2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第三章 第三讲　第二课时　导数与不等式恒(能)成立 学案

第二课时导数与不等式恒(能)成立

•互动探究

考点一分离参数法

例1(2022・石家庄模拟)已知函数fi,x)=axeχ-(a+l)(2χ-1).

(1)若α=l,求函数7U)的图象在点(0,次0))处的切线方程；

⑵当x>0时，函数兀r)20恒成立，求实数。的取值范围.

数学求∕'(X),数学二姓数学运算由/(I)N数学

⅛f(0)，旭)⅛≡≡rl0得a〉0⅛

_八川万程-------

分离参数构I数学2,∏¾;逻辑I求α的取

卫遇E辘负‘≡[≡≡-

［解析］(1)若α=l,则兀0=》8—2(2k一1).

即f'(x)=xev÷ev-4,

则/'(0)=-3,贝0)=2,

所以所求切线方程为3x+y~2=0.

(2)由70)20,得。2士〉0,

∩2x—1

则/(x)20对任意的x>0恒成立可转化为F72一k对任意的x>0恒成立.

ClI1XC

【卡壳点】不能把看看作整体，分离出来

a+1

_,2x—1.(2x+l)(x—1)

设,n函数lkRX)=Wr(龙〉0),则rιl/(X)=--⅛

【易错点】导数运算

当OVKl时，F'(X)>0；当尤>1时，F'(X)<0,

7

所以函数∕(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以F(X)max=

HD=;.

【卡壳点】不能确定F(%)max=F(I)

于是备注解得心占.

故实数α的取值范围是占，+8).

名帏A披MINGSHIDIANBO

分离参数法解决恒成立问题的策略

(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)αWXX)恒成立台αx)max;

aWy(X)恒成立3a≤∕(x)mi∏.

〔变式训练1〕

已知函数yu)=上普.

(1)若函数/U)在区间，，上存在极值，求正实数α的取值范围；

⑵如果当x21时，不等式兀X)—备，。恒成立，求实数攵的取值范围.

1—1—InYInγ

［解析］(1)函数的定义域为(O,+∞),f'(X)=一h-=—学，

令/'(x)=0,得X=L

当x∈(θ,D时,f'(x)>o,yu)单调递增；

当x∈(l,+∞)⅛,f(x)<0,加)单调递减.

所以X=I为函数«r)的极大值点，且是唯一极值点，所以0<a<l<a+；,

故T<α<l,即实数α的取值范围为&11

⑵原不等式可化为当时，ZWa+Df+lnx)恒成立,令g(x)=

α+D(∣+m%2i),

[1÷lnx÷1+ɪlv-(x+1)(1÷lnx)

X-InX

则g'-----------------，----------------------

再令4(x)=χ-lnX(X21),则/?'(X)=I—所以∕ι(x)2%(l)=1,所以

g'。)>0，

所以g(x)为增函数，所以g(x)Ng(l)=2,故4≤2,即实数Z的取值范围是(一

8,2］.

考点二分类讨论法

例2(2023•绵阳市诊断性考试)已知函数«x)=(2m+2)χ-4In%—^πu2(∕∕2∈R).

(1)若函数g(x)=∕*)+gwu2有两个零点，求机的取值范围；

(2)若兀r)20,求机的取值范围.

［解析］⑴由g(x)="x)+%iχ2=(2∕τz+2)χ-41nx,x>0,

徂，，、c4(2∕Π+2)A-4(w+l)χ-2

(x)-(2m+2)--------2X---------------•

,一I(加+1)%一2

①当m≤-l时，g'(%)=2×--------------<0,

此时g(x)在(0,+8)上单调递减，

g(x)在(0,+8)上不可能有两个零点，

故"zW—l不符合题意.

②当加>—1时，g(x)在区间(0,高ɔ上单调递减，在区间舄了，+8)上

单调递增.

要使得函数g。)在(0,+8)上有两个零点，

rll(2)2八，曰2-e

则gKd=4—4In后γ<0'侍一1<"K-Γ∙∙

综上，实数加的取值范围是(-1,冶.

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(2)∕z(x)=(2m+2)---mx

("优一2)(九一2)

=―------------------,x>0.

X

①当0<机<1时，函数TW在(2,金上单调递增，

在(0,2)和(高，+8)上单调递减.

所以当x>4+2>短时，∕U)=Λ(2机+2—5UI-4InX勺(4+3<0,

IIIIlv\∖III，

所以yu)eo不恒成立,

即0<m<1不符合题意.

②当加=1时，，(x)W0(仅在x=2时取等号)，√U)在(0,+8)上单调递减，

火x)20不恒成立，即〃2=1不符合题意.

③当21时，函数段)在&2)上单调递增，在(0,和(2,+8)上单调递

减，

所以当x>4+—>2时，危)=《2机+2—4InXd4+∖)<0,

所以√U)20不恒成立，

即加>1不符合题意.

④当"zWO时，函数/U)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

.*x)20恒成立的充要条件是7(2)20,

解得mN2In2-2,

所以21n2—2W"zW0.

综上，实数为的取值范围是［21n2—2,0］.

名帏点帔MINGSHIDIANBO

对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分

类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.

〔变式训I练2〕

(2020・新高考全国I卷)已知函数<x)=αe*i—lnx+lnα.

(1)当α=e时，求曲线y=«r)在点(1,./U))处的切线与两坐标轴围成的三角

形的面积；

(2)若人》)21,求α的取值范围.

［解析］(1)当α=e时，,*x)=ex-∙lnx+l,

f'(x)=ev-p∕,(l)=e-l,χi)=e+l,曲线y=∕(x)在点(1,.穴1))处的切线

方程为y—(e+l)=(e-l)(χ-1).

即y=(e—I)X+2.

直线y=(e—l)x+2在X轴、y轴上的截距分别为了告，2.

因此所求三角形的面积为一2.

e—1

(2)当O<a<l时，Λl)=α+lnα<l.

当a=∖时，yU)=eL∣-lnx,f'(x)=eλl-ɪ

ʌ

当x∈(O,D时,f'(X)<O;

当Λ∈(l,+∞)0t,f'(X)>0.

所以当χ=ι时，/U)取得最小值，最小值为y∏)=ι,从而.*x)2i.

l1

当”>l时，>∕(x)=tze'-ln%+lnα≥e'—Inx≥l.

综上，α的取值范围是［1,+∞).

考点三不等式能成立问题

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例3已知函数«x)=(x—l)e*"+g2,当0<∕%W6时，g(x)=xi-~-mx,x∈

(0,2］,若存在x∣∈R,X2∈(0,2］,使<XI)Wga2)成立，求实数机的取值范围.

［解析］x∈(-8,+8)且/(%)=ev+l÷(χ-l)∙ev+1+2mx=x(ex^'+2m),

当〃?〉0时，因为FHX),

所以ev'1+2m>0,

所以当x>0时，/(X)>0；

当x<0时，f'(x)<0.

故y(X)在区间(一8,0)上单调递减，

在区间(0,+8)上单调递增，

所以/(x)min=/(0)=-C.

又g'(X)=3X2÷^2-w≥4√3-m,

因为0<m≤6,所以g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2］上为增函数.

所以g(x)maχ=g(2)=8—2—2m=6—2m.

依题思有/(Xl)minWg(∙X2)max,

6

所以6—2〃z，一e,所以0<〃z<3+/,

故机的取值范围为(0,3+f.

名帏A披MINGSHIDIANBO

1.存在型不等式成立主要是转化为最值问题

如存在XI,Λ2∈[∏,切使√(xi)Wg(X2)成立兮∕U)minWg(x)max,转化为最值问题

求解.

2.如果一个问题的求解中既有“存在性”又有“恒成立”，那么需要对问

题做等价转化，这里一定要注意转化的等价性、巧妙性，防止在转化中出错而使

问题的