新高考数学基础复习讲义 15 递推公式求通项（教师版含解析）

考点15递推公式求通项

知识理解

公式法求通项

1.使用特征：前n项和与项数或项的关系

2.公式为：通项=前n项和-前n-1项和

3.解题思路

求通项相关的：求首项、列两式、作差、化简

'有首项,此步略

求首项:<

无首项,令n=1进行求解

(一式含有S,此式题目已给

列两式：《n

一式含有Snj根据题目的式子把n变n-1

作差：将上面两式相减

'(1)得到通项公式，检验n=l是否满足条件

化简:∙(2)得到等差或等比数列

(3)得到数列两项的关系式

二.累加法求通项

1.使用特征：a后-a^=f(n)表示含n的式子

2.解题思路

aa=a-aa-

∏-ι(2∣)+(3a2)+...+(an.,-an.2)+(an-an.∣)

=根据f(n)中与前后项下标的关系写出每个括号的结果

=观察f(n)的特征选择合适的求和方法

=计算化简

注意：记得最后a∣进行移项

≡.累乘法求通项

1.使用特征：^1=f(n)含有n的式子

a前

2.解题思路

Aa=_a51_.也a.a£-.....a,a`

a∣a∏-la∏-2a∏-3a2a∣

=根据f(n)中的n与前后项下标的关系列式

=整理化简

注意：将为进行移项

四.构造法求通项

1.通项特征：两项放两边，系数则不同，相差常数项.形如an+∣=pan+k

解题思路：待定系数法

(1)设方程：设aιl+]+λ=p(an+λ)

(2)移项解：aιl+j=pan+pλ-λ,令pλ-λ=k解λ

(3)λ代入：将λ代入(1)中，再移项匕也=p,构成等比数列｛at,+λ｝

an+λ

2.通项特征：两项放两边，系数则不同，相差一次函数.形如an,∣=pan+kn+b

解题思路：待定系数法

=

(1)设方程：⅛∏n+1÷λ(n÷1)÷ap(an÷λn÷a)

pλ-λ=k

(2)移项解：aγparι+(pλ-λ)n+pa-a-λ,对比得《解得λ和b

pa-a-λ=b

λ

⑶λ,b代入：将λ代入(1)移项a,"+(n+l)+a=p,构成等比数列｛a,,+λn+a｝

aιι+λn+a

通项3.特征：两项放两边，系数不同，相差指数函数且底数与项的系数不同.形如am=pa∕kbn

解题思路：待定系数法

n

(1)设方程:设atl,∣+λb向=P(an+λb)

n

(2)移项解：an+,=pan+(p-b)λb,⅛(p-b)λ=k⅛⅞λ

ʌIΛL∏+I

⑶λ代入：将λ代入(1)中，再移项刍吗i=P，构成等比数列｛an+λb?

aŋ'λb

n

4.an+l=Pa“+kP（PHl/0指数的底数与项数的系数相同）

解法：同时除以p-'（注意指数的次数是由后一项的下标决定）

即J=旦+型n∙=L+K

p"1p"lp"lpn+,pnp

=是首项文，公差是V的等差数列

IpnJPP

五.倒数法求通项

1.分式：a0=Pan-I或ae=Pan

kanJPka,,+p

解法：两边同时取倒数，即J-=旦0=人+」一即_L--L=K

aaaa

nPn-1Pn.∣∏an.∣P

或」_=包±E=K+J_即」_」=£..（工］是以首项L公差K的等差数列

an÷1PalUPa„an+1anpIaiJa1P

整式：∣或・两项相减相乘

2.na-na—I.=knana-ιnana+l1=kna+1+1na

解法：两边同时除以乘的部分，即

aa,kaa,11[11

—=，n曰n-----------二—kn｛一)等差数列

anan-l1anan-1,anan-l,anan-1,Ian√

考向一公式法求通项

【例1】（1）（2020•广西民族高中）数歹u｛α,,｝的前〃项和S“=一/+〃，则它的通项公式是%=.

（2）（2020•广东深圳市•明德学校高三月考）设S,是数列｛q｝的前n项和，且S,=2a,l+n,则｛α,,｝的通项公

式为=__________

,,

(3)(2020•榆林市第十中学高三月考)已知数列｛”,J满足α∣+2a2+3q++nan=(2〃-l)∙3,n∈N",则

3,H=1

【答案】(1)4=-2"+2("∈M)(2)l-2"("∈N)(3)3

4X3"T∕≥2

［解析］(D"=1时，q=S∣=-1+1=0；

22

“≥2且〃eN+时，an=Sn-S,,.l=(-n+»)----(n-l)+(n-l)j=2∕?,易见，〃=1也适合该式.故

an=-2〃+2(〃∈N+).故答案为：an=-2∕7+2(n∈TV+).

(2)当〃=1时,al=2al+l,al=-1

当〃>1时，all=2an+n-2al^i-(n-∖),：.an=2aπ,1-1,Λα,ι-1=2(απ-l-1),

n

Vtzl-1=-2,.∖an-l=-2,.∖an=∖-2".故答案为：l-2"(neN*).

(3)当〃=］时，O1=(2—1)×3=3,

当〃之2时，由题意可得：

4+24,+ɜizɜ++na”=(2∕?-ŋ,3”,

4+24+3%+•..+(〃—1)a,—=(2〃—3)•3"∣,

两式作差可得：nα,,=(2∕ι-l)∙3n-(2π-3)∙3π^l=4π∙3,'^l,

故α,,=4χ3"τ(“≥2),

3,H=1

因为％=3,不满足a,,=4χ3"T,所以

M,,-',n≥2'

3,〃=1

故答案为:3；a,,=<

4×3π^1,n>2,

【方法总结】

s∣,("=ι)

数列｛4｝的前n项和S.,当已知Sn求an时，按照两者关系，由q=■计算，当〃=1

S,,-S,,-1,(n≥2)

也适合通项公式时，合并作答，否则写出分段形式.

【举一反三】

1.（2020•西藏昌都市第一高级中学）已知数列｛0,,｝的前〃项和S,,=3〃2-2〃，则.

【答案】6/1-5

2

［解析］由于数列也｝的前«项和S11=3n-2n.

当〃=1时，4=S］=1;

当〃22时，4=S“-S,*=（3〃2-2〃）一3（〃一1）2-=6〃-5.

%=1满足=6〃-5.因此，对任意的〃eN"，4=6〃-5.故答案为：6n-5.

2.（2020.全国高三专题练习）数列｛叫的前〃项和为S“=〃2-2〃+3,则％=.

2,〃=1

【答案】

2H-3,Π≥2

【解析】当“≥2时，a”=S"一5“_|=（〃2-2〃+3）-［（九一1『一2（九一1）+3=2〃-3；

2,H=12,〃=1

而4=S］=2不适合上式，.•.〃〃二.故答案为：,

2n-3,n>22〃-3,〃≥2

3.（2020.河北保定市•高碑店一中）已知数列｛an｝的前〃项和为Sn,4=1,an=2S,-（〃≥2）,则an

【答案】b3"4≥2）

【解析】因为an=2S,ι（〃≥2）,故all+l=2Sn,故an+i-an=2%即=3all（π≥2）.

又4=2q=2,故当〃22时，4=2X3”-2,

fι,rt=ι=

故4=O炉、0•故答案为：-∕>v

2×3,n≥2［29∙3r2（πn≥29）

21

4.（2020・全国高三专题练习）若数列｛凡｝的前〃项和5〃=§%+§,则｛〃〃｝的通项公式是为=

【答案】（-2）1

21

［解析］当"=1时，q=—q+—,cιl=1f

33

2122

当“≥2时，ST=all^Sll-Sn^=-an--an_｝,

.∙.4=-2αι,｛α,J是首项为1，公比为-2的等比数列，氏=（-2尸.故答案为：（一2严

5.(2020•安徽省舒城中学)若数列｛《,｝是正项数列，且向+日+…+n=∕+3”("∈N*),则为=

【答案】4(π+l)2

【解析】数列｛为｝是正项数列，且J[+Jξ^+…+"鼠=〃2+3〃(〃€“)所以4=4,B[J=16

“≥2时+y∣cζ+—卜Ja=(n-l)^+3(n-l)(n∈N')

两式相减得口=2〃+2,

所以q=4(〃+1)2(〃≥2)当”=1时，％=16适合上式，所以a“=4(〃+l)-

考向二累加法求通项

【例2】(2020戒都市•四川电子科大实验中学)设数列｛α,J满足%=1，an+i-an=鼻(〃eN*),则数列｛q｝

的通项公式为

【答案】a“=2(l-5[(〃eN*)

aa

【解析】an+i-an=^,所以当“≥2时，T=击，％一限=/，，2-ι=^T>

将上式累加得：一巧=*+*+…+,

/T=ɪ⅛J=>RΓ''即。，，=2一(3'〃N2)，

1—

2

又〃=1时，％=1也适合，.∙q=2—击=2，一/1.

【举一反三】

1.(2020•全国高三专题练习)已知数列｛a,,｝满足：4=1,4用=4+£；(〃∈N*),则〃=________

22λ

31

【答案】τ-τττ

22

【解析】：数列｛a,,｝满足：ai=∣,an+｝=aπ+ɪ(«∈Λ^*),?.all+i~=ɪ›

1

.∙.当论2时,Cln=a∖+Cl2~。|+〃3-。2+…——=--F

2

2.（2020•全国高三专题练习）已知在数列｛α,,｝的前〃项之和为S,,,若q=2,α,,+∣=α,,+2"T+l,则°

【答案】2n^'+n

n

[解析]4=2,勺M=an+2'-'+1=>an+i-an=2^'+1

=",,=(an-αn.1)+-a,.)++(tz3-a2)+(α2-0l)+czl=

=2"-+2"`++2+l+∕ι-1+6!∣,

I_2n^1

---------+〃-1+2=21+〃.

1-2

2

3.（2020.通榆县第一中学校高三期中）已知数列｛4｝满足q=1,a,,+1=an+-τ-^-,则4=o

【答案】?

3--

n

可得高=2：W），

【解析】由a=a+-T——

n+[nn+〃

所以4,=(4一an-2)+(αn-2-«„-3)++(生-4)+4

^ɪ-ɪ+2μq+2pq++2」+x」+心二,

∖n-ln)∖n-2n-∖)(〃-3n-2J(12)(n)n

考向三累乘法求通项

/7

【例3】(2020•江西九江市)设数列(小｝中，αι=2,斯+i=——m，则Z=.

π+l

2

【答案】一

n

na.,n

[Wttff]•・•〃〃+1=-----an,a∖=2Λa∏≠0Λ.tl=7

〃+19f4〃+1

a,a.an-1n-2ɪ22

,当〃≥2时，a,1=t…1=~∙q=--------------...—2=一,0=2也符合上式，则〃“=一.

《Ia2a∖nn-12nn

—“2

故答案为：一.

n

【举一反三】

H

L(202。苏州市相城区陆慕高级中学)已知在数列｛%｝中，q=2,q+∣=——a〃,则《=_______

π+l

2

【答案】一

n

na—n

【解析】Qam=——即*■=—7,

,,+l

n+l"ann+1

an⅞-lan-2.幺.竺∙ɑJ-I〃-2〃-32.12

1X2

an_2an_3a2ainn-∖n-232n

2.(2020•安徽省泗县第一中学)已知%=1，4="(α,小一α,,)("∈N+),则数列｛为｝的通项公式是

【答案】«

【解析】由4="(%+1—。”)(〃€乂)得：("+l)%=zκz,,+]("∈N+),即%I="ɪ(/eM),

ljinɪɪɪQ»-l-n~1ar-2-n-2"=2

、«„.1n-∖'an_2n-2'an_3n-3,.........aiT，

由累乘法可得YL=",又因为4=1,所以q,=".

考向四构造法求通项

[例4](2020♦全国高三专题练习)若q=1,an=2a,,.1+l(n≥2,〃∈N),则an=.

【答案】2,'-l

[解析】原式可化为an+↑=2(α,,τ+l)(n>2),

因为4+1=2,所以｛α,,+l｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以4,,+l=2",即.故答案为：2,--l∙

【举一反三】

1.(2020.静宁县第一中学高三月考)已知数列｛4｝中，％=1,4=3«„_,+4(〃eN*且〃≥2),则数歹IJ｛an｝

通项公式凡为

【答案】3"-2

an+2C

【解析】由q=1,an=3。〃_]+4知：a2=l且------=3(n≥2),而q+2=3,+2=9,

an-∖+2

・・・｛%+2｝是首项、公比都为3的等比数列，即4=3”一2,

2.(2021•怀仁市第一中学校)已知数列｛4｝满足q=1,。,川=2α,,+l,5∈N+),则数列｛4｝的通项公式为

【答案】%=2"-1

【解析】因为α,,+∣=2.,,+l,("∈N+),所以。,㈤+1=2(α,,+1),所以乌叶=2,

所以数列｛α,,+l｝是一个以％+1=2为首项，以2为公比的等比数列，

n

所以4+1=2∙2"τ=2,.∙.4=2"-L所以数列｛a,,｝的通项公式为4=2"-L故答案为：an=2"-∖

+

3.(2020.广东清远市.高三月考)若数列｛4,｝满足4=1,an+i=6an+2"',则数列｛a,,｝的通项公式可=

【答案】2x6"-∣-2"T

【解析】由-=60,,+2"M,可得翁=3x/+1,设N=会

则bll+l=3bn+l,则bn+i+；=3(2+g)

所以｛"''+g｝是以1为首项，3为公比的等比数列.

则d+g=3"τ,则勿=3"T—g,所以”,=2χ6"T-2"τ

故答案为：2x6"T-2"T

考向五倒数法求通项

【例5】(2020•四川省闿中东风中学校高三月考)已知数列｛4,｝满足：q=1,。,川=/Lw(〃wN").则/=

【答案】2"

anIa“+2211∖1

【解析】因为%+∣=T7,所以两边取倒数得——=--=一+1,则——+1=2—+1

%+2%ananan+}{aιl)

所以数列1」-+1]为等比数歹U,则1∙+1=(工+1]∙2"T=2",

IAJa,>lβ∣)

【举一反三】

z、2a.

1.(2020.湖南娄底市)在数列{4}中，已知4=2,L=“鼻,(rt≥2),则4等于

zj-l

【答案】-

n

I1112

所以《›是以:为首项，公差为:的等差数列，—=-«,

an=-

22an2n

2.(2020•四川成都市•)若数列｛0,,｝满足%=才七("≥2,"GN*),且G=g,则氏=

【答案】—

2n

an112an1+11C

【解析】当〃≥2且〃eN*，在等式q=cI两边取倒数得一="—=—+2,

a

2j+lan%,1-t

IlCIC1

-----------=2,且一=2,所以，数列一为等差数列，且首项为2,公差为2，

%％«ia,l

1,H=1

【答案】

—∙一,n≥2且〃∈N

[3⑴

【解析】当〃=1时，a2=:S]=?；

333

当〃≥2时，％+1_〃〃=：(S〃_S,I)=Ja〃，二乎=1,

3ɔunɔ

1(A4

.・.数列｛q,｝从第二项开始为等比数列，.∙.ɑ,=^∙?(n≥2,nwN*);

3∖3√

1(4V-2

经检验：〃=1不满足α,,=l∙2

3⑶

1,∏=1

综上所述：a“=,

,rt>2Mn∈7V*'

1,77=1

t

故答案为：cιn—W∖≥2且〃W

2

2.(2020•江苏宿迁市)已知数列｛all｝的前〃项和Sn=n(n∈N*),则｛α,,｝的通项公式为.

【答案】an=2n-l

22

【解析】QB,=/,.•.当Λ2≥2时，an=S11-S1^=n-(n-l)=2n-l,

当〃=1时，4=S∣=1,上式也成立，；.a”=2n—1("eN*),

3.(2020•江苏高三)己知q=l,q=〃(%—a,,)("∈N'),则数列｛a,,｝的通项公式是

【答案】an=n

【解析】由a“=〃(a“+i-a”)(〃eN+)得：(〃+1)%=叫,M("∈N+),即空M),

ann

叫ML_=」_a'>-i-n-ia'>-2-n-2"=2

,

、«„_1n-∖4Zn-2n-2`an_3n-3,....，ai]，

由累乘法可得口=〃，又因为q=l,所以为=〃.

4.(2020•全国)已知数列｛4,,｝满足4=；,n(n+1)(a,,+1-)=an+iall,则数列｛4｝的通项公式为=

n

【答案】n∈N''

n+1

易知≠0,由n(n+1)(4+1—％)=aa,得=^ɪ?)

【解析】n+λn

11ɪ11」=白」5∙∙2).

aann+1aan-∖n

nn+ln-lt1

111ɪJ___111_ɪ

.∙.当〃..2时，有------=T-

4a212Orɜ23Zi-In

111ɪ〃一1/C'

将以上〃—1个等式相加得，------1—=------(〃..2).

%qnn

n-1n+1

又%=L一=2-（几.2）,经验证，当〃=1时符合上式，.∙.α,=∕-（"eN*）.

nnf

2ann÷l

5.（2020•岑溪市第一中学）若数列｛α,J满足q印2部3立部“=*+3〃+2,则数列｛q｝的通项公式为

6,n=l

【答案】％=,〃+2

------,π≥2,n∈Tv

、n

【解析】qg¾第安g¾=∕+3zι+2,

当〃=1时，q=6；

40分…q=(〃+i)(〃+2)

当〃≥2时，,

ay∙a2∙a3∙∙an^=π(n+l)

〃+2

故当"≥2时，a

nn

6,∏=1

所以4=《〃+2

,n≥2,neN

n

6,n=1

故答案为：4=丝2,”N*

n

6.(2020.全国高三专题练习)在数列｛4｝中，q=2,αfl+∣=%+ln(l+∖),贝∣J4=

【答案】2+ln〃

【解析】因为4=2,4+∣=4+ln(l+'),

n

∙∙∙a〃+]-a〃=ln5+l)—ln〃，

aa

∙'∙fl=3〃_n-∖)+(。〃T—Q〃一2)++(出—)+4

=(In〃-ln(〃-l))+(ln(〃-1)—ln(∕ι-2))÷∙÷(In2-lnl)÷2

=2+lnπ.

n

7.(2020•四川遂宁市•射洪中学)若数列｛α,,｝满足：q=l,an+i=an+2,则4=.

【答案】2,1-l

23

【解析】由α∣=l,a2-ai=2,ai-a2=2,a4-a3=2,...»an-an_x=2"~'(n≥2),

累加可得%=1+2+2?++2"T("≥2),得见=2"—1("≥2),

,,,

当〃=1时，α1=2-l=l,也符合，故。“=2"-1.故答案为：2-l

8.(2020・吉林长春市•长春外国语学校)设数列｛α,,｝中，4=2,%+J=%+〃+1,则通项a“=

【答案】△——<+1

2

【解析】=2,a,,+∣=。“+〃+1；.4,,=α,τ+("-l)+l,an_x=izn_2+(n-2)+l,

α,,-2=α,,-3+("—3)+1，,••,%=4+2+l,a2=4+1+】，α∣=2=l+l

将以上各式相加得：an=[(∕ι-l)+(∕ι-2)+(∕ι-3)++2+l]+∕2+l

(zz-l)Γ(∕ι-l)+ll(n-∖]n++1

=1——ΛA——L_l+n+↑^∖——2_+„+1=_\——Z+ι故座填一^——^+1；

2222

9.(2020•吉林市第二中学)在数列｛4｝中，an+i-an=2n+∖,ai=1,则数列的通项公式为可

【答案】n2

【解析】由题意，数列｛4｝中，q=l,4+ι-4=2〃+1,

可得=q+(%-。|)+(。3一。2)+,÷(an'~~an-∖)

〃(1+2〃-1)2

=1+3+5++(2n-1)=---------------=n^,

即数列的通项公式为4="2.

故答案为：rr-

10.(2020•全国高三专题练习)设数列｛a,,｝满足a∣∙2a2Sa3∙…∙nan=2l则an=.

2

【答案】一

n

n1

【解析】由题得aι∙2a2∙3a3,…∙nan=2",(I)a∣∙2a2∙3aj∙...∙(n-1)an.ɪ=2-,n>2,(2)

2222

两式相除得na∏=2,所以。“=一(〃≥2).由题得Cti=2,满足O“=一(M≥2).故。“=—.故答案为一

nnnn

11.(2020•兴仁市凤凰中学)设数列｛α,,｝中，4/1=1,⅛÷>=57Γ,则通项-

3

【答案】a,l=

/1+2

3a13+6!11

【解析】因为/“=一，所以——=-r^=~+a-

3+%an+i3anan3

11111,1

即--------=不，所以数列《一｝是以首项为一=1,公差为一的等差数歹∣J∙

4+1an3UJ43

11/∖/7+23

故一=11+彳(〃_1)=二—，所以”,,=-~7∙

a,33n+2

故答案为：an=——

〃+2

12.(2020•全国高三专题练习)已知数列｛。“｝满足％=1,一0用=nanan+,(n∈N"),则aιl=

U—a..,

nLx11

【解析】因为。“一%+∣=na,lan+i,所以上~"=--------=",

aaaa

n,l+ln+ln

-=(-———)+(—--------…+(-!---!-)+-!-=(〃-1)+(〃-2)+―+3+2+1+-!-=

anananΛ«„-2«2444

(rt-l)(n-l+l)n-n+22

------------------+1=------------=>a=-----

22nn2-n+2

13.(2020•全国高三专题练习)S”为数列｛4｝的前〃项和，若4>0,αj+2%,=4S,,+3,则%=,

【答案】2n+l

(解析］当〃=1时，a；+2α∣=45l+3=4q+3,

因为aa>0>所以a∣=3,

当〃N2时，a；+2%-a1∣-2a,-=4S,,+3-4Sn.l-3=4all,

即(an+an,l)(an-an,l)=2(a,1+%),

因为。“>0,所以。“一a,z=2,

所以数列｛q｝是首项为3,公差为2的等差数列，

所以a“=2〃+1；

故答案为：2n+l.

21

14(2020•全国)若数列［a,,｝的前«项和S11=§4+§,则｛q,｝的通项公式是a“=

【答案】(―2)"τ

21

【解析】当〃=1时，fl∣=-tz∣+—>a∣=1,

2122

当“≥2时，S,,,,=-all^+-,an=Sll-Sn,l=-an--a^i,

.∙.∕=-2%τ,仅“｝是首项为1，公比为-2的等比数列，。“=(-2产.

故答案为:(—2)1

15.(2020•宁夏长庆高级中学高三月考)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,若4=1,a,,+1=∣S,,(n≥l),则

4=.

l,n=1

【答案】％=1(41T、。日『

［3⑴

［解析］当〃=1时，a1=—Si=—a］=ɪ；

~333

L

当〃22时，a,i+l-a,,=∣(5,,-S,,-1)=∣αn,二^=I

ɔunɔ

,数列｛”,,｝从第二项开始为等比数列，.∙.α,=g—(n≥2,neN*);

kɜ/

经检验：〃=1不满足.

1,∏=1

综上所述：4=‹

,n>2.an∈7V,

l,z?=1

n-2

故答案为："4

,n≥2且〃∈N"

16.（2020.湖南高三期中）设数列｛a,,｝的前〃项和为S,,,且S“+1=2%,则可

【答案】2,,^l

【解析】ξ,+1=2an,当〃=1时，S]+l=2q,解得q=l；

当〃≥2时,(5rt+1)-(5n,j-1)=Srt—5rt-1=an=2an-2an_x,即an=2an^l,

故q二2小，验证〃=1时成立，故%二2小

故答案为：2n^l.

17.（2020•罗山县楠杆高级中学高三月考）已知数列｛0,,｝的首项4=4,誓牛"，贝∣j｛4｝的通项公

【答案】n∙2n+l

a.2(〃+1)

【解析】4=4,△——L

4,n

所以，…曾，Jx2×22×32nCN