四川省眉山市2023届高三数学一轮讲义11函数图像的变换

Page26函数图像：知识梳理一函数图像的作法（一）熟悉十二个基本函数的图像和性质：正比例、反比例、一次、二次、正弦、余弦、正切、指数、对数、幂函数、“勾勾”函数、分子分母为一次的函数例1.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设f（x）=min{x+2,10-x}(x0),则f（x）的最大值为()4567例2．对任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，x2－4x＋3中的最大的一个，则f(x)的最小值是（）．A．2 B．3 C．8 D．－1（二）利用描点法作函数的图象1.步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.高考常考题型：已知函数表达式选图像意识：已知函数表达式选图像的选择题的选法：先由函数性质初选；再由描点法精选注意：（1）函数性质指的是：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性六大性质；（2）描点法指的是：描特殊点，区间端点（或估算端点的函数值确定函数图像的走势）。例1.【2018全国二卷3】函数的图像大致为例2.【2018全国三卷7】函数的图像大致为例3.【2018浙江卷5】函数y=sin2x的图象可能是A． B． C． D．例4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为A．B．C．D．例5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的图像大致为A．B．C．D．例6．(2016·全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]上的图象大致为()例7．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1－2x，则y＝f(x)的图象大致为()例8.(2015·浙江)函数的图象可能为()例9.已知函数，则y＝f(x)的图象大致为 ()例10.函数f(x)＝2x－tanx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上的图象大致为()例11.函数的图像大致为例12.(2013·四川)函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图象大致是 ()例13．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（）A．B．C．D．例14．【2022年全国甲卷】函数在区间的图象大致为（

）A．B．C． D．例15．【22年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．例16.如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C、D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤eq\r(2))将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图象大致是()．例17.如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图象大致为()．例18.(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()（三）.五点作图法：针对函数（四）.利用图象变换法作函数的图象1.平移变换左右平移原则：左加右减函数函数；函数函数；上下平移原则：上加下减函数函数；函数函数；理解和注意：(1)左右平移时：只认，即：“”用“平移单位”替换；(2)上下平移时：是函数整个解析式后面加或减平移单位；若是的变换，则是上减下加，即“”用“平移单位”替换；比如：圆：向上平移2个单位的圆的方程为：。例1：1.把函数的图像向右平移个单位所得函数的表达式为；2.将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位得函数，则函数；3．把函数y=2x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式是______________.4.(2013·北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于()A．ex＋1 B．ex－1C．e－x＋1 D．e－x－15．已知函数f(x)＝e|lnx|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为()例2.1.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 （） A．向左平移个单位B．向右平移个单位C.向左平移个单位D．向右平移个单位2.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位2.对称变换一个函数的对称轴问题：函数有对称轴函数满足：函数满足：函数满足：函数满足：函数有对称轴（特点求出即得，联想到函数的对称轴的求法）注意：①函数满足：与的区别；②函数的对称轴的值的特点：等式两边自变量相加除以即得函数对称轴的值即：一般地，函数满足：，则函数有对称轴；例.若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2两个函数关于线对称问题；题型1：函数与关于直线对称，已知求；变式1：直线改为又如何？变式2：直线改为又如何？例：1.函数关于直线对称的函数表达式为；2.函数关于直线对称的函数表达式为；3.函数关于直线对称的函数表达式为；题型2：函数与关于直线对称，已知和求对称轴；特点：两函数自变量相等求出即得。即：一般地，函数与函数关于直线对称。例.1.设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图象关于（）A．直线y=0对称 B．直线x=0对称C．直线y=1对称 D．直线x=1对称2．与函数y=|x+3|的图象关于直线x=－1对称的函数图象所对应的函数解析式是3．已知函数则y＝f(2－x)的大致图象是()一个函数的对称中心问题：函数有对称中心函数满足：函数满足：函数满足：函数满足：。注意：①函数满足：与的区别；②函数的对称中心坐标的特点：自变量相加除以即得函数对称中心横坐标的值，常数的一为对称中心的纵坐标两个函数关于点对称问题：函数与关于点对称，已知求；例1.1.已知：函数与关于点对称，且函数与的图像有三个不同的交点，则函数的图像必过点；2.若函数的图像与的图像关于点对称，则（） A．B．C． D．两函数关于特殊线和点的对称问题：①函数与关于轴对称，则；②函数与关于轴对称，则；③函数与关于原点对称，则；④函数与关于直线对称，已知求；求法：“反解”代入例1．若lga＋lgb＝0(其中a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象()A．关于直线y＝x对称 B．关于x轴对称C．关于y轴对称 D．关于原点对称例2.(2015·课标全国Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a等于()A．－1 B．1C．2 D．4例3．函数y＝5x与函数y＝－eq\f(1,5x)的图象关于 ()A．x轴对称 B．y轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称例4.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()例5.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()3.伸缩变换横坐标的拉伸与压缩原则：用“”替换函数函数；函数函数；纵坐标的拉伸与压缩原则：函数的表达式前乘以“倍数”函数函数；函数函数；例.1.把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标也扩大到原来的3倍，所得图象的函数解析式是；2．将函数y=2x+1的图象向右平移个单位，再将每一点的横坐标变为原来的倍，得y=x图象.3.把函数的图象上各点的纵坐标不动横坐标扩大到原来的3倍，所得图象的函数解析式是；4.翻折变换已知函数的图像，作出函数的图像；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up11(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\do4(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象.已知函数的图像，作出函数的图像；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up11(x轴下方部分翻折到上方),\s\do4(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；作绝对值函数的图像的通法：去绝对值符号转化为分段函数求解（多个绝对值问题用零点分段）。例．1.已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)2.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，－1≤x≤0,\r(x)，0<x≤1))，则下列函数的图象错误的是 ()二函数图像的综合应用以图像为载体着重考查函数的性质等有关知识是高考重点，利用数形结合的数学思想方法以及函数图像研究函数性质、方程的根、不等式的解等问题。例1.使成立的的取值范围是。例2．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，求a的取值范围．例3.(2015·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}例4．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为__________________________．例5.若函数的图象如图所示，则m的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1,2)C．(0,2) D．(1,2)例6.已知函数y＝eq\f(|x2－1|,x－1)的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．例7.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有 ()A．10个 B．9个C．8个 D．1个例8．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0，,0，x＝0，,－\f(1,x)，x<0，))则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点个数是()A．5 B．7C．8 D．10例9.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当－1<x≤1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有5个零点，则a的取值范围是 ()A．(1,5) B．(0，eq\f(1,5))∪[5，＋∞)C．(0，eq\f(1,5)]∪[5，＋∞) D．[eq\f(1,5)，1]∪(1,5]例10．（12年全国卷12）函数y＝eq\f(1,1－x)的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．2B．4C．6D．8函数图像：知识梳理一函数图像的作法（一）熟悉十二个基本函数的图像和性质：正比例、反比例、一次、二次、正弦、余弦、正切、指数、对数、幂函数、“勾勾”函数、分子分母为一次的函数例1.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设f（x）=min{x+2,10-x}(x0),则f（x）的最大值为()4567例2．对任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，x2－4x＋3中的最大的一个，则f(x)的最小值是（）．A．2 B．3 C．8 D．－1答案：A解析：画出函数y＝－x＋3，y＝eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)，y＝x2－4x＋3在同一坐标系中的图象，则函数f(x)的图象为图中实线部分(如图)．当x＝1时，f(x)取最小值2.（二）利用描点法作函数的图象1.步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.高考常考题型：已知函数表达式选图像意识：已知函数表达式选图像的选择题的选法：先由函数性质初选；再由描点法精选注意：（1）函数性质指的是：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性六大性质；（2）描点法指的是：描特殊点，区间端点（或估算端点的函数值确定函数图像的走势）。例1.【2018全国二卷3】函数的图像大致为例2.【2018全国三卷7】函数的图像大致为例3.【2018浙江卷5】函数y=sin2x的图象可能是A． B． C． D．例4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为A．B．C．D．答案：D解析：由，得是奇函数，其图象关于点对称．又，可知应为D选项中的图象．例5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的图像大致为A．B．C．D．答案：B解析：设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．例6．(2016·全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]上的图象大致为()答案D解析f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；在x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))时，f′(x)<eq\f(1,4)×4－e0＝0，因此f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))上单调递减，排除C，故选D.例7．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1－2x，则y＝f(x)的图象大致为()答案A解析f(x)＝x2＋2x＋1－2x＝(x＋1)2－2x，令g(x)＝(x＋1)2，h(x)＝2x，则f(x)＝g(x)－h(x)，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g(x)与h(x)的图象共有三个交点，其横坐标从小到大依次设为x1，x2，x3，在区间(－∞，x1)上有g(x)>h(x)，即f(x)>0；在区间(x1，x2)上有g(x)<h(x)，即f(x)<0；在区间(x2，x3)上有g(x)>h(x)，即f(x)>0；在区间(x3，＋∞)上有g(x)<h(x)，即f(x)<0.故选A.例8.(2015·浙江)函数的图象可能为()答案D解析∵f(x)＝(x－eq\f(1,x))cosx(－π≤x≤π且x≠0)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x＝π时，f(x)＜0，排除C.故选D.例9.已知函数，则y＝f(x)的图象大致为 ()例10.函数f(x)＝2x－tanx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上的图象大致为()答案：D解析：f(x)＝2x－tanx是奇函数，其图象关于原点成中心对称，又f(eq\f(π,4))＝eq\f(π,2)－taneq\f(π,4)＝eq\f(π,2)－1>0，故选D.例11.函数的图像大致为例12.(2013·四川)函数y＝eq\f(x3,3x－1)的图象大致是 ()例13．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（）A．B．C．D．答案：D解析：因为函数，，所以函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，故排除A、B选项；又因为所以，而选项C在时是递增的，故排除C.故选D.例14．【2022年全国甲卷】函数在区间的图象大致为（

）A．B．C． D．答案:A解析:令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.例15．【22年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．答案：A解析：设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.例16.如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C、D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤eq\r(2))将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图象大致是()．答案C解析当直线l从原点平移到点B时，面积增加得越来越快；当直线l从点B平移到点C时，面积增加得越来越慢．故选C.例17.如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图象大致为()．答案A解析(1)当0<x<eq\f(1,2)时，过E点的截面为五边形EFGHI(如图1所示)，连接FI，由SC与该截面垂直知，SC⊥EF，SC⊥EI，∴EF＝EI＝SEtan60°＝eq\r(3)x，SI＝2SE＝2x，IH＝FG＝BI＝1－2x，FI＝GH＝eq\r(2)AH＝2eq\r(2)x，∴五边形EFGHI的面积S＝FG×GH＋eq\f(1,2)FI×eq\r(EF2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)FI))2)＝2eq\r(2)x－3eq\r(2)x2，∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝eq\f(1,3)(2eq\r(2)x－3eq\r(2)x2)×CE＋2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×(1－2x)×eq\f(\r(2),2)(1－2x)＝eq\r(2)x3－eq\r(2)x2＋eq\f(\r(2),6)，其图象不可能是一条线段，故排除C，D.(2)当eq\f(1,2)≤x<1时，过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG，则EG＝EF＝ECtan60°＝eq\r(3)(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱锥E－FGC底面FGC上的高h＝ECsin45°＝eq\f(\r(2),2)(1－x)，∴V(x)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CG·CF·h＝eq\f(\r(2),3)(1－x)3，∴V′(x)＝－eq\r(2)(1－x)2，又显然V′(x)＝－eq\r(2)(1－x)2在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递增，V′(x)<0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))))，∴函数V(x)＝eq\f(\r(2),3)(1－x)3在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B，应选A.例18.(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()答案：B.解析：当点P沿着边BC运动，即0≤x≤eq\f(π,4)时，在Rt△POB中，PB＝OBtan∠POB＝tanx，在Rt△PAB中，PA＝eq\r(AB2＋PB2)＝eq\r(4＋tan2x)，则f(x)＝PA＋PB＝eq\r(4＋tan2x)＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x＝eq\f(π,4)时，由上得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\r(4＋tan2\f(π,4))＋taneq\f(π,4)＝eq\r(5)＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝eq\f(π,2)时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝PA＋PB＝eq\r(2)＋eq\r(2)＝2eq\r(2)，知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，所以排除D.故选B.（三）.五点作图法：针对函数（四）.利用图象变换法作函数的图象1.平移变换左右平移原则：左加右减函数函数；函数函数；上下平移原则：上加下减函数函数；函数函数；理解和注意：（1）左右平移时：只认，即：“”用“平移单位”替换；（2）上下平移时：是函数整个解析式后面加或减平移单位；若是的变换，则是上减下加，即“”用“平移单位”替换；比如：圆：向上平移2个单位的圆的方程为：。例1：1.把函数的图像向右平移个单位所得函数的表达式为；2.将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位得函数，则函数；提示：逆向思维4．把函数y=2x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式是______________.(2013·北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于()A．ex＋1 B．ex－1C．e－x＋1 D．e－x－1答案D解析与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6．已知函数f(x)＝e|lnx|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为()答案D解析当x≥1时，f(x)＝elnx＝x，其图象为一条直线；当0<x<1时，f(x)＝e－lnx＝eq\f(1,x).函数y＝f(x＋1)的图象为函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的．故选D.例2.1.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 （） A．向左平移个单位B．向右平移个单位C.向左平移个单位D．向右平移个单位提示：波峰波谷法：2.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位提示：波峰波谷法：2.对称变换一个函数的对称轴问题：函数有对称轴函数满足：函数满足：函数满足：函数满足：函数有对称轴（特点求出即得，联想到函数的对称轴的求法）注意：①函数满足：与的区别；②函数的对称轴的值的特点：等式两边自变量相加除以即得函数对称轴的值即：一般地，函数满足：，则函数有对称轴；例1.若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2答案：A解析：因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.两个函数关于线对称问题；题型1：函数与关于直线对称，已知求；变式1：直线改为又如何？变式2：直线改为又如何？例：1.函数关于直线对称的函数表达式为；2.函数关于直线对称的函数表达式为；3.函数关于直线对称的函数表达式为；题型2：函数与关于直线对称，已知和求对称轴；特点：两函数自变量相等求出即得。即：一般地，函数与函数关于直线对称。例2.1.设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图象关于（） A．直线y=0对称 B．直线x=0对称C．直线y=1对称 D．直线x=1对称2．与函数y=|x+3|的图象关于直线x=－1对称的函数图象所对应的函数解析式是3．(2016·岳阳模拟)已知函数则y＝f(2－x)的大致图象是()答案A解析∵函数则故函数f(2－x)是以x＝1为界的分段函数，只有A符合，故选A.一个函数的对称中心问题：函数有对称中心函数满足：函数满足：函数满足：函数满足：。注意：①函数满足：与的区别；②函数的对称中心坐标的特点：自变量相加除以即得函数对称中心横坐标的值，常数的一为对称中心的纵坐标两个函数关于点对称问题：函数与关于点对称，已知求；例1.1.已知：函数与关于点对称，且函数与的图像有三个不同的交点，则函数的图像必过点；2.若函数的图像与的图像关于点对称，则（） A．B．C． D．两函数关于特殊线和点的对称问题：①函数与关于轴对称，则；②函数与关于轴对称，则；③函数与关于原点对称，则；④函数与关于直线对称，已知求；求法：“反解”代入例．1．若lga＋lgb＝0(其中a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象()A．关于直线y＝x对称 B．关于x轴对称C．关于y轴对称 D．关于原点对称答案C解析由lga＋lgb＝0可知lgab＝0，即ab＝1，所以f(x)＝ax，g(x)＝a－x.若点(x，y)在f(x)的图象上，则点(－x，y)在函数g(x)的图象上，即两函数图象关于y轴对称．2.(2015·课标全国Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a等于()A．－1 B．1C．2 D．4答案：C解析：设f(x)上任意一点为(x，y)，关于y＝－x的对称点为(－y，－x)，将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，解得a＝2.3．函数y＝5x与函数y＝－eq\f(1,5x)的图象关于 ()A．x轴对称 B．y轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称答案C解析y＝－eq\f(1,5x)＝－5－x，可将函数y＝5x中的x，y分别换成－x，－y得到，故两者图象关于原点对称．4.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案C解析由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．5.已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()答案：B解析：方法一由y＝f(x)的图象知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0≤x≤1，,11<x≤2.))当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10≤x<1，,2－x1≤x≤2，))故y＝－f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－10≤x<1，,x－21≤x≤2.))图象应为B.方法二当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B.3.伸缩变换横坐标的拉伸与压缩原则：用“”替换函数函数；函数函数；纵坐标的拉伸与压缩原则：函数的表达式前乘以“倍数”函数函数；函数函数；例.1.把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标也扩大到原来的3倍，所得图象的函数解析式是；2．将函数y=2x+1的图象向右平移个单位，再将每一点的横坐标变为原来的倍，得y=x图象.3.把函数的图象上各点的纵坐标不动横坐标扩大到原来的3倍，所得图象的函数解析式是；4.翻折变换已知函数的图像，作出函数的图像；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up11(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\do4(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象.已知函数的图像，作出函数的图像；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up11(x轴下方部分翻折到上方),\s\do4(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；作绝对值函数的图像的通法：去绝对值符号转化为分段函数求解（多个绝对值问题用零点分段）。例．1.已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案C解析y＝f(－|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－x，x≥0,fx，x<0)).2.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，－1≤x≤0,\r(x)，0<x≤1))，则下列函数的图象错误的是 ()答案：D二函数图像的综合应用以图像为载体着重考查函数的性质等有关知识是高考重点，利用数形结合的数学思想方法以及函数图像研究函数性质、方程的根、不等式的解等问题。例1.使成立的的取值范围是。例2．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，求a的取值范围．答案：(1,2]解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可．当0<a<1时，综合函数图象知显然不成立．当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2.∴a的取值范围是(1,2]例3.(2015·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}答案：C解析：令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图所示.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝log2x＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．例4．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为__________________________．答案{x|x≤0或1<x≤2}解析y＝f(x＋1)向右平移1个单位得到y＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x＝1，过定点(2,0)，且函数在(－∞，1)