6.2.3向量的数乘运算

6.2.3向量的数乘运算【考点梳理】考点一：向量的数乘运算考点二：平面向量的混合运算考点三：向量的线性运算的几何应用考点四：三角形的心的向量表示【知识梳理】知识一向量数乘的定义实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.知识二向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知识三向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.【题型归纳】题型一：向量的数乘运算1．（2022·高一）下列计算正确的个数是（）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】对于①；故①正确，对于②；故②正确，对于③，故③错误，故选：C2．（2022下·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期中）四边形中，，，则下列表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.【详解】因为，，所以故选：C3．（2021下·四川成都·高一四川省蒲江县蒲江中学校考阶段练习）已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（

）①；②；③若，则；④若，则．A．①④ B．①② C．①③ D．③④【答案】B【分析】①②结合平面向量的数乘运算即可判断，③④举出反例即可说明.【详解】对于①：根据数乘向量的法则可得：，故①正确；对于②：根据数乘向量的法则可得：，故②正确；对于③：由可得，当m＝0时也成立，所以不能推出，故③错误；对于④：由可得，当，命题也成立，所以不能推出m＝n.故④错误；故选：B题型二：平面向量的混合运算4．（2023下·江苏镇江·高一统考期中）在中，是的中点，在上且，记，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量的线性运算法则运算.【详解】∵是的中点，∴，∵在上且，∴，∴，∴，故选：A5．（2023·高一课前预习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据向量的线性运算计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.6．（2021·高一课时练习）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点.（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）面积为12.【分析】（1）根据D为BC的中点，从而根据向量加法的平行四边形法则得到，从而得到，这便可得出；（2）同上，从而得到，进一步便可得到AB=6DO，从而有S△ABC=6S△BOC，这样便可得出△ABC的面积.【详解】（1）∵D为BC边中点；∴；∴由得，；∴；（2）如图，根据条件：；∴，∴DE=3DO；又AB=2DE，∴AB=6DO，所以，即△ABC的面积为12.题型三：向量的线性运算的几何应用7．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，如图，，故选：A.8．（2023下·福建三明·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的加减法的几何意义将转化为、即可.【详解】.故选：D.9．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.(1)试用，表示；(2)若点G是的重心，能否用，表示？(3)若点G是的重心，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可；（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.【详解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，，所以；（2）因为点G是的重心，所以.（3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以，又，所以，所以.题型四：三角形的心的向量表示10．（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.11．（2022下·山东济宁·高一统考期中）已知△ABC，点G、M满足，，则(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知可知为的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求．【详解】满足，∴为的重心，∴＝＝，又∵，∴．故选：A．12．（2021下·四川自贡·高一统考期末）已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（

）．A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】设为的中点，由向量的线性运算可得，代入已知条件计算可知，进而可得答案.【详解】如图：设为的中点，因为由可得，，所以三点共线，因为，所以点在射线上，所以点的轨迹一定通过的重心，故选：C.【双基达标】一、单选题13．（2024·全国·高一假期作业）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的运算法则可得结果.【详解】,故选：B.14．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.【详解】,,即,.故选：D.15．（2023下·全国·高一期中）平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：，则下列结论正确的是（

）A．在上，且 B．在上，且C．在上，且 D．点为的重心【答案】A【分析】根据平面向量线性运算求得正确答案.【详解】依题意，，，，所以三点共线，所以A选项正确.故选：A16．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.【详解】根据向量的四则运算可知，.故选：D17．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向.(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根据向量数乘运算求解.【详解】（1）由得，所以.（2）由得，所以.（3）由得，所以.18．（2023下·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．【答案】【分析】根据重心的几何性质和三点共线的向量表示，依据线段长的比例进行运算即可.【详解】∵是的重心，∴是边上的中线，，∴，∴，又∵，（，），∴，，∴，又∵，，三点共线，∴.又∵，，∴由基本不等式，有，当且仅当，即，时，等号成立，∴的最小值为.【高分突破】一、单选题19．（2023下·云南·高一校联考期末）在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据图形关系进行平面向量的加减法运算即可.【详解】如下图所示，因为线段为边上的中线，点满足，所以，又因为，所以.故选：A20．（2023下·江西赣州·高一校联考期末）在中，点满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为，所以，．故选：C．21．（2023下·江苏宿迁·高一统考期中）如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用共线定理的推论可得.【详解】因为，所以，所以，因为P，B，N三点共线，所以，解得.故选：D22．（2023下·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2【答案】B【分析】利用三角形重心的性质及平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】如图所示是的重心，,,,,，即，点为的中点，即点为边中线的两个三等分点，，，故选：B.23．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题：①

②③若，则

④若，则其中正确命题的个数是：（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立.【详解】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误；④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误.故①②两个命题正确．故选：B24．（2023下·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）在平行四边形中，，，设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别利用与表示，，进而确定，即可得解.【详解】如图所示，因为，，所以，所以，所以，，故，故选：B.二、多选题25．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）如图在中，AD､BE､CF分别是边BC､CA､AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.【详解】由条件可知为的重心，对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；对于D，故D错误；对于C，，，，故C正确.故选：BC.26．（2023下·浙江嘉兴·高一校考期中）如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同.【详解】由题知，点是线段的三等分点，所以，，，对于A：且方向相同，所以，A选项正确；对于B：，所以，B选项错误；对于C：，所以，C选项错误；对于D：且方向相同，所以，D选项正确；故选：AD.27．（2023下·全国·高一随堂练习）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点M是BC的中点B．若，则点M是的重心C．若，则点M，B，C三点共线D．若，则【答案】ACD【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解．【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得，若，可得M为BC的中点，所以A正确；对于B中，若M为的重心，则满足，即，所以B不正确；对于C中，由，可得，即，所以M，B，C三点共线，所以C正确；对于D中，如图所示，由，可得，所以D正确．故选：ACD28．（2023下·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）在中，，以下结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据给定条件，利用向量运算可得，，，再利用三角形面积性质判断作答.【详解】由，两边同时乘以，得，令，则，即有，因此，点在上，且，如图，所以，则；同理，两边同时乘以得：，令，点在上，，所以，则；，所以.故选：ABD29．（2023上·高一单元测试）已知，若点满足，则下列说法正确的是（

）A．点一定在内部 B．C． D．【答案】ABC【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，再根据面积关系判断C、D，又平面向量线性运算法则判断B.【详解】由，所以，设、分别是、的中点，所以，于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确；又，所以，则，故B正确；由A可知，，且，所以，，即，故C正确；所以，故D错误；故选：ABC三、填空题30．（2023下·全国·高一随堂练习）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则．【答案】/0.1【分析】由平面向量的线性运算和三点共线的充分必要条件得出结果.【详解】因为E为AD的中点，所以，因为B，D，C三点共线，所以，所以，解得．故答案为：31．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）设是内部一点，且，则．【答案】【分析】先作出草图，然后分析出的位置，先考虑长度的比值，最后即可得到面积的比值.【详解】设为的中点，如图所示，连接，则.又，所以，即为的中点，则，，即.故答案为：.32．（2023下·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）三国时期东吴的数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一张勾股圆方图（也称赵爽弦图），弦图作为可分解的一种图模型在代数与几何，以及复杂统计量的分解和参数估计都有着极大的作用.现有一弦图，为正方形，，过作的垂线交于点，线段上存在一点，使得，则.【答案】【分析】利用面积关系，结合向量共线，即可求解.【详解】连接，因为，所以，所以，所以，，故.故答案为：33．（2023下·天津·高一静海一中校联考期末）已知点是内部一点，并且满足的面积为，的面积为，则.【答案】【分析】利用，确定点O的位置，如图所示，结合三角形面积关系求解.【详解】因为，所以,所以取的中点,则,.，即为中线的中点,如图所示，则的面积为，的面积为，.所以.故答案为：34．（2023·高一课时练习）下列命题：①如果非零且模不相等的向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同；②中，必有；③若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若，均为非零向量，则．其中正确命题的题号为．【答案】①②【分析】设，则，根据的取值讨论，即可得出①；根据向量加法的法则，即可得出②；根据向量加法的法则，可判断③；得出④结论成立的条件，即可说明.【详解】对于①，由已知可得，（，且），则.当时，方向相反，此时的方向与的方向相同；当时，方向相反，此时的方向与的方向相同；当时，方向相同，此时的方向与的方向相同，与的方向也相同.综上所述，的方向必与，之一的方向相同，故①正确；对于②，根据向量加法的运算法则可知，②正确；对于③，因为，所以始终成立，不能得出③，故③错