2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区八年级（下）期中数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年浙江省宁波市郸州区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个生活安全警示图标，其中是中心对称图形的是（）

AG）BA念

2.下列计算正确的是（）

A.+=√^5B.2∖Γ3-√3=2C.=D.

>∏L2÷√3=4

3.用反证法证明，“在△/!BC中，N4、NB对边是a、b.若乙1<NB,则a<b."第一步应假

设（）

A.,a>bB.a=ðC.a≤bD.a≥b

4.一组数据2,2,2,3,5,8,13,若加入一个数a,一定不会发生变化的统计量是（）

A.方差B.平均数C.中位数D.众数

5.若关于X的一元二次方程/一2%-卜=0没有实数根，则k的取值范围是（）

A.k>—1B./c≥-1C.Zc<-1D.k≤—1

6.某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元,已知两次降价的百分率都是4,则久满

足的方程是（）

A.64（1-2x）=100B.100（1-x）2=64

C.64（1-X）2=100D.100（1-2%）=64

7.如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2,即BC：AC=I:2,若坡面4B长度10米，

则坡面AB的水平宽度AC长为（）

A.2√^^5B.5C.5y∏D.4√^^5

8.如图，菱形48C。的顶点4B分别在y轴正半轴，X轴正半轴

上，点C的横坐标为10,点。的纵坐标为8,若直线AC平行X轴，

则菱形ABCD的边长值为（）

A.9B.√-41C.6D.3

9.从一块腰长为IOCm的等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为24cr∏2的矩形铁皮，要

求矩形的四个顶点都在三角形的边上.若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种不同的裁法?

()

A.1B.2C.3D.4

10.如图，点E是矩形ZBCD内一点，连结AE,DE,AC,EC,

BE,知道下列哪个选项的值就能要求AAEC的面积（）

A.AABE与ABEC面积之差

B.AADE与ABEC面积之差

C.△DEC与△BEC面积之差

D.△4CC与ADEC面积之差

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.化简：√22×3=

12.已知一组数据是-1,0,-1,2,则这组数据的方差是.

13.若m是方程3/一%一2=0的一个解，则6巾2—2m的值为

14.如图，在四边形ZBCD中，乙4+NC=136。，点E在边4。上,

连结BE,若ND与"BC互补，则"B4的值为.

15.如图，用长为α米的铝合金制成如图窗框，已知矩形AGHD,

矩形BFEG,矩形EFCH的面积均相等，设AD的长为b米，则4B的

长是米.（用含α,b的代数式表示

）

16.如图，在凸四边形ABeD中,4B=4,AD

NBHO=45。，连结4C,取4C中点E,连结BE,

值是.

三、解答题(本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题6.0分)

计算：

(l)2√^-(√^8+∫i);

(2)解方程：

(x+3)2-4=0

18.(本小题6.0分)

图1是由边长为1的正方形构成的6X5的网格图，线段AB的端点都在格点上.

(1)在图1中画出一个以AB为一边，面积为12的矩形ABCD,并直接写出矩形力BCD对角线的长

为;

(2)命题“一组对边相等且有一个内角是直角的四边形是矩形”是真命题还是假命题？如果

是假命题，请在图2中画一个顶点都是格点的凸四边形说明；若是真命题，请进行证明.

19.(本小题6.0分)

某公司需招聘一名员工，对应聘者4、B、C从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核,力、8、

C各项得分如表：

笔试面试体能

A827991

B848076

C819072

(1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；

(2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%,30%,

10%的比例计入总分，总分最高者将被录用.根据规定，请你说明谁将被录用.

20.(本小题8.0分)

商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当

的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降

价X元.据此规律，请回答:

(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元(用含X的代数式表示)；

(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

21.(本小题8.0分)

如图，在矩形4BCD中，点E,F分别在/W,BC上，且AE=CF.

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

(2)若ZB=2,4)=4,四边形BFDE是菱形，求AE长.

22.(本小题8.0分)

我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知X可

取任何实数，试求二次三项式/+2x+3的最小值.

解：X2+2%+3=%2+2x+1+2=(x+I)2+2；

•••无论比取何实数，都有(X+1)2≥0,

.∙.(x+I/+2≥2,即/+2x+3的最小值为2.

【尝试应用】（1）请直接写出2χ2+4χ+10的最小值

【拓展应用】（2）试说明：无论X取何实数，二次根式√χ2+%+2都有意义;

【创新应用】（3）如图，在四边形4BCD中，AC1BD,若AC+8。=10,求四边形ABCC的

面积最大值.

23.（本小题10.0分）

如图，在边长为4的正方形TlBCD中，点E在边4D上，DE=1,连结BE,点P,点尸分别是线

段BE,边Co上的动点.

（1）如图1,连结AP,PF,若A,P,尸三点共线，且AF=BE.

①求证：BEIAFi

②求PF的长；

（2）如图2,若CF=I,NEPF=45。，则PF的长为；

（3）问题：“如图3,若CF=I,直线PF刚好平分正方形ABC。的面积，求PF的长.”在解决这

一问题时，小红想先找到对应的点P,然后再求PF的长.经过不断的思考探索后，小红尝试以

B为原点，建立坐标系来解决这一问题.

请你帮助小红用无刻度的直尺在图3中找到点P,并直接写出PF的长为.

（图D（图2）（图3）

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4是中心对称图形，故本选项符合题意；

8.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转

后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.【答案】C

【解析】解：√^2+C不能合并，故选项4不符合题意；

2√-3-vr3=√3>故选项B错误，不符合题意；

√^×√3=<6,故选项C正确，符合题意；

√12÷Λ∕~3=λ∕~4=2,故选项。错误，不符合题意；

故选：C.

计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意.

本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：根据反证法的步骤，得

第一步应假设a<b不成立，即α≥b.

故选：D.

熟记反证法的步骤，直接选择即可.

本题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假

设不成立，则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有

一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

4.【答案】D

【解析】解：4、原来数据的方差加入一个数α后的方差一定发生了变化，不符合题意；

B、原来数据的平均数是2+2+2+受5+8+13=加入一个数ɑ,平均数一定变化，不符合题意；

C、原来数据的中位数是3,加入一个数α后，如果αR3中位数一定变化，不符合题意；

。、原来数据的众数是2,加入一个数α后众数仍为2,符合题意；

故选：D.

依据平均数、中位数、众数、方差的定义即可得到结论.

本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：••・关于X的一元二次方程/-2x-k=O没有实数根，

∙-∙Δ<O,即(一2)2—4×1×(—k)<O>

解得Zc<-1,

∙∙∙k的取值范围是k<—L

故选：C.

由关于久的一元二次方程/—2x—k=O没有实数根，根据△的意义得到△<0,即(—2)2-4XlX

(-k)<0,然后解不等式即可得到k的取值范围.

本题考查了一元二次方ɑ/+bχ+c=o(ɑ≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当4>0,方程有两个

不相等的实数根；当△=()，方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

6.【答案】B

【解析】解：根据题意，得IOo(I—X)2=64,

故选：B.

根据某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元，列一元二次方程即可.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：••・坡面4B的坡度为1：2,

.∙.翌=[,即4C=2BC,

AC2

由勾股定理得，AC2+BC2=AB2,

则4C2+04C)2=IO2,

解得AC=4√-5,

故斜坡的水平宽度AC的长为44亏米.

故选：D.

根据坡度的概念得到AC=2BC,根据勾股定理计算即可.

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度/1和水平宽

度，的比是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：连接AC,BD交于M,

•••四边形4BC。是菱形，

11

.∙.AC1BD,AM=^AC,BM=WBD,

力C平行％轴，AO1OB,

ʌBD1OB,

・••点C的横坐标为10,点。的纵坐标为8,

AC=10,BD=8,

.-.AM=^×10=5,BM=TX8=4,

.∙.AB=√AM2+BM2y/52+42=√^^41∙

.∙.菱形ABCC的边长值为d.

故选：B.

由菱形的性质得到AC∙LBD,AM=^AC,BM=；BD,由点C的横坐标为10,点。的纵坐标为8,

得到4M=5,BM=4,由勾股定理即可求出AB的长.

本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是掌握菱形的性质，勾股定理.

9.【答案】C

o

【解析】解：Rt△ABC中，4C=90,AC=BC=IOcmf则44=乙B=45°,

如图1,矩形DEFG的边EF在AB上，顶点。、G分别在4C、BC上,

V乙DEF=Z-GFE=90°,

图1

・・・∆AED=Z-BFG=180°-90°=90°,

o

・•・∆ADE=∆BGF=45=Z.A9

：•AE=DE,

在^ADE^ΔBGFγ∖x,

乙4=乙B

∆ADE=(BGF,

DE=GF

•・・△ADE三ABGF(44S),

・・・AE=BF,

设。E=AE=BF=Xcm,

2222

••・矩形。EFG的面积是24CT∏2,AB=√AC+BC=√IO+IO=10<2(cm),

.∙.x(10√^2-2x)=24,

r

解得Xi=2√^∑,X2=3√^^2，

ʌ10√^-2x=10√7-2×2，7=6，7或10，7-2x=IOu-2×3y∏=4√^Σ,

：.DE=2y∣~2cm<EF=6λ∕^^cm或DE=3λ∕~2cτn>EF=^yj~2cm>ʌF

如图2,矩形DEFC的边CD在AC上，CF在BC上，顶点E在48上，D//\

•••DE∕∕BC,AEB

图2

.∙.Z.DEA=乙B=45o=∆A,

ʌAD=ED,

设AD=ED=ycm,则y(10-y)=24,

解得力=4,y2=6,

・•・10—y=6或10—y=4,

.∙.DE=4cm,DC=6cm或DE=6cm,DE=4cm,这两个矩形全等,

・・.有3种不同的裁法，

故选：C.

RtABC^,Z.C=90o,AC=BC=10cm,分两种情况，一是矩形DEFG的边EF在4B上，顶点。、

G分另IJ在/C、BC上,可证明44DE三△BGF,^AE=BF91^DE=AE=BF=xcm1则X(IO。一

2x)=24,可求得DE=2yΓ2cm,EF=6√"7c∕n或DE=3√r"∑cm,EF=4√^2cm;二是矩形DEFC

的边CD在4C上，CF在BC上，顶点E在AB上，设4。=ED=ycm,贝IJy(Io—y)=24,可求得DE=

4cm,DC=6cm或DE=6cm,DE=4cm,这两个矩形全等，所以有3种不同的裁法，于是得到

问题的答案.

此题重点考查等腰直角三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元

二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大.

io.【答案】c

【解析】解：过E作EMIAB于M,延长ME交C。于N,

••・四边形ABCD是矩形，

AB//DC,AB=DC,

.∙.EN1DC,

∙.∙ΔE4B的面积=^AB-EM,ΔECn的面积=IDC∙EN,

11.1

.∙∙ΔE4B的面积+ΔECD的面积=^AB∙(EM+EN)=^AB-MN=矩形ABCD的面积X苏

∙∙∙Δ4BC的面积=矩形4BCD的面积X1,

∙∙∙∆E4B的面积+∆ECD的面积=AABC的面积，

∙.∙∆AEC的面积=△ABC的面积一ΔABE的面积一ΔBEC的面积，

.∙∙ΔAEC的面积=△EyIB的面积+ΔECD的面积一△4BE的面积-△BEC的面积=△ECD的面积一△

BEC的面积.

故选：C.

过E作EM1AB于M,延长ME交CDTN,由四边形4BCD是矩形,得到AB〃DC,AB=DC,由4EAB

的面积=^AB-EM,∆ECD的面积=ToC∙EN,推出△EAB的面积+ΔECC的面积=△4BC的面积,

而AAEC的面积=△ABC的面积一△4BE的面积一△BEC的面积，于是即可得到答案.

本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式推出AEAB的面积+AECD的

面积=△4BC的面积.

11.【答案】2，年

【解析】解：√22X3=2y∏>.

故答案为：2/W

直接利用二次根式的性质化简得出答案.

此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键.

12.【答案】1.5

【解析】解：这组数据的平均数是：^(-1+0-1+2)=0,

这组数据的方差是：ɪ×[2×(-1-O)2+(2-O)2+(0-O)2]=1.5.

故答案为：1.5.

先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可.

本题考查方差的定义：一般地设Zl个数据，X1,&，∙∙∙％n的平均数为3则方差S?=；[(%—办2+

22

(x2-i)+∙∙∙+(xn-i)],它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成

立.

13.【答案】4

【解析】解：把X=m代入方程得：3r∏2一m-2=0,

整理得：3m2—m=2,

.∙.6m2—2m=2(3m2—m)=2×2=4.

故答案为：4

把X=m代入方程计算即可求出所求式子的值.

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

14.【答案】440

【解析】解：∙.∙4Z+NC=136°,

.∙.∆ABC+∆D=360°-136°=224°,

∙.∙NO与NEBe互补，

ΛL.D+乙EBC=180°,

.∙./.EBA=224°-180°=44°.

故答案为：44°.

根据已知条件得出NABC+ND=224。，再根据N。+4EBC=180。，即可得出ZEBA的度数.

此题考查了多边形内角与外角，掌握四边形的内角和是360。是解题的关键.

15.【答案】卫芳

【解析】解：设AG=%,

•••矩形矩形BFEG,矩形EFCH的面积均相等，AD=b,

11

・・・GE=EH=^AD

・•・bx=BG∙gb,

.∙.BG=2%,

VAG+BG+EF+CH+DH+4D+CH+BC=a,

ʌx÷2x÷2x+2x+x+h÷h+h=α,

a-3b

ʌX=^~8~,

.∙.AB=AG+BG=3x=空殁.

O

故答案为：姆萨.

设AG=X,根据矩形AGHD,矩形BFEG,矩形EFCH的面积均相等，得出BG=2x,再根据窗户

框的总长为α米，得出％=上段，从而表示出AB的长.

O

本题考查了列代数式，关键是根据矩形面积公式表示出BG的长.

16.【答案】√^^ιo-ι

【解析】解：作DHIAB于”，取AD中点M,连接EM,BM,BD,

∙∙∙E是"中点，

.∙.ME是△?!CD的中位线，

.∙.ME=^DC=1,

V4BAD=45°,

・•・△4DH是等腰直角三角形,

.∙.AH=DH=2AD=2.

VAB—4,

BH=AB-AH=2,

:,DH垂直平分AB,

.∙.DA=DB=2√^2.

.∙.∆ABD=∆DAB=45°,

.∙.∆ADB=90°,

VDM=^AD=>Γ2,

.∙.MB=√DM2+BD2=√"IU,

∙∙∙BE≥MB-ME=y∕~10-1,

・•.BE的最小值是一诃一1.

故答案为：√^10-1.

作。HlAB于"，取4D中点M,连接EM,BM,BD,得到ME是△ACD的中位线，求出ME=1,

由等腰直角三角形的性质求出/H,DH的长，得到DH垂直平分AB,因此ZM=CB=21∑,推出

乙408=90。，由勾股定理求出MB的长，由BE≥MB-ME,即可求出BE的最小值.

本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，

关键是由三角形中位线定理求出ME的长，由勾股定理求出MB的长，由BE≥MB-ME即可解决

问题.

17.【答案】解：(1)2/1—(C+ʃɪ)

=2/7-2√"Σ-殍

(2)(x+3)2-4=0,

(x+3)2=4,

X÷3=±2,

X+3=2或％+3=—2,

X=—1或X=—5.

【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答;

(2)利用平方根的意义进行计算，即可解答.

本题考查了二次根式的混合运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键.

18.【答案】5

【解析】解：(1)如图1■中，四边形ABCD即为所求，对角线AC=Bn=√32+42=5.

故答案为：5.

(2)是假命题，如图44=90。，AB=CD=5,四边形ABCD表示矩形.

(RRl)(图2)

(1)作一个长为4,宽为3的矩形即可；

(2)是假命题，画图说明即可.

本题考查作图-应用与设计作图，命题与定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

19.【答案】解：(1)4、B、C三人的平均分分别是，

82+79+93.84+80+76CC81+90+72Cl

-----3-----=8o4,------ɜ-----=80,------------=81,

所以三人的平均分从高到低是：A、C、B；

(2)因为A的面试分不合格，所以甲首先被淘汰.

B的加权平均分是：84X60%+80×30%+76×10%=82；

C的加权平均分是：81X60%+90×30%+72×10%=82.8；

因为丙的加权平均分最高，因此，C将被录用.

【解析】(1)利用平均数的公式即可直接求解，即可判断；

(2)利用加权平均数公式求解，即可判断.

此题考查的是加权平均数的求法，理解平均数公式是关键.

20.【答案】解：(l)2xi(50-x)

(2)解：设每件商品降价X元，则

由题意得：(50-x)(30+2x)=2100(0≤x<50),

化简得：x2-35x+300=0,

即(％—15)(x-20)=0,

解得：

X1=15,X2=20,

「该商场为了尽快减少库存，

；•降的越多，越吸引顾客，

二选X=20,

答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.

【解析】(1)解：降价1元，可多售出2件，降价X元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利-降

低的钱数；

(2)等量关系为：每件商品的盈利X可卖出商品的件数=2100,把相关数值代入计算得到合适的解

即可.

本题考查列代数式和一元二次方程的应用，得到总盈利2100元的等量关系是解决本题的关键.

21.【答案】⑴证明•；四边形4BCD是矩形,

.∙.AD/∕BC,AD=BC,

•：AE=CF,

.∙.AD-AE=BC-CF,

.・.DE=BFf

二四边形BFDE是平行四边形；

(2)解：设4E=x(x>0),

••・四边形ABCD是矩形，

.∙./.BAD=90°.

•••四边形ABCD菱形，

∙∙.DE=BE>

.∙.BE=DE-AD-AE=4—X,

222

VBE=AB+AE9

ʌ(4—%)2=22+%2,

∙,∙X—1.5,

--AE=1.5.

【解析】(1)由矩形的性质得到4D〃BC,AD=BC,而AE=CF,因此4。-AE=BC-CF,得

到DE=BF,即可证明四边形BFDE是平行四边形；

(2)设4E=X(X>0),由菱形的性质，勾股定理得到(4—x)2=22+X2,求出X的值即可得到4E的

长.

本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，关键是掌握平行四边形的判

定，菱形的性质；应用勾股定理列出关于AE的方程.

22.【答案】8

【解析】解：(l)2x2+4x+10=2(x2+2x)+10

=2(x2+2x+1—1)+10

=2(x+l)2+8,

•••无论X取何实数，都有2(X+1)2≥0,

.∙.(x+I)2+8≥8,即/+2x+3的最小值为8；

故答案为：8；

17

(2)x2+%÷2=(x÷-)2+-,

V(x+ɪ)2≥0,

ʌ%2÷%÷2>0,

・•.无论%取何实数，二次根式J/+%+2都有意义;

(3)-ACIBDf

四边形ABC。的面积=AC-BD,

VAC+BD=10,

.∙.BD=10-AC,

四边形ABCC的面积=i∙ΛC∙(10-AC)

=-∣ΛC2+5AC

=T(AC-5)2+学

∙.∙-∣(½C-5)2≤0,

•••当"=5,四边形ABCD的面积最大，最大值为卷

(1)利用配方法把2/+4x+10变形为2(X+I)2+8,然后根据非负数的性质可确定代数式的最小

值；

(2)利用配方法得到χ2+χ+2=(x+}2+,则可判断/+%+2>o,然后根据二次根式有意

义的条件可判断无论X取何实数，二次根式1χ2+χ+2都有意义;

(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=