2023年广东省韶关市成考专升本高等数学二自考真题(含答案带解析)

2023年广东省韶关市成考专升本高等数学

二自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

两封信随机地投入标号为1,2,3,4的4个邮筒，则1,2号邮筒各有一封信的概率

等于

Aʌ,ɪ16β,ɪ12

设函数』？则需=()

ryty

2.∖.yeB.χfC.『D./

设Iim/(x)=ɪimg(x)，则Iim

XTXQX→⅜XTXOg(χ)

A.=OB.=1C.无穷大D.不能判定

甲、乙、丙三人独立地向目标射击一次,其命中率依次为0.506,0.7,则目标被击中的假

率是（）

A.0.94B.0.92C.0.95D,0.9

5已知/(，)=/.则∫%'3dx等于()∙A.I∕2B∙1C,3/2D.2

/已知/(x)=Inx,则/“(X)=

6.

B.一

2

~F

C.x

2

D.『

7.

设函数八外=上琨，则Iimf(Z)是

X—3LS

A.OB.-1

C.1D.不存在

已知f(x)的一个原函数为d+sinx,则J∕'(2x)dx=

8.

AA4x+cos2x

2CX+—1cos2Cx

B.2

2x+1cos2x+C

C.2

Dx+2cos2x+C

2

函数/(x)=∕+2的单调增加区间是

9.X

A.A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)

S对函数/(x,y)=GT7^,原点(0,0)

1U.X)O

A.是驻点，但不是极值点B.是驻点且是极值点C.不是驻点，但是极大

值点D.不是驻点，但是极小值点

..sin(x-2).

!吗=()

A.0B-CiD.1

11.4

设Iim/(x)存在，则/(x)在X。处

12.*→⅛

有定义且/(x0)=Iim/(x)

a.一定有定义b.一定无定义c.J"d.可以有定义,

也可以无定义

13.下列变量在给定的变化过程中是无穷小量的是【】

A.亚≡(τ→0)B.27—2(ZTO)

JC

C.:'J(∕→+∞)D.ʃ∙Sin-ɪ-(ʃ-»0)

+1

14.

3eu.ɪ<CO,

若函数/(J∙)=1在Z=O处连续,则α=

2τ+y,J∙≥0

]5.若/'(X)<O(α<xWb)且/S)>0,则在(α,b)内必有

AA-O)>0

BJ(X)<0

Cf[x}=0

DfCO符号不定

16.zr''的枳d'"()A.0个B.1个C.2个D.3个

17.

函数/(工)=∣2χ-lI在点X=去处的导数是().

a∙0B∙yC.2D.不存在

1&设/(X)的个原函数是arctanr,则/(x)的导函数是

A.A."

B.(1+x2)2

(l÷x,)2

2x

(l+x2)2

D.

∫∖ln(l+2∕)d∕

Iim-----------z---------=

19.zXOO

A.3B.2C.1D.2/3

m..sin(.2x2-ax),

设Iiin---------------=1.则a=

20.…X

A.A.-1B.-2C.1D.2

21.

100件产品中有3件次品，从中任意抽取4件产品的必然事件是()

A.四件都不是正品

B.四件都是次品

C.至少有一件正品

D.至少有一件次品

设Z=(J∙—2山，则生=.生=

22.d^r'dy

23.下列命题正确的是Oo

A.函数f(x)的导数不存在的点，一定不是f(x)的极值点

B.若xθ为函数f(x)的驻点，则xθ必为f(x)的极值点

C.若函数f(x)在点xθ处有极值，且F(Xo)存在，则必有F(XO)=O

D.若函数f(x)在点XO处连续，则F(XO)一定存在

,4函数y=1)的定义域是

A.A.(。㈤

B.(l,4]

C(1,4)

D(1,+∞)

xy

25.设z=e,则dz=()o

A.e"dx

B.(xdy+ydx)exy

CXdy+ydx

D.(x+y)e”

26.

设/(x)为连续函数，则(f'(2x)dx=

A.八2)∙√(0)B.2(∕^⑵力O)J

C∙∣(f(2)√(0))D.i(∕∙(l)√(0)∣

，2

若事件A与B互斥,且P(A)=O.5,P(AUB)=0∙8,则RB)等于(

27.A.0.3B.0.4C.0.2D.0.1

28.

设函数N=exy^KχZy,则*I等于

ayI<ι.2)

A.e+1B∙e2+1

C.2e2+lD.2e+l

29.

,

设a<x<6,∕(x)>0√(j)>0,则曲线/(外在区间(α山)内沿工轴正向

A.下降且上凹

B.下降且下凹

C.上升且上凹

D.上长且下凹

30.

12

已知当工■*O时.√4+OJC-2与SinJ是等价无穷小，则a=

二、填空题(30题)

eʃ»4>0,

/(ɪ)=Va+/在H=O处连续，则a=

32.

设/(ɪ)在(O,÷∞)上连续.且L/(:)dʃ≡J■，则/<2)=

A.5B∙3C.1Dy

αυ

33.函数y=Inx,则yo

34.

函数y=IMI+，)的驻点为%=-

曲线y=z+e，在点(0,1)处的切线斜率k=

ɔɔ•

36.

设y=χ3+e^zx>则严>=•

37.当x→0时，IYOS戈与xk是同阶无穷小量，则k=

38.

拉期&=一.

]，则J

1+tanʃ

设/(x)=/,g(X)=e∖则-j-(g(f(X)))=

41.

广义积分1\一"乙=

设y=sin(Inx),贝IJy,(l)=∙

设z=f(x,y)是由方程eF-χ2+z2+ye'l确定的函数，求生与生

43.

⅛dr=------∙

44.1

45.

设Z=F»贝IJdZ=.

46.

设/(ɪ)=e*.W∣∫△片CLr=

A.『+CBΛ+CC.-e'+CD.」+C

小ɪ

47.若yS-2)=arctanx,则丫⑺⑴=0

48.

设函数Φ(x)=。/ITFdt,则Φ,(X)=.

49.

50.

设二元函数Z=Sin土，贝∣J∙^3=_____________.

y∂x∂y

.设函数y=x'.则r

ɔ1ɪ•

52.inɪeoði

设N=｛工（X+丁）,则费=

∂y

53.

UJ1确定.WO~0_

54.<k

55.

设/co是可导的偶函数，且（（-5）=%。0,则r（/）=

设函数/(x)=Ie-1,"0%x=0处连续,则α=_______•

56.1«,«<0

57.

ʃX2∖/1—xidɪ=.

58.

设y=z'+ex+lnx+e',则yr=z.

59.

由曲线y=直线V=I及T=2所圉图形面积为

60.若r(xo)=l,f(xo)=O,则Px'JaI

三、计算题(30题)

61.求解微分方程∙dn∙rdy+(y-ln∙r)1r二0满足条件Me)=1的特解.

计算定根分ʃ)eʊdɪ.

62.

πe

求极限IimΓ~"^^÷χSin±l

XlX

63.

64.已知函数，=arcsinx后探.求招….

65求事分方程2，"+5y'=5/—2J∙-］的通解.

66设*="v+*im,而u

改变积分［ch//G0)dy+fdʃʃ:'∕Q0)dy的积分次序.

X≠0∙

求函数/(ɪ)的导数.

68.0.ɪ≡≡0

,C求Isin(lnʃ)dʃ.

69.

70.求函数/(1)=∙rL'在定义域内的最大值和最小值.

几求极限!即誓

72.求岬［＞⅛∏4τ}

计算不定积分/X+ɪn(l-ɪ)l

73.―P-------&

74.求“分方嗯+AJ的通相

75.设Z为由方程fα+y,y+z)=0所确定的函数,求偏导数z,.

计算/Ardy,其中。为圜/+y，=1及工：=9所围成的环形区域.

76.

77.设Z=Z(F)是由方程/+/-e=θ所确定的隐函数,求*

78.设L"，物其中八…)为可做函数.幅弊

79.应备数»=，+"G∙y)∙其中∕(x.>>为可It备敷.求dt.

oθ求微分方程（.vsinrsinʃ-1）d.-/（Iv—0的通解.

设M=J∙y∕产）.其中/<«>可导,求+

8i.∖-rIəɪ∂y

82.上半部为等边三角形，下半部为矩形的窗户（如图所示），其周长为

12m,为使窗户的面积A达到最大，矩形的宽1应为多少？

求极限

83.∙C2

计算二次积分

84.M二

__求不定枳分卜∙arctan∙xir.

o5.

86.求极限物喘一占）•

87.设函数y=yG)由方程y=(InX)'∙H~确定,求y'.

求曲线j''在点”.-2.D处的切线方程粕法平面方程.

88.∣3jr+2y+l«0

89设y=y(&)由方程-=w＞所确定.求常.

90.设曲线y=4-x2(x≥0)与X轴，y轴及直线x=4所围成的平面图形为

D(如

图中阴影部分所示).

图1—3—1

①求D的面积S；

②求图中X轴上方的阴影部分绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.

四、综合题(10题)

Ql求由曲线y∙∙r+4与y=所围成的平面图形的面枳.

Vl∙-

Q,求函数V=依Ur的单调区间和极值.

2(r—1)

93证明，当χ>∣时∙∣M>-7TT^∙

94.

设函数Fer)=(工>0),其中/(1)在区间［α.+8)上连续.((工)在

<β∙+∞)内存在且大于零.求证:F(∙r)在(u.÷oo)内单调递增.

QW证明：当工》。时Jn(I+G>-rτj^∙

96.

一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月

租金每增加100元时•就会多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花费200元的维修

费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

β∕(x>在［”.句上连续.存在E.M两个常数•且■足α≤4VH≤b,ii明：恒有

ɪi)≤/(ʃɪ)>≤54(x-ʃi).

97.f(jτι1

求函数/(∙r)=∙r-春/+J的单圜区间和极侑.

98.

巳知曲线y=α√F(α>0)与曲线y—ln√7在点(工。.›0)处有公切线,试求ɪ

(1)常数α和切点(∙r.∙w)ι

99.(2)两曲线与上轴碣成的平面图形的面积S.

100.

设函数/(ɪ)在闭区间［0.1［上连续,在开区间(0.1)内可导且/(O)=/(I)=0.

/(⅜j=1.证明:存在SW(0.1)使r<f)≡I.

五、解答题(10题)

101.设函数f(χ)满足下列条件:

(l)f(0)=2,f(-2)=0o

(2)f(x)在x=-l,x=5处有极值。

(3)f(x)的导数是X的二次函数。

求f(x)o

设函数/(X)求常数小使巾)在点4。处连续∙

102.

I-X0≤x≤lgJ

设/(*)=■2x-2l≤x≤3'求Lf∕3<k∙

103.

.计算∫∕1+sin3j)d!r.

104.

105.

设函数3>=(cotx)^,求y.

设函数/(x)=α√+6/+X在工=1处取得极大值5.

(1)求常数α和⑥

106.(2)求函数yu)的极小值.

107.

求∫—dx.

cosX

108.

（本IIi揩分IO分）MEΓ<>∣a）无聋的网桎形发那池,其容视他底的U

料30元∕∏Λ池壁的材料20元∕∏Λ问如何设计"能使成本最低.最低成本足Z少元，

计算Iinl正壬2

1→0sin4x

arcsinxdx.

六、单选题（0题）

/(幻―/(2)

设f(x)=arclanX，则Iim

参考答案

3.D解析

做该题时若不假思索，很容易错选B为答案.但假若对极限的定义有正

确理解，特别是能联想到2不定型，便知答案是D.事实上，若Iim/(X)=Iimg(X)=O,

0XTXOXTXO

fo

则可能有以下三种情况：Iim"2=|C(C为非零常数)

*f⅛g(x)

8

4.A

5.B本题考查的是导函数的概念和定积分的分部积分法.

∣^xf'(x)dx=£xd/(x)=H∕(X)I：-∫∕(x)dx=xe]：-=e*(x-I)|：=1.

6.B

因为f(x)=l∕x,f"(x)=-l∕x2o

7.D

8.C

根据原函数的定义可知/㈤=*+SinX)'=2r+cos

因为jf,(2x)dx=ɪ∫∕,(2x)d(2x)=ɪ∫df(2x)=∣∕(2x)+C

所以∫∕'(2x)dx=-^[2∙(2x)+cos(2x)]+C=2x+ɪcos2A+C

22

9.D

2

因为∕%x)=2x-彳，使/Yx)>0的区间是x>l,

X

所以函数的单调增加区间为(1,+8).

10.D

由于尸3y)=1：,、，f&x，y)={J,

√χ+>•4+y

显然，/；(0,0)、/；(0,0)均不存在.

在原点的某邻域内，当(*,y)≠(0,0)时,总有f(∕,y)=必万>0=∕(0,0)

所以，原点(0,0)不是驻点，但是极小值点.

11.B

12.D

∣im∕(x)的存在与函数在该点是否有定义无关.

ι→0

13.D

由Iim生上=1,lim(2-x—2)=-1,故由无穷小量知应选D.Iim--■=1,limʃ∙sinɪ=0.

LOXχ→o升》+]LoT

14.6

15.A

因为∕,(x)<Ox∈(α,b)

所以/㈤单调减少XE(a，b)

又/(⅛)>θ所以∕W>O汪3，b)

16.C【考情点拨】本题考查了函数的极值点的知识点.

[JSfiCttWl力八，，4一，・4，，)

4C-I

√/

j<--∙i.O)/O∣l(O∙∣>Iu・♦8)

-77I-I∑

一__・LL>」」，由表可得极值点有两个.

17.D

答应选D∙

分析绝对值求导的关键是去绝对值符号,然后根据分段函数求导数,

2x-1■xN；,

因为/(*)=∣2x-I∣=∙

I-2x.X<—9

所以/-(y)=^2^∙,(y)=2,

因为£(；)8/.'(；).所以在*=：处的导数不存在,故选D∙

18.D

根据原函数的定义可知

r

/(x)=(arctanx)=--2

M,J≠,∞-O⅛∙

19.D

J}ln(l+2r)d'洛必达法则XIn(I+2x)等阶代换，.Ix22

πτn-----------：.............:Iim--------：-------------Iim--=—

x→oX3χ→o3χ2JtfO3f3

20.A

,sin(2√-αr)也也Iim生卫=Y=I

lm所以anT.

*→0X*→0X

21.C

y(x—2,y)ri∙(ʃ2y)Iln(z—2y)+

22∙Nʃ

y(∙r-2y)E.(∙r2>),C∣n(a∙-2y)+⅞~]

4yɪ

23.C

根据函数在点Xo处取极值的必要条件的定理，可知选项C是正确的。

24.B

25.B

设U=X则z=e"

_dzðu

ʃ=ʃew

duHx

dz3u

=eaX=XeX7

Zy=而不

所以dz=0dx+乎dy=ye"'djr+∙xej°ldy=e"'(ydx+;Cdy),选B.

∂x∂y

,,2jtd2χ2χ

26.C解析：力∫7(2x)dx=⅛2%Γ7<><)=τ2∕<)O=⅛2(2)-∕(0)∣

27.A

28.B

29.C

30.4

31.6

Iim/(ɪ)=IimeZ=】∙Iim/(ɪ)=Iim乌±三=[•,又因/(ɪ)在I=O连续，则应有1=3，

Lo-Lθ+JF-O-LO-566

故a=6.

32.C

(-D'("-D!(-D'(“-D!

33.x"x"

34.0

0

解题指导本题考查的知识点是函数的驻点的概念及求法.

使得八，)=。的，i称为函数/⑸的驻点.利用复合函数的求导公式可得∕=⅛2z-令0.

得工=0.所以填0.

35.

∕=3x2-2e-2x

∕=6%+22e^2x

^=6-23e-2x

(4)^4-2x

y-2e

y⑸=_25匕一2"

36.-25e2x-25e-2x解析:

37.应填2.

根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定k值.

欲使其极限值为不为0的常数,只有A=2.所以填2.

38.

ainj

e∙+1

39.

1

(COSJΓ+sinʃ)2

V-]则√=一sec2z_-sec?Z__________]

V--Fl»Λ'JV—,.

1+tanɪ(z1+tanr)2(COSZ+sinɪ)2(COSZ+SinZ)2・

2

COSɪ

ixe1

[解析]因为g(∕(x))=eχ2

所以5√g(∕(X)))=2xe/

40.dx

41.1/2

42.

,,z

y=cos(lnX)(Illx)'=ɪeosInx>(l)=-ɪ-eosInx∖ιsl=1

解法一公式法一式中的X,y,z均视为自变量

设F(x,y,z)=e^xy-x2+z2+yez-l

则落=-ye^v-2x,华=-Xe-Jiy+ez,坐=2z+ycl

∂x∂y∂z

所以∙∕=-2四=_t=至上

∂xF：2z+yezHyF：2z+界，

解法二直接求导——此时X,y是自变fit，而z=z(χ,y)

等式两边对X求导得-ye-"-2x+2z生+ye：生=0

∂x∂x

等式两边对y求导得TeF+2z半+e"+yd半=0

∂yσy

解得^=2S∑±≥,=

43.∂x2z+yeσy2z+›e

44.

∣lnj+C

4×y

(ydx-xdy)

(解析］因为生=J=∙-!尸=互

OXyJy2√X2xy

-.əz.ɪðz.4×y.4×y而/kX

加s以r/dz=­cu+-dy=ox彳ady=天(ydx-xady)

45.去力292/2xy2

46.C

47.-1/2

48.3X2√T÷τr-ZX√Z1+^TΓ3X?√T÷TΓ-ZX√Z1÷OTΓ

49.

50.

X.X1X

—sin-------cos—

y'yyy

əzXə,X、1

—=C∞———(­)=-

axy∂xyy

∂τz

Hx力…焉令掾喈）=+喈-，哼点?

IXX.X

=—=-∞s-+-γsιn-

yyyy

51.

答案填20/.

解Ifi指导本的考查的知识点是高阶导数的计算.

WΛy'=5x4.WJf=20χ,.

52.

53.

空

√⅛(ɪ÷J2)

d

y2√H7÷√5√Λ,(ɪ+y)

［解析）因为

XX

所以包=_［-4.

drx2

-k

［解析］由f(-χ)=f(x)，得

∕z(-χ)(-χ),=∕z(χ)X)=f'(X)

,/

55所以∕(xo)=-∕(--^o)=-⅛

56.0

57.x∕16

e2‘-'十1+工e∙r'7+1+工

58.BX

59.B

60.-1

l-m七二」，二上」=TimX⅛±"2=-∕7x0)

B'h，A-*αα1r-*9I

将微分方程改写为黑+*=j

这是一阶线性微分方程，我们用公式法求解.

y=[jɪeʃɪ^^dɪ+C

=⅛(∫7,αrdj÷c)

s⅛lnj+⅛,

将y(e)=1代入.解得C=十.所以特解为

C=⅛(,nj÷⅛)∙

将微分方程改写碑+j⅛kj

这是一阶线性微分方程，我们用公式法求解.

y=e-J±lb[jA-ef^**4rdɪ+C

=i⅛(I3"+C)

=^i∣nj+总，

将y(e)=1代入,解得C=寺.所以特解为

y∙T(In工+七).

∫xe^<Lr-JNde却

7卜・苦1：-卜业]

=⅛[χ∙e,,L^⅜c"L]

*β4rΓe,~T(e，-1)1=ɪ(e*+1).

62.2LZ」4

Ej^d∙r^⅛∫∕de"

T[…"1：-卜叼

-⅛[∙r∙β"L-⅜βuL]

=}[∕_∙∣^(eJD]--ɪ-(e*+1).

63.

由于当HfO时,三是无穷小址，且卜也£I≤1.故可知y*'sin'=0.

当工—O时.1-e^u,〜3/.故

∣.(1—e'v?)sinzx∣.ɜɪ*∙sinɪɪ∣.3sin2j々

Iim----------：---------=Iim：=Iim：—=3.

∕→0ɪz-*0X/-*0X

所以Iim^"一二；)，小。+工,Sg£]=3.

由于当∙r→∙O时,ΛJ是无穷小量,且JsinɪI≤1.故可知Ii呼/Sin增=0.

当工—O时.1-e-,/〜3/.故

Iim(一叫鹏=lim3—・华=Iim卑=工

,r-∙oɪχ-*oXJ-。X

J

所以Iimf(LeT)+工,sinJFl=3.

/∙o[βXJTJ

64.

该胭若求出导函数后再将χ=0代人计算比较麻烦,下面利用导数定义计算.

/1—sinɪ

Z(O)=Iim笈2二辔ɪɪIim=Iim叵=ɪ,

r-o1-。LQJrDNI-Sirtr

该题若求出导函数后再将I=0代人计算比较麻烦,下面利用导数定义计算.

/1—sinʃ

aresinʃ√1+sinʃ

∕<θ>=⅛⅛^-IimIimJ2胆

LoIoV1+SInJr

65.

与原方程对应的齐次线性方程为

2yf+5y'=0,

特征方程为

2rτ+5r=0»

故

ʌ5

rl≡Otrf≡-ɪ•

于是

y≈Ci÷C1eR

为齐次线性方程的通解.

而5》-2］一ɪ中的AnO为单一特征根.故可设

y,≈ʃ(ʌrɪ+fir+C)

为

2∕+5√=5J1-2J-1

的一个特解,于是有•

(y∙)'=3Ar1+2Hr+C,(>*)*=6Ar+2B.

知

2(6Ar+2B)+5(3Ar,+2fir+C)=5JI-2J-1.

即

15Λri÷(12A+1OB)X÷4B+5C=5α∙,-2J-1.

故

15A=5,12A+IOB=-2.4B÷5C=-1.

于是

AɪU3λ,7

A=τ,B=-y,C≡-

所以

•ɪ13•7”

>=T~T÷215

为

2y"+5y'=SJT2—Zx

的一个特饼,因此原方程的通邮为

y≡=Cl+CjC'+=+if'G∙C'为任意常数）,

与原方程对应的齐次线性方程为

2y,+5>>=0,

特征方程为

2r*+5r=0«

于是

y=Ct+CτeR

为齐次线性方程的通解.

而5》-2］一1中的；INO为单一特征根.故可设

y,∙≈j(Ar,+ar+C)

为

Zy+5y,=5j∙,-ZJT-I

的一个特解,于是有.

(y,)'≡3√Lr,+2Hr÷C,(>∙)*=6Ar+28.

知

2(6Ar+2B)+5(3Ar,+2Rr+C)≡5JT1-2J-1,

即

15Arl+(12Λ+10B)x+4B÷5C≡5x,-2J-1.

故

15A=5,12A+IOB=-2.4B÷5C≡-1.

于是

所以

2y,+5y'=5x,—2J∙—ɪ

的一个特M,因此原方程的通解为

jz=C1+C,e-—誓+祟Ge为任意常数）.

dz∂zdu∂zdv.∂zdz__∂zdu,∂zdv.∂z

--

MaKB5≡5*MBM∣*aaa≡≡v-lt-≡≡≡**aa≡>∣—≡≡*∙^^≡≡«■■■■Tf•—≡∙≡≡

d/∂udt∂vdt∂td/∂ud/∂vd/∂t

=vel-Msin∕+cos/=ve,—Msin∕+cos/

=e,cos∕-ersin∕Tcos/=e,cos∕ersin∕Icos/

66∙=er(cos；—sin/)÷cos/.=er(cos/—sin/)+cos/.

67.

由所给累次积分画出原二重枳分的枳分区域D的示意图,如图所示•据此将D

视作Y-型区域.即

D={(J.y)IO≤y≤1∙Q≤工≤2一田•

因此

ʃCLrJ/(∙r∙y)dy+j(Lrj/(ɪtɔr)dɔr/(x∙y)dr.

由所给累次枳分划出原二重积分的枳分区域D的示意图,如图所示•据此将D

视作Y型区域.即

D=<(∙r.y)IO≤>≤1∙√y≤工≤2一y),

因此

ʃCLrj/(x∙y)d>r+∕<j∙y)d>

68.

当J■#()时.f(j∙)=IZSin!是初等函数,可直接求导.即

f(ʃ)=(x2sinɪ),

=2J∙S>Πɪ÷ɪ2cos-ɪ-(----ζ∙)

ɪXX1

一=Zxstn-1-----cos—1・

XX

当工=O时.

・

X2sin一1

W

/(O)=Iim"-/Iim--------ʃ=limʃsin-=O.

x→0<r→4)Xj-OX

当TRO时∙f(∕)=√sin^是初等函数,可直接求导.即

f(ɪ)=(/sinL'

X

=2jrsin—+xlcos—(----ɪr)

ɪXX1

.11

=Z9xsin------cos—•

ɪɪ

当Jr=O时.

8ln

/(O)=Iim八工)―f(。)=]imʃɪ=∣i∏κrsin1=0.

1-0ʃ^-∙0ɪ∕→0JT

lʃsin(lnʃ)dʃ=CrSin(Inʃ)][一Jʃdsin(lnʃ)

=esinɪ-ʃeos(lrvr)dʃ

=CSinl—[jβcOS(IrLr)I+ʃɪdeos(lrtr)

=esinl-ecosl+1—[sin(lnʃ)dʃ.

[sin(lnʃ)dʃ=-ɪ-[e(sinl-cosl)+11・

sin(lnɪ)dʃ=eʃsin(ɪnʃ)]|­Jʃdsin(lrvr)

=esinl-ʃCOS(IrLr)CLr

esinl-*[ʃeos(lnʃ)]+ZdCOS(Inʃ)

=esinl-ecosl+l-ʃsin(lnʃ)dʃ.

,1

sin(ɪnʃ)dʃ=ɪ[e(sinl-cosl)+1].

70.

函数/(ʃ)=.ie~t的定义域为《-8.+8),且/(ʃ)处处可导;

因为∕,(jr)=e^*-jre,=bFl一工).令f(x)=O

得驻点工=1.且JrVl时・，(])>0.J>1H∙t.∕(Λ∙)<O

所以/(1)=e-'=ɪ为函数/(力的最大值.

e

又Iimʃ(ɪ)=Iimerer=­∞;

Iim/(ʃ)=Iimʃej=Iim===Iimɪ=0.

i一♦z→÷∙χrΛ-∙÷∙**e>-♦■*∙'e

于是f(x)定义域内无最小值。

函数/(x)=J-e-j的定义域为(-8,+oo),且/(ʃ)处处可导;

因为f,(jr)=e^,—are,=e`(l-才).令f(ʃ)=0

得驻点1=1.且zV1时,，(])>0,x>1B∙t.∕(j)<0

所以/(1)=e'=ɪ为函数八幻的最大值.

e

又Iim/(ɪ)=Hmɪe/=­∞;

Iim/(ʃ)=Iimɪej=Iim-=Iimɪ=0.

r→∙Jrir→÷**∙β，­〃C

于是f(x)定义域内无最小值。

sinʃ

I-IanJcoar∣.sinɪ卜1...«

Iim------=Irim------=Iim-------∙Itm------=IXκl=L

n∖4∙oX∕→oXLQX,7eosɪ

sinʃ

∣.tanʃeosɪ∣.SirUr.1....

Iim------=hvτn------=Itm-------∙Ifltm------=1Xv1=1.

J7XJ→0Xx→0Jr*→0cosɪ

原式=Iim2二口：-士,士久2-(l-l+D=ɪ

z

72.Iɪ3÷1Γ^∏2^∙

原式:Ii2-（七彳十1）2-(1-1+1)_1

ImZ+1I3+1~2,

β∫y+∫,πf

=InIɪI-ɪln(1一ɪ)-fɪ∙—CLr

*JX1-1

jr

=InIɪ-ɪln(1-1，-J(}+Jr)d

=InlNi--ln<ɪɪ)in∣ɪ∣+ɪn(1—x)+C

X

≡(I一5)ln(]-工)+C

73.

/=j¥+jln(]-*)d(—`7)

≡InIɪI—~ln(1—ɪ)一If—1•\---ɪ--C,Lr

JCJXl-ɪ

+tbr

=InIɪI——ln(1—1)-∫(7⅛)

ɪ

=inIɪI--ln(ɪɪ)一inIX∣+ɪn(1—ɪ)+C

ɪ

=(∣-5)In(I-ɪ)+C.

由m意•知P(x)=y∙Q(j>=J∙

Mb,

；.e收=eH===*'=ʃ∙

CIftIb=J，"≡e,ft,=x∙

JQ∙JWcLr=卜∙ɪdɪ=ɪ[eʃdʃɪ=ye,∙

•••该微分方程的通解V≡ɪ[ɪe'+C].

74.

j

由题意知~^∙Q(∕)=C∙

•P(χ)=JT

・・・t・卜d'=ef÷,u=(Ta.<出'=J

』Ftb=eʃɪ1**=en,≡∙r∙

IQ∙J，"CLr=[cr∙ɪdɪ7卜”=犷.

••・该微分方程的通解Y=1：[*'+4,

由隐函数求导公式知工一忌"

75.∙∙⅞⅞∙

-■/二(∖+y∙y+:)

由隐函数求导公式知≡-

fl(∙r+y.y+z)∙

76.

画出区域D如图所示.由枳分区域的对称性及被积

函数关于丁轴和y轴都是偶函数.故有

ɪjʃ^dxdy=ʌjʃid/djv.

*nD1

其中Dl为区域D在第一象限的部分.即

D1=<(x∙v)I1≤jr'+y'≤9∙120.y00).

利用极坐标变换•小可表示为0≤6≤但.1<r≤3•故

J√dτdv=∫^∫'

ιι(reosð)2»rdr

=peosɪftl^ʃPdr

1+COS2%Q

-2—dθ

=20∙--[β+~sin2∂]I,