度高一数学人教A版必修一练习第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3幂函数

2.3幂函数【选题明细表】知识点、方法题号幂函数的定义2,4,12幂函数的图象3,6,7,10幂函数的性质1,5,8,9,11,12,13,14,151.下列幂函数在(∞,0)上为减函数的是(C)(A)y=x13(C)y=x2 (D)y=x解析:y=x13,y=x3,y=x在(2.幂函数f(x)=(m2-4m+4)xm2-(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2解析:因为f(x)=(m2-4m+4)xm所以m2-4m+4=1,解得m=3或m=1.由x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则m2-6m+8<0,解得2<m<4.所以m=3,故选C.3.如图,曲线C1与C2分别是y=xm,y=xn在第一象限的图象,则(B)(A)n<m<0 (B)m<n<0(C)n>m>0 (D)m>n>0解析:由题图及其单调性可得m<n<0.故选B.4.若幂函数f(x)=(m2m1)x1m是偶函数,则实数m等于(A)(A)1 (B)2 (C)3 (D)1或2解析:因为幂函数f(x)=(m2m1)x1m是偶函数,所以m解得m=1.故选A.5.三个数a=(34)

-13,b=(34)

-(A)c<a<b (B)c<b<a(C)a<b<c (D)b<a<c解析:因为13<14,所以a=(34)

-13因为函数f(x)=x-14所以b=(34)

-14>c=(所以a>b>c.故选B.6.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,22),则f(4)的值等于.解析:由f(x)=xα的图象经过点(2,22),得22=2α,所以α=12,则f(4)=4-1答案:17.函数y=xα+2(x>0)的图象恒过定点.

解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3).答案:(1,3)8.若幂函数f(x)的图象过点(4,116),则f(x)的值域为.解析:由题意设f(x)=xm,由点(4,116)在函数图象上得4m=所以f(x)=x2=1x故其值域为(0,+∞).答案:(0,+∞)9.已知(m2+m)35≤(3m解:设函数y=x3函数为R上的单调递增函数,得m2+m≤m+3,即m2+2m3≤0,得(m1)(m+3)≤0,所以m的取值范围为m∈[3,1].10.下列结论中,正确的是(C)(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)(B)幂函数的图象可以出现在第四象限(C)当幂指数α取1,3,12时,幂函数y=xα(D)当幂指数α=1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数解析:当幂指数α=1时,幂函数y=x1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα(α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;当α=1时,y=x1在区间(∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.故选C.11.幂函数f(x)=(m2m1)xm2+2(A)m=2 (B)m=1(C)m=2或m=1 (D)3≤m≤1解析:因为函数f(x)=(m2m1)xm所以m2m1=1,解得m=2,或m=1.又x∈(0,+∞)时f(x)为减函数,当m=2时,m2+2m3=5,幂函数为f(x)=x5,不满足题意;当m=1时,m2+2m3=4,幂函数为f(x)=x4,满足题意.综上,m=1.故选B.12.已知幂函数f(x)=(n2+2n2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n2=1,解得n=1或n=3,经检验只有n=1适合题意.答案:113.已知,幂函数f(x)=x-m2-2m+3(m∈解析:因为幂函数f(x)=x-m2-3则指数是偶数且大于0,因为m2-2m+3=(m+1)2+4≤4,因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,所以m=1,即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案:1614.若不等式x2logmx<0在(0,12)解:由x2logmx<0,得x2<logmx,要使x2<logmx在(0,12)内恒成立,只需y=logmx在(0,12)内的图象在y=x在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图,如图所示.因为x=12时,y=x2=1所以只要x=12时,y=logm12≥14=log所以12≤m14,即又0<m<1,所以116≤即实数m的取值范围是[116,1)15.已知函数f(x)=1x(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明;(2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.证明如下:设x1,x2是区间(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)f(x2)=(1x12+1)(1x2因为x2>x1>0,所以x1+x2>0,x2x1>0,(x1x2)2>0,所以f(x1)f(x2)>0,即f(