专题01任意角及其度量

专题01任意角及其度量在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质；为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据；因此，本章将先拓展角的概念、并从集合视角认识终边相同的角、象限角，同时引入角的新的度量制度；以此有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础；一、《必修第二册》目录与内容提要第6章三角6.1正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角6.2常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用6.3解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；第六章内容提要1、正弦、余弦、正切、余切弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制；扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，；单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆；正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有，，（），（）；同角三角公式：，，，；诱导公式：（），，，；诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限.2、常用三角公式和角与差角公式：，，；倍角公式：，，；3、解三角形正弦定理：；余弦定理：，，；三角形面积公式：；二、考点解读1、锐角A的正弦，余弦，正切，余切在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA===;在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA===;在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA===;在Rt△ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA===;锐角A的正弦、余弦、正切与余切也可以都叫做锐角A的三角比；2、角的概念的推广在小学和初中我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线所组成的图形；高中，在集合视角下，角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形；3、角的分类正角，负角，零角；一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是负的；特别地，当一条射线没有旋转时（终边与始边重合），我们也认为形成了一个角，称为零角；零角的终边与始边重合；4、终边相同的角及其表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，或S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和；【特别注意】角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用5、象限角为了便于研究角与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中；使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边在轴的正半轴重合；此时，终边落在第几象限就说这个角时第几象限的角；6、角度制在平面几何中，周角的360分之一作为1度；用“度”作为单位度量角的单位制叫做角度制；7、弧度制把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用“弧度”作为单位度量角的单位制叫做弧度制；8、扇形的弧长、扇形的面积公式设扇形所在圆的半径为，圆心角为，所对弧长为，对应面积为，则；1、角的概念（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．（2）分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角；（3）相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α；2、终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，或S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}；即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和；【注意】对终边相同的角的理解：（1）α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏；（2）k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；（3）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同；3、象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限；【注意】（1）象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．（2）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z；（3）象限角（4）轴线角4、终边相同的角与对称性拓展（1）β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z；（2）β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z；（3）β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z；（4）β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z；5、弧度制的定义和公式（1）定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．（2）公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2【注意】1、在应用扇形面积公式S＝eq\f(1,2)αR2时，要注意α的单位是“弧度”；2、在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入；3、在弧度制下的扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lR，与三角形面积公式S＝eq\f(1,2)ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆；4、由α，R，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量；题型1、准确把握角的概念例1、（1）下列说法正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第一象限角一定不是负角D．小于90°的角都是锐角【提示】注意：角是旋转的量，关注角的终边；【答案】B；【解析】终边相同的角不一定相等，故A不正确；钝角一定是第二象限角，故B正确；因－330°是第一象限角，所以C不正确；－45°<90°，但它不是锐角，所以D不正确；（2）下列结论：①锐角都是第一象限角；②第二象限角是钝角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中，正确结论的序号为【答案】①；【解析】①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；②480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以②不正确；③0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③不正确；【说明】1、判断角的概念问题的关键与技巧：（1）关键：正确理解象限角与锐角，直角，钝角，平角，周角等概念；（2）技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可；2、注意区分以下各角的不同：①锐角α：0°＜α＜90°；②小于90°的角α：α＜90°；③第一象限的角α：{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}；（试试：换成用弧度表示）；题型2、象限角的规范表示例2、（1）填充：象限角的表示．象限角角的集合表示第一象限角______________________________第二象限角______________________________第三象限角______________________________第四象限角______________________________【解析】象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}（2）终边在第一或第三象限的角的集合是．【答案】{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}【解析】因为终边在第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}．【说明】注意：任意角都是象限角吗？为什么？【解析】不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不是象限角；【建议】试试用弧度制表示；题型3、用好终边相同角的表示例3、（1）与－468°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}【答案】B；【解析】因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z，故选B；（2）已知α＝－1910°.①把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；②求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°；③如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？④如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？【提示】利用终边相同的角的关系α＝β＋k·360°，k∈Z.求解．【解析】①－1910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．②令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ<0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.③在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}；④由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}；即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．【说明】1、对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？【解析】所有与角α终边相同的角连同α在内，可以构成一个集合，S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和；2、终边落在直线上的角的集合的步骤：（1）写出在0°～360°范围内相应的角；（2）)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；（3）根据条件能合并一定合并，使结果简捷；3、终边相同角常用的三个结论：（1）终边相同的角之间相差360°的整数倍；（2）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；（3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍；题型4、与终边相同角的表示相关滴例4、（1）如图，终边在阴影部分(包括边界)的角α的集合是________．【解析】{α|k·180°－45°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}【说明】注意通过审题明确题设要求的是：终边的象限、终边的位置、角度范围之间的差异；（2）在与1010°终边相同的角中，分别求符合下列条件的角：①最大的负角；②最小的正角；③在－720°～720°内的角．【解析】与1010°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋1010°，k∈Z}．①最大的负角在[－360°，0°)的范围内，则应有－360°≤k·360°＋1010°＜0°，k∈Z，解得k＝－3，则最大的负角为－70°；②最小的正角在(0°，360°]的范围内，则应有0°＜k·360°＋1010°≤360°，k∈Z，解得k＝－2，则最小的正角为290°；③由－720°≤k·360°＋1010°＜720°，k∈Z，可得k＝－4，－3，－2，－1，则在－720°～720°内的角有：1010°－4×360°＝－430°；1010°－3×360°＝－70°；1010°－2×360°＝290°；1010°－1×360°＝650°；题型5、倍角、分角所在象限的判定例5、（1）已知α为第二象限角，求：①2α为第几象限的角？②eq\f(α,2)为第几象限的角？【提示】由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，在此基础上可以判断2α，eq\f(α,2)的范围，进而可以判断出它们所在的象限；【解析】①∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)．∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的负半轴上的角．②同理，45°＋eq\f(k,2)·360°<eq\f(α,2)<90°＋eq\f(k,2)·360°(k∈Z)．（①）当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)．则45°＋n·360°<eq\f(α,2)<90°＋n·360°(k∈Z)，此时eq\f(α,2)为第一象限角；（②）当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)．则225°＋n·360°<eq\f(α,2)<270°＋n·360°(n∈Z)．此时eq\f(α,2)为第三象限角．综上可知，eq\f(α,2)为第一或第三象限角．（2）①已知α为第二象限角，求：角2α的终边的位置．②若角α变为第三象限角，求：角eq\f(α,2)是第几象限角？【解析】①∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．②如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有“三”的区域即为角eq\f(α,2)的终边所在的区域，故角eq\f(α,2)为第二或第四象限角；【说明】倍角、分角所在象限的判定思路1、已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况.2、已知角α终边所在的象限，确定eq\f(α,n)终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观.题型6、角度与弧度的互化例6、设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝eq\f(4π,5)，β2＝－eq\f(11π,6).（1）将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；（2）将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．【解析】（1）∵1°＝eq\f(π,180)rad，∴α1＝510°＝510×eq\f(π,180)＝eq\f(17,6)π，α2＝－750°＝－750×eq\f(π,180)＝－eq\f(25,6)π.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．（2）β1＝eq\f(4π,5)＝eq\f(4π,5)×eq\f(180°,π)＝144°.设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.∴k＝－1或k＝0.∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.β2＝－eq\f(11π,6)＝－eq\f(11π,6)×eq\f(180°,π)＝－330°.设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0或k＝1.∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.【说明】角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点：（1）原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝eq\f(π,180)rad和1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°进行换算；（2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·eq\f(180°,π)；n°＝n·eq\f(π,180)rad；（3）注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度；题型7、会用弧度制表示终边相同的角例7、（1）终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))【提示】先判断角α的,终边位置，用弧度制表示角α的集合；【答案】D；【解析】因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))；（2）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．【提示】在[0，2π内找角表示终边落在第一象限阴影内的角；加kπk∈Z表示角θ的集合；【解析】因为30°＝eq\f(π,6)rad,210°＝eq\f(7π,6)rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)<θ<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).【说明】1、弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍；2、根据已知图形写出区域角的集合的步骤：（1）仔细观察图形；（2）写出区域边界作为终边时角的表示；（3）用不等式表示区域范围内的角；特别提醒：角度制与弧度制不能混用；题型8、弧长公式与面积公式的应用例8、（1）若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l等于（）A．eq\f(4\r(3),3)πcm B．eq\f(8\r(3),3)πcmC．4eq\r(3)cm D．8eq\r(3)cm【答案】B【解析】设扇形的半径为rcm，如图．由sin60°＝eq\f(6,r)，得r＝4eq\r(3)cm，∴l＝|α|·r＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)π(cm)；（2）已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，则扇形的面积为cm2.【答案】4；【解析】设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，由圆心角为2rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4；故扇形的面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4×2＝4cm2；【说明】弧度制下解决扇形相关问题的步骤：1、明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝eq\f(1,2)αr2和S＝eq\f(1,2)lr.(这里α必须是弧度制下的角)2、分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．3、根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．特别提醒：看清角的度量制，恰当选用公式；题型9、弧度制下有关扇形问题的综合例9、（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq\f(2π,3)；求：①这个圆心角所对的弧长；②这个扇形的面积；【解析】①因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为eq\f(2π,3)，所以半径r＝eq\f(1,sin\f(π,3))＝eq\f(2\r(3),3)，所以这个圆心角所对的弧长l＝eq\f(2\r(3),3)×eq\f(2π,3)＝eq\f(4\r(3)π,9).②由①得扇形的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(3),3)×eq\f(4\r(3)π,9)＝eq\f(4π,9)；（2）扇形OAB的面积是4cm2，它的周长是8cm，求扇形的半径和圆心角．【解析】设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为lcm，半径为rcm，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝8，①,\f(1,2)l·r＝4，②))由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝4.))所以θ＝eq\f(l,r)＝2.（3）已知扇形AOB的周长为10cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．【解析】设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，由l＋2r＝10得l＝10－2r，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(10－2r)·r＝5r－r2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(5,2)))2＋eq\f(25,4)，0＜r＜5.当r＝eq\f(5,2)时，S取得最大值eq\f(25,4)，这时l＝10－2×eq\f(5,2)＝5，∴θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(5,\f(5,2))＝2；故该扇形的面积的最大值为eq\f(25,4)cm2，及取得最大值时圆心角为2rad，弧长为5cm；【说明】弧度制下涉及扇形问题的一般方法：1、明确弧度制下扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)；2、涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)；3、灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题；题型10、任意角的概念与度量与其他知识的交汇例10、设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)－\f(π,3)，k∈Z))))，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π))；【解析】由－π＜eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)＜π，得－eq\f(4,3)＜k＜eq\f(8,3).因为k∈Z，所以k＝－1,0,1,2，所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π))；例11、已知θ＝kπ＋(－1)k·eq\f(π,4)，k∈Z，试判断角θ的终边所在的象限为【答案】第一或第二象限【解析】当k＝2n(n∈Z)时，θ＝2nπ＋eq\f(π,4)，n∈Z，∴角θ的终边位于第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，θ＝2nπ＋eq\f(3π,4)，n∈Z，∴角θ的终边位于第二象限．∴角θ的终边位于第一或第二象限．例12、《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为eq\f(π,4)米，整个肩宽约为eq\f(π,8)米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.73)()A．1.612米 B．1.768米C．1.868米 D．2.045米【答案】B【解析】由题意得，“弓”所在的弧长为l＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,4)＋eq\f(π,8)＝eq\f(5π,8)，R＝1.25＝eq\f(5,4)，∴其所对的圆心角α＝eq\f(l,R)＝eq\f(\f(5π,8),\f(5,4))＝eq\f(π,2)，∴两手之间的距离d＝eq\r(R2＋R2)＝eq\r(2)×1.25≈1.768.例13、已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150mm，从动轮N的直径为300mm，若主动轮M顺时针旋转eq\f(π,2)，则从动轮N逆时针旋转()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．π【答案】B；【解析】设从动轮N逆时针旋转θrad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以eq\f(150,2)×eq\f(π,2)＝eq\f(300,2)×θ，解得θ＝eq\f(π,4)，故选B.例14、已知扇形的面积是4cm2，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的弧度数为________．【答案】2【解析】设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则扇形的面积S＝eq\f(1,2)lr＝4，所以l＝eq\f(8,r)，设扇形的周长为L，则L＝2r＋l＝2r＋eq\f(8,r)，r∈(0，＋∞)．由基本不等式得2r＋eq\f(8,r)≥2eq\r(16)＝8，当且仅当2r＝eq\f(8,r)，即r＝2时，等号成立，扇形的周长取得最小值8，此时l＝eq\f(8,r)＝4，故α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,2)＝2；【说明】应用弧度制解决问题的方法1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．2、求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．3、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．1、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．【答案】一、三【解析】由题可知，k·360°＜2α＜k·360°＋180°，k∈Z，∴k·180°＜α＜k·180°＋90°.当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限，∴α是第一、三象限角．2、集合A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，B＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z}，C＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z}．那么集合A，B，C之间的关系是________．【答案】B⸦A⸦C【解析】A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．当k为偶数时，A＝B，∴B⸦A，B＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z}，C＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z}，当k为偶数时，C＝A，∴A⸦C，∴B⸦A⸦C.3、射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.【答案】－150°【解析】∠AOC＝120°－270°＝－150°.4、已知α与240°角的终边相同，则eq\f(α,2)是第________象限角．【答案】二或四【解析】由α＝k·360°＋240°(k∈Z)，可得，eq\f(α,2)＝k·180°＋120°(k∈Z)．若k为偶数，eq\f(α,2)是第二象限角，若k为奇数，eq\f(α,2)是第四象限角，综上，eq\f(α,2)是第二或第四象限角．5、如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．【提示】先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数．【答案】2－eq\f(π,2)；【解析】设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，由题意可得eq\f(1,2)×12×α＝12－eq\f(π×12,4)，∴解得α＝2－eq\f(π,2)；6、4．从13：00到14：00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________．－30°－360°[经过1小时，时针顺时针转过了30°，分针顺时针转过了360°.]5．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．eq\f(3,2)48[|α|＝eq\f(l,r)＝eq\f(12,8)＝eq\f(3,2)rad，S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)×12×8＝48.]6、下列命题正确的序号是①终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}②终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}③第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\