数学北师大版必修2学案第一章立体几何初步本章知识体系

本章知识体系专题一空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体是研究空间线、面、体的几何载体，正确理解几何体的概念，掌握几何体的特征是解题成功的关键．对三视图的考查，高考中不可能去画三视图或画几何体，但观察三视图，想象几何体是可能的，这类题目只要把握三视图和几何体之间的关系是不难解决的．【例1】图(1)是一个组合体，在①②③④四个图形中，是这个组合体的俯视图的是()A．①B．③C．④D．②【解答】该组合体的上面为圆锥，下面为长方体，所以选A.【答案】A规律方法由三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”确定几何体的各基本数据，然后再用公式求解．某几何体的主视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(D)解析：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A；若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为C；若俯视图为D，则主视图中上图中间还有一条虚线，故该几何体的俯视图不可能是D，故选D.专题二空间直线、平面的位置关系空间中的位置关系主要包括以下三种：(1)空间中直线的位置关系有三种：相交、平行和异面．其中前两种是共面关系，后一种是异面关系．(2)直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交．直线与平面垂直是一种特殊的线面相交的位置关系．(3)两个平面的位置关系有两种：平行、相交．两平面互相垂直是一种特殊的面面相交的位置关系．而平行与垂直关系是高考的热点，灵活运用平行与垂直的判定与性质定理是解决该类问题的核心．【例2】设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，mα，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，mα，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解答】两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选B.【答案】Ba，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c，,b∥c))⇒a∥b;②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ，,b∥γ))⇒a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c，,β∥c))⇒α∥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ，,β∥γ))⇒α∥β；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c，,a∥c))⇒a∥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ，,α∥γ))⇒α∥a.其中正确的命题是(C)A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④解析：①三线平行公理，②两直线同时平行于一平面，这两直线可相交、平行或异面，③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行，④面面平行的传递性，⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和这个平面平行或直线在平面内，⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和这个平面可能平行也可能直线在平面内，故①④正确．故选C.专题三直线、平面平行的判定及其性质平行关系主要包括线线平行、线面平行和面面平行，其中线线平行是线面平行和面面平行位置关系的基础，线面平行又是线线平行和面面平行之间的桥梁，三者在具体问题的判定使用中常常相互转化．各种平行关系都包括判定方法和性质应用，判定定理和性质定理又都有各自的前提条件，在使用时务必列全定理的条件，做到推理严谨，简洁有序．【例3】如图，直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形．∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD(1)求证：AC⊥平面BB1C(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面ACB1和平面BCB1都平行？请证明你的结论．【思路探究】A1B1的中点即是存在的P点，可证明B1P∥DC，且B1P＝DC.【解答】(1)证明：直棱柱ABCD－A1B1C1D1BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝eq\r(2)，∠CAB＝45°，BC＝eq\r(2).∴BC⊥AC.又BB1∩BC＝B，BB1，BC平面BB1C∴AC⊥平面BB1C(2)存在点P，P为A1B1的中点．证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1＝eq\f(1,2)AB.又∵DC∥AB，CD＝eq\f(1,2)AB，∴DC∥PB1，且DC＝PB1.∴四边形DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP.又CB1平面ACB1，DP⃘平面ACB1，∴DP∥平面ACB1.同理，DP∥平面BCB1.规律方法本题综合考查线面平行和垂直的判定及性质定理的应用，同时注意挖掘题设条件中的隐含条件及平面几何的知识应用，如本题证明中用到了平行四边形的性质．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于点F证明：EF∥B1C证明：由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D平面A1DFE，B1C⃘平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE.又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF专题四直线、平面垂直的判定及其性质空间点、线、面之间的垂直关系是非常重要的位置关系，同平行关系类似，垂直关系主要包括线线垂直、线面垂直和面面垂直，其中线线垂直包括相交垂直和异面垂直，它是线面垂直和面面垂直位置关系的基础，线面垂直又是线线垂直和面面垂直之间的桥梁，三者在具体问题的判定使用中常常相互转化、相互利用．垂直关系的判定方法和性质应用，主要依据的是判定定理和性质定理，在使用时务必列全定理的条件，做到步步有据．【例4】如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点G，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求证：AE∥平面BFD；(3)求三棱锥C－BGF的体积．【思路探究】(1)由BF⊥平面ACE，BC⊥平面AEB，可知AE⊥平面BCE；(2)由G，F分别是AC，EC的中点易证；(3)由(1)转化知GF⊥平面BCF，再求体积．【解答】(1)证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF.又∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.(2)证明：依题意可知：G是AC的中点．∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC＝BE，∴F是EC的中心，连接FG.如图．在△AEC中，FG∥AE，又∵AE⃘平面BFD，FG平面BFD，∴AE∥平面BFD.(3)∵AE∥FG，AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE.∴FG⊥平面BCF.∵G是AC的中点，∴F是CE的中点．∴FG∥AE，且FG＝eq\f(1,2)AE＝1.∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE.∴Rt△BCF中，BF＝CF＝eq\f(1,2)CE＝eq\r(2).∴S△CFB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1.∴VC－BGF＝VG－BCF＝eq\f(1,3)·S△CFB·FG＝eq\f(1,3).规律方法立体几何综合题有几小问时，往往上下问之间有一定联系，前面的已解决问题要作为下一问的条件使用．本题第3问同时用到了第1,2问的结论．注意三棱锥的体积求值时，可以转换其顶点的位置，这样可使计算简捷．如题中转换顶点C为G的方法．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1求证：(1)平面PAC⊥平面BDD1；(2)直线PB1⊥平面PAC.证明：(1)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD.又DD1⊥平面ABCD，则DD1⊥AC，所以AC⊥平面BDD1.又AC平面PAC，所以平面PAC⊥平面BDD1(2)PC2＝2，PBeq\o\al(2,1)＝3，B1C2＝5，所以△PB1C是直角三角形，且PB1⊥PC.同理PB1⊥PA.又PA∩PC＝P，所以直线PB1⊥平面PAC.专题五简单几何体的表面积与体积的计算解决此类问题的关键有两点：1．建立清晰的解题思路．2．巧妙利用轴截面，特殊三角形(或四边形)把空间问题转化为平面问题．此类问题的命题方式有以下几类：①知几何体的三视图求其体积、表面积；②与线面垂直关系结合命题；③组合体问题，考查割补转化思想；④旋转体问题．【例5】如图所示一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h.【解答】设圆锥形容器的液体面的半径为R，则液体的体积为eq\f(1,3)πR2h.圆柱形容器内的液体体积为π(eq\f(a,2))2h，根据题意，有eq\f(1,3)πR2h＝π(eq\f(a,2))2h.解得R＝eq\f(\r(3),2)a.再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得eq\f(\f(\r(3),2)a,a)＝eq\f(h,a)，所以h＝eq\f(\r(3),2)a.如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请计算说明理由．解：因为V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160,3)π(cm3)．因为V半球<V圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．专题六球的有关问题【例6】球的两个平行截面的面积分别是5π、8π，两截面间距离为1，求球的体积．【思路探究】应用轴截面中的直角三角形来求球的半径．【解答】如图所示，设两个平行截面圆的半径分别为r1、r2，球的半径为R，则由πreq\o\al(2,1)＝5π，得r1＝eq\r(5).由πreq\o\al(2,2)＝8π，得r2＝2eq\r(2).(1)如图，当两个截面位于球心O的同侧时，有eq\r(R2－r\o\al(2,1))－eq\r(R2－r\o\al(2,2))＝1，∴eq\r(R2－5)＝1＋eq\r(R2－8).两边平方解得R＝3，V球＝eq\f(4,3)π×33＝36π.(2)当两个截面位于球心O的异侧时，有eq\r(R2－r\o\al(2,1))＋eq\r(R2－r\o\al(2,2))＝1，此方程无解．综合(1)(2)知球的体积为36π.规律方法球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面都是轴截面．因此球的问题常转化为圆的有关问题解决．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的eq\f(3,16)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为eq\f(1,3).解析：本题主要考查了球、球的截面问题，同时考查了学生解决实际问题的能力．依据题意画出示意图：设球半径R，圆锥底面半径r，则πr2＝eq\f(3,16)·4πR2，即r2＝eq\f(3,4)R2，在Rt△OO1C中，由OC2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1C2得OO1＝eq\f(1,2)R.所以，高的比为eq\f(1,3).专题七翻折问题【例7】等边三角形ABC的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d.x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少？【解答】图(1)和图(2)为折叠前后的对照图，在图(1)中作AD⊥BC于D，交PQ于R，则R，D分别为PQ，BC的中点，连接BR，折叠后的图如图(2)所示．因为平面APQ⊥平面PBCQ，又AR⊥PQ，所以AR⊥平面PBCQ，所以AR⊥RB.在Rt△BRD中，BR2＝BD2＋RD2＝(eq\f(1,2)a)2＋(eq\f(\r(3),2)a－x)2，AR2＝x2，故d2＝BR2＋AR2＝2x2－eq\r(3)ax＋a2(0＜x＜eq\f(\r(3),2)a)，所以当x＝eq\f(\r(3),4)a时，d2取得最小值eq\f(5,8)a2.规律方法根据已知条件画出折叠前后的图形，是正确解决问题的关键．分析图形中的元素及其相互关系时，要抓住折叠前后的线段长度不变，垂直关系不变等．如图所示，在矩形A′BCD中，A′B＝2A′D，E是A′B的中点，沿DE将△A′DE折起，将A′翻到A(1)如