2022-2023学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省厦门市高二(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.等比数列｛a7l｝中,α1=16»a2a4=16,则=()

A.1B.2C.4D.8

2.直线x+y+l=0被圆/+y2=ι所截得的弦长为()

A.ɪB.1C.CD.y∏.

/2

3.在(1+2x)5的展开式中，炉的系数为()

A.8B.10C.80D.160

4.试验测得四组成对数据(孙％)的值分别为(0,1),(1,2),(2,4),由此可得y关于

X的经验回归方程为y=1.6Y+a根据经验回归方程预测，当x=5时，y=()

A.8.4B,8.6C.8.7D,9

5.甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制(先胜三局者获胜，比赛结束)，如果每局

比赛甲获胜的概率为p(O<p<1),乙获胜的概率为l-p,则甲选手以3：1获胜的概率为()

32

A.C⅛(l-p)B.C⅛(l-p)C.Cz⅛3(l-p)D.p3(l-p)

6.如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形

的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，己知太阳灶的口径(直径)为4m,深度为0.5zn,则

该抛物线顶点到焦点的距离为()

A.0.25mB.0.5mC.ImD.2m

7.把正方形纸片ABC。沿对角线ZC折成直二面角，。，E,F分别为力C,ADfBC的中点，则

折纸后4E0F的大小为()

A.60oB.90oC.120oD.150°

8.直线I与两条曲线y=e'+l和y=e'+ι均相切，贝〃的斜率为()

A.ɪB.1C.2D.e

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则()

A./Q)在区间。2，%3)上单调递减B./0)在X=X2处取得极大值

C.f(x)在区间(α,b)上有2个极大值点D.在X=/处取得最大值

10.如图，已知正方体ZBCD—4BιGDι的棱长为1,贝∣J()

A.AC1B1D

B.BC"/平面BICD

C.三棱锥Ci-aC。的体积为之

D.Ci到平面&CD的距离为浮

11.设4、B是随机试验的两个事件，P(4)=∣,P(B)=［，P(AUB)=需，贝∣J()

A.事件A与事件B互斥B.事件4与事件B相互独立

911

C.pμ∣β)=5D.P(AB)=i

12.在平面直角坐标系Xoy中，Fi(-1,-1),F2(1,1),动点P满足IPFIl+∣PFz∣=4,则()

A.P的轨迹方程为3+1=1B.P的轨迹关于直线y=X对称

C.4PRF2的面积的最大值为2D.P的横坐标的取值范围为

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知直线2的一个方向向量2=(nɪ,1,3),平面Q的一个法向量/=(l,n,1),若〃∕Q,则

m+n=,

14.己知双曲线C：A一，=19>0/>0)的渐近线方程为)/=±2%,则C的离心率为

15.甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有

种承包方式（用数字作答）.

16.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为1的正方形的一边作

为斜边，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角

边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，⅜Jr⅜Φ*⅞y

再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，则第n

次生长得到的小正方形的周长的和为；11次生长后所有小正方形（包括第一个正方形）

的周长的总和为.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知等差数列｛ajt｝的公差d≠0,其前n项和为%,若%,a2,α5成等比数列，且$6=36.

（1）求数列｛αll｝的通项公式；

1111

（2）id7^=——+——+•••+--->求证：T<-.

''«102a2a3<⅛¾+ιn2

18.（本小题12.0分）

随着全球新能源汽车市场蓬勃发展，中国在十余年间实现了“弯道超车”，新能源汽车产量

连续7年位居世界第一.某新能源汽车企业改进并生产了某款纯电动车，该款电动车有白色和

红色.为研究购车顾客的性别是否与其购买的车辆颜色有关，公司研究团队利用随机抽样的方

法收集了购买该车型的男生和女生各60人的数据，得到成对样本数据的分类统计结果，如下

表所示：

车辆颜色

性别

白色红色

女生4020

男生5010

（1）依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关

联？

（2）现从上述购买白色车辆的90名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取9人，从购买红

色车辆的30名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取3人，并从这12人中依次抽取2人作

为幸运嘉宾，求第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆的概率.

n(ad-bc')2

附：2其中Ti=a+b+c+d

χ(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)'

临界值表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

19.(本小题12.0分)

如图所示，在三棱柱4BC-&B1C1中，△4BC是正三角形，D为棱4C的中点，BDIAA1,平

面BBi。交于点E.

(1)证明：四边形BBlEC是矩形;

(2)若ZAi=4C,乙4140=60。，求平面力BBIaI与平面BBIED的夹角的余弦值.

20.(本小题12.0分)

某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动.抽奖箱中有4个蓝球和4个红球,

这些球除颜色外完全相同,有以下两种抽奖方案可供选择：

初始奖

摸球方式奖励规则

池

方案不放回摸3次，每次摸出每摸出一个红球，奖池金额增加50元，在抽奖结束后获

A1个球得奖池所有金额

30元

方案有放回摸3次，每次摸出每摸出一个红球，奖池金额翻倍，在抽奖结束后获得奖

B1个球池所有金额

(1)若顾客选择方案4求其所获得奖池金额X的分布列及数学期望.

(2)以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案4还是方案B?

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)—ex-ln(x+m)-1.

(1)当Tn=I时,讨论f(%)的单调性；

(2)若f(%)≥0,求m的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知点N在曲线C：[+4=1上，。为坐标原点，若点M满足丽=√"5而，记动点M的轨

迹为「

(I)求r的方程：

(2)已知点P在曲线C上，点力，B在曲线r上，若四边形OAPB为平行四边形，则其面积是否为

定值？若是，求出定值；若不是，说明理由

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因为｛an｝是等比数列，

月、a1—16,=ɑɪɑʒ=16,

所以c⅛=1.

故选：A.

根据等比数列的项的性质求得ɑs∙

本题主要考查等比数列的性质，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题.

由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线X+y+1=O的

距离d,即可求出弦长为2√产二d2,运算求得结果.

【解答】

解：因为圆/+y2=ι的圆心为O(O⑨，半径等于1,

则圆心到直线X+y+l=0的距离为d=ɪ,

故直线X+y+1=0被圆好+y2=1所截得的弦长为21产-d2=√^1.

故选D

3.【答案】C

【解析】解：展开式的通项公式Tk+ι=⅛(2x)fc=Cl2kxk,

333

当Zc=3时,T4=Cl-2x=80X,即/的系数为80.

故选：C.

求出展开式的通项公式，令X的次数等于3进行计算即可.

本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式，利用通项公式求出％的值是解决本题的

关键，是基础题.

4.【答案】C

【解析［解：由条件可知，Ui+%】+2=：,y=-1+^÷2+4=ɜ

42,z42

回归直线过点G，句=G，|),代入直线，得∣=L6xg+α,得α=0∙7,

所以回归直线方程为y=ι,6χ+0.7

当X=5时，y=1.6×5+0.7=8.7-

故选：C.

首先求样本点中心(五分，代入求回归直线方程，最后代入X=5,即可求解.

本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：甲选手以3：1获胜，说明前3场中甲赢了两场，输了一场，且第四场甲赢,

故所求概率为废p2(l-P)P=eɜpɜ(l—P).

故选：A.

分析出甲选手以3：1获胜的情况即可求解.

本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：

设此抛物线方程为/=2py(p>0),依题意点(2,0.5)在此抛物线上，

所以2p∙4=4,解得p=4,则该抛物线顶点到焦点的距离为§=2m.

故选：D.

建立坐标系，求出抛物线方程即可求解.

本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：折起后的图形如下图所示,

连接BO,D0,贝IJBo-LaC,DOLAC,

又平面ABC1平面ADC,^ABC∩TffiΛDC=AC,BoU平面ABC,

：.BO_L平面ADC,

.∙.0D,0C,OB三直线两两垂直，分别以这三直线为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系，

设正方形的对角线长为2,则可确定以下点坐标：

0(0,0,0),4(0,-1,0),Z)(1,0,0),

F⅛,-∣,0),B(0,0,1),C(0,1,0),F(O,∣,j),

岳=<限而>=S⅛=τ⅛τ

又0°≤<^OE,OF>≤180°,

.∙.<OE,OF>=120%

乙EoF=120°.

故选：C.

依题意画出图形，连接BO,DO,由面面垂直的性质8。_L平面4OC,建立空间直角坐标系，利用

空间向量法计算可得.

本题考查二面角以及空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由y=e*+l,可得y'=e*;由y=e*+ι,可得y'=e*+ι,

设两个切点分别为(Xl,蜡】+1)和(%2，2+1),直线I的斜率k=2=j+1,

x2+1-exl-l

故—%2+ɪ,由%ιW%2，所以ke∈∣=1,即直线I的斜率为L

×2~xl

故选：B.

设两个曲线的切点坐标，由切线斜率相等，利用导数列出方程，再利用两点斜率公式化简即可.

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是中档题.

9.【答案】AB

【解析】解：由导函数的图象可知：

%e口,％2)时/'(X)＞。，f(χ)单调递增；

X∈(X2,X3)时/'(X)＜。，f(x)单调递减;

X∈(X3,0时((久)≥0.f(χ)单调递增.

故A,B正确，C,。错误.

故选：AB.

根据导函数的图象可分析出/(%)的单调性，进而可判断各选项.

本题考查利用导数求函数的切线，数形结合思想，属基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：建立如图所示坐标系，则4(0,0,0),C(l,l,0),

Bl(LO,1),0(0,1,0),

∙∙∙AC=(1,1,0),踮=(-1,1,-1),

：.ACB^D=1×(-1)+1×l+0×(-1)=0)

.∙.AC1B1D,4选项正确；

设平面BlCD法向量为五=(x,y,z),

=(0,1,-1)前=(-1,1,-1).

P-Z=O

•,(―X+y—z=0,

令X=0,则y=l,z=l,可得平面BlCD法向量为it=(0,1,1),

・・・&/；=而=(LL0)，

ʌi41Q∙n=l×O+l×l÷O×l=l,故AICl不平行平面BlC0,8选项错误;

VBIC=yΓ~2,CD=1,B1C1CD,

s

∙∙∙B1CD=I×BICXCD=；Xy∏Xl=3

三棱锥G-BiCD的体积为:

½71-β1CD=ξ×SBICD=C选项正确；

VCCl=(0,0,1)>平面BlCD法向量元=(0,1,1),

则点Cl到平面BlCO的距离为d=需1=为=?，。选项正确.

故选：ACD.

先建系再根据向量数量积为0判断4选项，先求出平面BlCD法向量，再根据线面平行判断B选项,

再根据点到平面距离判断。选项，应用三棱锥体积公式计算判断C选项.

本题考查空间点、线、面的位置关系，棱锥的体积，点到平面的距离，主要采用向量法求解，属

中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解:因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),

所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=∣+∣~⅛=p故A错误；

因为P(A)P(B)=Ixt=T=P(AB),所以事件4与事件B相互独立，故B正确;

因为P(AB)=I-P(AB)=1-；=：,故。正确.

故选：BCD.

由P(AUB)=P⑷+P(B)-P(AB),可得P(AB),从而可判断4B；由条件概率计算可判断C；

由对立事件的概率计算可判断D.

本题考查互斥事件、相互独立事件、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：对于4设P(X,y),则JQ+1)2+(y+1)2+J(X-1)2+(y-1)2=%得到3/+

3y2-2xy-8=0,故A错误.

对于B,由椭圆定义知P的轨迹是以a,F?为焦点的椭圆，故厂「F?所在直线是椭圆的对称轴，

故B正确.

对于C,因为长半轴α=2,半焦距c=/n，所以短半轴b=，N，

当点P在短轴顶点上，NFlPF2=90。，此时A&PF2的面积最大，最大值为2,故C正确.

对于0,联立方程H.3V-2xy-8=0,得3丫2_2叫，+3病_8=0,

由4=-8r∏2+24≥0,得一C≤m≤，3，故。正确.

故选：BCD.

由动点满足的条件可求轨迹方程，由椭圆定义知轨迹是以0,F?为焦点的椭圆，利用椭圆的性质

求对称轴，求焦点三角形的最大面积，通过联立方程组利用判别式求P的横坐标的取值范围.

本题考查椭圆的定义以及性质，属于中档题.

13.【答案】-3

【解析】解：因为直线2的一个方向向量N=(m,1,3),

平面α的一个法向量B=(l,n,1)且〃∕ɑ,

所以苍-Lb，所以d∙b=O,即τn+n+3=0,

所以m+n=-3.

故答案为：一3.

依题意可得芯JLa贝%不=0,根据数量积的坐标表示得到方程，即可得解.

本题考查平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.【答案】√^5

【解析】解：因为双曲线C：冒Y=I9>0/>0)的渐近线方程为丫=±2刀，

所以2=2,

a

所以离心率e=-=Jl+(2)2=N1+4=V^^5>

故答案为：√-5

由题意可得5=2,然后由e=:=J1+(粉可求得结果.

本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，离心率的求法，是基础题.

15.【答案】60

【解析】解：由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有德=6种，再让乙承包2项，

有底=10,剩下的3项丙承包，

所以由分步乘法原理可得共有6×10=60种方案，

故答案为：60.

由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，再让乙承包2项，剩下的3项丙承包，根

据分步乘法原理可求得结果.

本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题.

16.【答案】（√~¾n+4252（。+1）

【解析】解：根据题意，每次生长的小正方形的个数，构成以2为首项，2为公比的等比数列，

每次生长的小正方形的边长构成以年为首项，好为公比的等比数列，

每次生长的小正方形周长和依次构成等比数列，首项4，9，公比/2，

故第n次生长得到的小正方形的周长的和为（C）n+4,

11次生长后所有小正方形（包括第一个正方形）共12组，

则其周长的总和为4+4＜2+…+（√*）15=4号@]=252”+）.

1

故答案为：（C）rι+4;252（/7+1）.

由题意，分析可得：每次生长的小正方形周长和，依次构成首项为4，克，公比为。的等比数列,

由此计算所需结论即可.

本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，属于中档题.

17.【答案】解：（1）因为由,a2,c⅛成等比数列,S6=36,

b,,K%+d)2=αι(αι+4d)

所以｛匕,6×5,,由d≠。，解得｛建2]

60iH——α=36

所以Qn=α1+(n—l)d=l+(n-l)×2=2n-1；

(2)证明：由囚q+1=(2i-l)(2i+l)=5(2i-1-2i+l)''=L2,…，n,

得北=-(1-1+ɪ-ɪ+...+-------------)=Ifl———

1n2v3352n-l2n+lj2v2n+lj

由nθ-有焉＞°，所以1一焉＜3得Tn=XI-焉）＜?

【解析】（1）由已知条件列方程组求出数列｛斯｝的首项和公差，可得数列｛斯｝的通项公式；

（2）利用裂项相消法求出力,即可得到结论.

本题考查等差数列的通项公式，裂项求和法的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题.

18.【答案】解：(1)零假设为/：购车顾客的性别与其购买的车辆颜色无关联.

2

根据列表中的数据，经计算得到*2=120X(40X10-20X50)=40χ3,841=X005.

λ60×60×90x309005

根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断也不成立，

即认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

(2)由题得抽取的12人中，是男生且购买白色车辆的有5人.

设A="第一次抽到的是男生且购买白色车辆"，B=“第二次抽到的是男生且购买白色车辆”.

P⑷=卷，P(BM)=:,P(A)=台P(BI4)=

由全概率公式P(B)=P(A)-P(BlA)+P(A)∙P(BI4)，

得P(B)=KX白+^X卷=/

所以第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆概率为卷.

【解析】(1)独立性检验，根据公式计算了2,与临界值比较后下结论；

(2)利用条件概率和全概率公式计算.

本题考查独立性检验以及条件概率和全概率公式相关知识，属于中档题.

19.【答案】解：(1)证明：取AIG的中点E,则点E为平面BBlD与

棱4G的交点，连接BlE和ED,

因为点D,E分别是Ae和4Cl的中点，

所以EC〃44i，ED=AA1,

因为叫〃A4,BB1=AA1,

所以BB"/ED，BBi=ED,

所以四边形BBlED是平行四边形,

所以点E为平面BBlD与棱4Ci的交点,

因为BDIED//AA1,

所以BD1DE

所以四边形BBIEC是矩形；

(2)连接&D,A1C,

在正AABC中，。为AC的中点,

所以BDIAC,

因为BDIAAi，ACQAA1=A,AC,AA1c¥≡Λ∕l1C1C,

所以BDJL平面44ιGC,

因为4C=∆A1AC=60°,

所以44√1C为正三角形，

因为。为棱AC的中点，

所以AlDJ.4C,

以。为坐标原点，分别以DB,DC,DA1所在的直线为X,y,z轴建立空间直角坐标系，

设三棱柱的棱长为2,

则A(O,-1,0),B(，3,0,0),AI(0,0,√^^),E(0,1,√^3),

所以四=(√-3,1,0),DB=(C,0,0)，AA^=DE=(0,1,C)，

设平面ABBiAi的法向量为访=(x1,y1,z1),

^m-AB=O即JVIxijyi=O,则可取记=g-,二)，

v7

(m-AA1=OIyl+y∏z1=0

所以平面ABBiA的一个法向量为沆=(√^5-3,，豆)，

设平面BBlED的法向量为元=(x2,y2,z2),

则也变=°,gpf^x2=0,则可取记=(0,3,一口)，

I元∙DE=0Iy2+y∏z2=0')

所以平面BBIED的一个法向量为元=(0,3,—，3)，

设平面4BBι4与平面BBIED的夹角的大小为。，

0∣∣.π.fl=回现=IaXo+(-3)X3+CX(-Q∣=2£T

入J―∣m∣∣n∣^√3+9+3x√0+9+3^5，

所以平面ABB出与平面BBIED的夹角的余弦值为当ɪ

【解析】⑴取AICI的中点E,连接BIE和ED,可证得E为平面BBIO与棱AlCI的交点，从而可得四

边形BBlEO是平行四边形，由BDJ.A4可得8。1DE,从而可证得结论；

(2)连接&D,A1C,可证得DB,DC,D4两两垂直，所以以。为坐标原点，分别以DB,DC,D&所

在的直线为无，y,Z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.

本题考查空间中垂直关系的判定，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，

推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由题意可知X可能取值为30,80,130,180,

则P(X=30)=等=W=看P(X=80)=警=t：4

P(X=I30)=管=|H，^=18°)=⅛Γ=⅛=⅛

所以X的分布列为：

X3080130180

1331

P

147714

所以E(X)=30×ʌ+80×+130×÷180×ʌ=105.

v7147714

(2)设顾客选方案B,所获得的金额为丫，则y的可能取值为30,60,120,240,

则P(y=30)=或6。X⅛3=ɪ,p(y=60)=C∕φ1Xφ2=I，

P(,Y=120)=cf⅛2X⅛1=I，P(Y=240)=C∣φ3Xφ0=I，

1331箜

3OX+×+2X=

所以E(y)8-608-8-408-4

所以E(X)>E(Y),所以选择方案4.

【解析】(1)由题意可知X可能取值为30,80,130,180,然后求出相应的概率，从而可求得X的

分布列及数学期望，

(2)设顾客选方案8,所获得的金额为丫，贝IJy的可能取值为30,60,120,240,求出相应的概率，

从而可求出E(Y),然后与E(X)比较可得结论.

本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)当m=1时，/(x)=βz-ln(x+l)-l,

定义域为(-1,+8),∕,(x)=靖一击在定义域上单调递增，

令/(%)=得X=

则当一1V%VO时,f,(x)<0,则f(%)在(-1,0)单调递减;

当%>0时，f,(x)>0,则/(%)在(0,+8)单调递增；

所以/(%)在(-1,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.

(2)由函数/(%)=ex-ln(x+m)-1,x∈(-m,+∞),

由于∕^'(x)在(-科+8)为增函数，且值域为(一8,+8),

所以/'(X)=0在(-m,+8)上有唯一的实数根而，

1

即r(Xo)=O，得e*°—石石=0,则In(Xo+m)=-X0,

则当-7n<x<Xo时，所以「。)<0,则y(%)在(-犯4))单调递减；

当X>X。时，所以/'(%)>0,则/(X)在(XO,+8)单调递增：

当X=&时，/(x)取得最小值，

/(工)最小值=/(X。)=eTng+m)_In(XO+m)-1=+x0-l,

令/So)≥0-即就^+ɪo-1≥°在(-m,+8)上恒成立，

令g(x)-ɪ+