的坐标为(0,-2),

设直线BC的解析式为y=kx-2,

：直线BC的图象过点双2,0),

.∙.把点8(2,0)代入直线BC的解析式为>=依-2,即象-2=0,

解得Z=I,

.∙.直线BC的解析式为y=χ-2,

P(∕,t2→-2),M(∕√-2),

PM=(，-2)—-2)=—t"÷2,t,

PN//CO1

:.NMPQ=NCOQ,/OQC=ZPQM,

OQCPQM,

•虺-弧=-*+2f

''~OQ~~δc2-，

.∙.∕=1时，VV的最大值为;.

第20页共56页

图1

(3)解；如图，当点尸在直线BC的上方时，过点P作尸尸〃y轴，交BC于点F,PF的延

长线交X轴于点E,

设点尸的坐标为-”—2),则点F的坐标为(加,加一2),

SPBC=SPBF-SPCF=-BE-PF-^OE-PF=^OB-PF,

OB=2,PF=^∕nz-zn-2)-(/?7-2)=m2-2ιn,

.∙.SMe=gX2X("?2-2〃7)=m1-2m,

・・・点。(1,-2),点。的坐标为(0,-2),

・•.DC=If

•∙SD5C=QX2X1=1，

ς=q

-UDBC—」PBC>

.,.m2-2m=ɪ,

解得：/〃=1?yjl,

・二点，〃=1+5/2时，y=7∑;当机=1一近时，y=-y∣2,

∕j(l+√2,√2)pgp(l-√2,-√2);

当点P在BC的下方时,过点P作P//_LA5,交Ag于点G,延长P”交CO的延长线于点L

设点P的坐标为("N-"-"),则点G的坐标为(〃,“-2),

PG=-“-2)=-n2+2n,

Srpoβt-r=SDκirjpr+SCrrpXr=2-×HBGP+2-CLGP=-2GP('HB+CL∖,

HB+CL=OB=2f

:.SPBC=~×2×GP=GP,

第21页共56页

•SPBC=SDCB=ɪ，

∖GP=1,

-n2+2n=↑解得M=1,

2

〃=1时，y=l-l-2=-2f此时点尸与点O重合，故舍去,

•••点P的坐标为（1+正，0）或（I-应,-应）.

图2

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、求一次函数的解析式、相似三角形的性质和判

定、解一元二次方程，作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键.

6.(1)y=—x2+X+3

4

⑵。(2,4)

⑶也

10

【分析】(1)令y=0,求得点A、B坐标，进而求得点C坐标，代入求得。值即可求解；

⑵设。(皿-；">+机+3),m>0,过。作JDEJ_X轴于E,∣H!∣DE=-^m2+m+3,

AE=OA+OE=2+m,根据等腰三角形的判定证得AE=DE,然后列方程求解即可；

(3)先根据勾股定理求得可求BC=于=3/，故要使PQ最大，只需求得一PBC的面

积最大值即可.求得直线BC的解析式为y=-gx+3,过P作尸N,X轴于N,交BC于H,

设p(r,-j2+，+3),则0<∕<6,求SmC最大值即可.

【解析】(1)解：令y=0,由ax?-40x-12α=0得W-4x-12=0,

解得斗=-2,x2=6,

ΛA(-2,0),B(6,0),则。8=2OC=6,

：•OC=3,

第22页共56页

当X=O时，y=T24,又α<0,

**•—12r∕=3,解得〃=--，

4

二抛物线的解析式为y==丁+X+3；

（2）解：设—;+m+3）,m>0,

过。作OE_LX轴于E,则。E=-,，/+胆+3,AE=OA+OE=2+m,

4

VZZMfi=45o,ΛZADE=45o=ZOAE,

：・AE=DE,

**•—~-Iu2+m+3=2+∕n,解得机=2或机=—2（舍去），

4

,∙BC=y∣62÷32=3-∖∕5，

•：PQLBC,

・・・要使PQ最大，只需求得.PBC的面积最大值即可.

设直线BC的解析式为y=­b,

6k+h=0解得“=一5,

则

b=3

h=3

・,・直线BC的解析式为y=-∣x+3,

过尸作PN_Lx轴于M交BC于H,

设/+f+3）,则"（，,一+,C）VfV6,

.*.PH=（一；/+1+3）—（一；1+3）=—；/+^7,

第23页共56页

∙'∙SPBC=^ra(⅞-⅛)=^-^,2+∣^∙6=_y+/=_:("3)-+今,

3

∙.∙——<0,0<r<6

4

27

；・当t=3时，SMC最大，最大值为二，

4

27

由Sw)C=；8。尸。=?得p0=匕=至，

Z43√5IO

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析

式、坐标与图形、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方

程解决问题，属于中考压轴题.

7.(l)y=-x2÷x÷2

⑵(〔而7922↑}I

(3)(|高或(3,T)

【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式即可;

(2)设点厂(x,-∕+χ+2),过点F作EH_LX轴于点则FH=-X2+》+2,分别求出

22

5I=-∣X+^X+3,S2=-X+2X,OJS=--fx-ɪY+-,利用二次函数的性质求解即

222(IOj40

可；

(3)分点尸在X轴上方和下方两种情况分别求解即可.

【解析】(1)解：∙.∙抛物线y=加+⅛r+2(0w0)与才轴交于点A(T,0),8(2,0),

.ʃ«-6+2=0

u∖4a+2b+2=0"

第24页共56页

(a=-l

解得一，

・•・抛物线的解析式为γ=-χ2+χ÷2;

(2)如图，连接AF,3F,CR4C,设点尸卜,一一+l+2),过点/作切_1_光轴于点”，则

FH=-X2+X+2,

・・・A(T,O),8(2,0),

.*.AB=2—(—1)=3,

当X=O时，y=-x2+x+2=2,

，点C的坐标是(0,2),

：•OC=2,

,22

..SAABFSl=^AB-FH=→3×(-x+x+2)^~x+^x+3.

SMBF=SI=SWOHFC+SBHF-SOBC=^°H{HF+°C}+~^BHHF-OBOC=~Χ2+2X-

33575

222169

∙*∙S=S,+S2=—x+—x÷3-x+2X=—X+—x+3=—+----,

2222240

V-3<0,

・・・抛物线开口向下,

当X=I时，S有最大值萼，此时—/+》+2=一(工1+[+2=乌1,

1040UOJ10100

7221]

..此时点尸的坐标是

∙Tδ,TooΓ

(3)当点尸在X轴上方时，如图，延长射线C尸交X轴于点N,

第25页共56页

•；A(TO),B(2,0),点C的坐标是(0,2),

.*.OB=OC=2,

：•ZBCO=NOBC=45。,

•：NFCD+ZACO=45°，ZOBC=ZFCD+/BNC=45°，

,ZACO=ZBNC9

'：ZAoC=NCoN=90。，

：,-AoCSLCON,

.AOCO

^~C∂~~ON1

.12

,,一=---.

2ON

ON=4,

点N的坐标是(4,0),

设直线CN的解析式为y=丘+〃，

则|〃=2，

%=」

2,

n=2

・

•∙y=----ɪx+ɪ2ɔ,

2

由—X+2=-x2+X+2,

2

3

解得E=O(不合题意，舍去)，X=

2^2,

当X=∙∣时，y=-X2+犬+2=_(3c5

+—+2=一

24

工点尸的坐标是信，"

第26页共56页

当点尸在X轴下方时，如图，设CF交X轴于点H,

,.∙ZFCD+ZACO=45o,ZOCB=ZOCF+ZFCD=45°,

：.ZACO=ZFCO,

.∙.AHC是等腰三角形，Co是NACH的角平分线且三线合一，

/.OH=OA=∖,

•••"(1,0),

设直线CH的解析式为y=mx+p,

fm+p=0

则°，

[P=2

ʤfw=-2

Λy=-2x+2,

由—2x+2=-χ2+X+2,

解得x=()(不合题意，舍去)，x=3,

当x=3时，y=-x2+x+2=-32+3+2=4,

••・点尸的坐标是(3,Y),

综上所述，点尸的坐标是停,或(3T).

【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、一次函数

和二次函数图象的交点坐标、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题

的关键，是中考压轴题的常见类型.

8.(l)y=-X2+3x+4

⑵(2,6)

(3)能，P(2,6),.PBC的面积的最大值为8

【分析】(1)将点A(T,0),8(4,0)的坐标代入函数表达式，即可求解;

第27页共56页

(2)先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到AOBC为等腰直角三角形，可得此当

FC=PE时，以P,C,F为顶点的三角形与AOBC相似.

设设点尸的坐标为(川,-川+3切+4)(0<〃?<4),则Cr=〃?，可得PF=∕n2+3”?,

可列出列出关于m的方程，从而可求得加的值，于是可求得点尸的坐标；

(3)连接EC.设点P的坐标为(a,-a2+3α+4),则OE=q,PE=-a2+3a+4,EB=4-a.然

后依据S丽=S13边初SLSCEZi列出工PBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最

大面积.

【解析】(1)解：将点A(T,0),3(4,0)的坐标代入函数表达式，得：

∫-l-⅛+c=O

∣-16+4⅛+c=0,

解得人=3,c=4,

・・・抛物线的解析式为)，=+3χ+4.

(2)解：令X=O得：y=4,

，点C(0,4),

・・・OC=4,

Y8(4,0),

Λ0B=4,

：・OC=OB,

Y/CFP=/CoB=900,

・・・AOBC为等腰直角三角形，

・・・当R7=PE时，以RC,尸为顶点的三角形与4O3C相似.

设点P的坐标为("z,τ∕+3∕n+4)(0<∕w<4),则CF-m,

∙*∙PF=-∕n2+3∕n+4-4=∕n2+3m,

nr÷3m=m，

解得根=2,m=0(舍去)，

・・・点P的坐标为(2,6).

(3)解:S能取得最大值

如图2所示，连接EC.

第28页共56页

图2

设点P的坐标为(α,-a~+3α+4),则OE=α,PE=-a2÷3α÷4,

，EB=4-a.

S四边形PeEB=g∙PE=gX4(-片+3α+4),SΔCOT=^EB∙OC=→4×(4-o),

2212

∙*∙SAPBC=StaiiIIf卯CEB-SACEB=(-«+3α+4)-2(4-α)=-Ia+8«=-2(α-2)+8.

V-2<0,

.∙.当α=2时，=PBC的面积S有最大值.

.∙.此时P(2,6),PBC的面积的最大值为8.

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函

数的解析式,相似三角形的判定,(3)问中用含4的式子表示相关线段的长度,然后列出一PBC

的面积与。的函数关系式是解题的关键.

9.⑴y=-gχ2+x+4,y=x+2

(2)S=-∣m2+∣m+∣,S的最大值是3,£(3,2)

⑶存在点N的坐标为喑,0),点M的坐标为M(l,l)

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

Q_O

(2)如图1,作EG,X轴，根据相似三角形的性质得到EG=I竺777，求得

SQDE=SBDQ_SBEQ=^(4-w)×4-^×(4-w)×+Tw+|=-~(,w^ɪ)2+3,根据二次

jjjjJ

函数的性质即可得到结论,可得此时点E纵坐标为2,求出直线Bz)的解析式代入即可得点E

坐标；

(3)过点尸作关于X轴的对称点尸，即尸'(0,-2),连接。9交对称轴于MLX轴于N',

由条件可知，点C,。是关于对称轴x=l对称，则

CF+F'N+MN+MC=CF+DF=2+2M,得到四边形CFMW的最短周长为：2+2M,

此时直线39的解析式为：y=3x-2,从而得到满足条件的点〃和点N