2023年内蒙古包头地区一模中考数学试卷含详解

2023年初中学业水平考试调研试卷数学

注意事项：

1.本试卷共6页，考试时间为120分钟.

2.答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置.请

认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

3.答题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共有12小题，每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂

黑）

1.小强家冰箱冷藏室温度是3℃,冷冻室温度是-10℃,则小强家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高（）

A.-TCB.TCC.-13℃D.13℃

2.已知x=l,y=-3是方程ar—y=l的解，那么。的值为（）

A.-3B.-2C.3D.4

x+2≤0

3.将不等式组，C,的解集表示在数轴上，正确的是（）

4.如图是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）

5.在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（）

A.（4,6-2）B.（a-2,b）C.（a—2,6—2）D.（2—a,2—6）

6.质检人员从编号为1,2,3,4,5的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于4的概率为

（）

A.ɪB.2C.ɜD,1

5555

7.若分式回?的值等于0,则a的值为（）

a+l

A.-1B.OC.1D.±1

8.如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A,B,C,D,。在小正方形的顶点上，。的半径为I,

E是劣弧C。的中点，则NE4B的度数为()

A

A.65.5°B.66oC.67.5oD.68o

9.在正比例函数y=H(A≠0)中，y的值随X值的增大而减小，则关于1的一元二次方程χ+47=()根的情况

是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定

10.如图，在-ABC中，/3=28。,NC=40。，按以下步骤作图：

(1)分别以点A,点8为圆心，大于;AB的长为半径作弧，两弧相交于E,F两点(点E在AB的上方)；

(2)作直线E/交BC边于点M,连接AM；

(3)以点C为圆心，C4的长为半径作弧，与BC边相交于点N,连接AN.

则NMAN的度数为()

A.28oB.20oC.15。D.14°

11.如图，边长为2的正方形ABC。的对角线AC与8。相交于点。,E是BC边上一点，F是BD上一点,连接

DE1EF.若J)EF与DEC关于直线DE对称，则3■的长为()

试卷第2页，共6页

A.ɪ-B.2√2-2C.2-√2D.√2-l

12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与X轴相交于点A,与y轴相交于点B,四边形ABCo是平行四边

形，直线y=-x+W经过点C,且与X轴相交于点BD与OC相交于点E,记四边形A8E。，△£）口的面积分别

为5,S?,则$5等于（）

C.7:3D.3:1

二、填空题（本大题共有7小题，请将答案填在答题卡上对应的横线上）

-八-任3xX+6

13.计算：--+--=_____.

x-33-X

14.某商场四月份的营业额为10万元，五月份的营业额为12万元，如果按照相同的月增长率计算，该商场六月份的

营业额为万元.

15.已知x+y=2,x-y=4,则代数式l+χ2-y2的值为.

16.射击队在某次射击比赛的选拔训练中，甲、乙两名运动员各项成绩比较突出，现决定从这两人中选取一人参加

比赛，这两人选拔测试的10次射击成绩分析如表所示：

运动员平均成绩（环）方差

甲9.10.69

乙9.10.03

历次比赛经验说明，平均成绩在9.0环以上就很可能获得奖牌，若你是教练员并想确保取得这块奖牌，最有可能选

择参加比赛（填“甲”或“乙”）.

17.如图，在RlA48C中，ZACB=90。,ZA=36。，以点C为圆心，CB的长为半径的圆交AB边于点。，连接8.若

CB=2√5,则由劣弧80和CRCB所围成的扇形88的面积为.

18.如图，在平面直角坐标系中，点AB在反比例函数y=V(A>O)第一象限的图象上(点8在点A的右侧)，过点

X

A作Aej轴，垂足为C,过点B作BD_LX轴，垂足为。，连接A8,若OC=CD,四边形ABOC的面积为6,则

k的值为.

19.如图，点。在等边/BC的BC边上，AB=3,BD=1,将AABO绕点A逆时针旋转得到AACE,其中点B的对

应点为点C,煎D的对应点为点E,BC的延长线与AE的延长线相交于点F,则CoSNAES的值为.

三、解答题(本大题共有6小题，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位

置)

20.某校兴趣小组为了解学校男生最喜爱的一项体育运动情况，在全体男生中采用抽样调查的方法进行调查.

男生最喜爱的一项体育运动

(1)该校兴趣小组设计了以下三种调查方案:

试卷第4页，共6页

方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分男生进行调查；

方案二：活动课时间在学校篮球场，随机抽取部分男生进行调查；

方案三：从全校所有男生中随机抽取部分男生进行调查.

其中最合理的调查方案是.(填“方案一”、“方案二”或“方案三”)

(2)该校兴趣小组调查问卷的内容有：篮球、足球、乒乓球、跑步、其他，共五个选项，每位被调查的男生必选且只

能选取一项.根据全部样本统计结果绘制了如图的扇形统计图，其中选择足球的人数为25人.

①若全校共有900名男生，请你估计选择乒乓球的人数；

②为了更好的开展体育运动，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议.

21.如图，某农业示范基地借助无人机测量一块试验田的宽度MN.一架水平飞行的无人机在P处测得试验田一侧

边界M处的俯角为ɑ,无人机沿水平线心方向继续飞行24米至。处，测得试验田另一侧边界N处的俯角为30。，

线段PH的长为无人机距地面的铅直高度，点”,",N在同一水平线上，点〃,M,N,P,°,R在同一平面上，其中

22.李明某个周六下午从家出发匀速步行去书店买书，买好书后匀速骑共享单车去电影院看电影，电影结束后匀速

骑共享单车回家.图表示李明离家的距离y(km)与离开家的时间«h)之间的对应关系.已知李明家、书店、电影院

依次在同一条直线上.请根据相关信息，解答下列问题：

(1)若李明从家出发的时间是下午2:30,那么他离开电影院的时间是；

(2)求李明从电影院回家的骑行速度是从家出发去书店步行速度的多少倍；

⑶求当l≤r≤1.4时，与r之间的函数关系式.

23.如图，PAPB是。。的两条切线，AB是切点，连接AO并延长，与户8的延长线相交于点C,连接PO,交。

。于点。，连接。8.

(1)求证；NAPo=NBPO；(用两种证法解答)

(2)若。P=OB,试探究尸8与PZ)之间的数量关系，写出并证明你的结论.

24.如图，在正方形ABCZ)中，E,尸分别是AB,BC边上的点，连接。E,DF,EF,G是。£■上一点.

图1图2

(1)如图1,连接GF,当NEGF=90°,AE=CF,NE3F=40。时，求/EFG的度数;

(2)如图2,连接CG,CG与。尸相交于点/7,当AE=3BE,BE=CF时:

①求tan/。EF的值;

②若AB=4,EG=BE,求GC的长.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=0χ2+fex+2(αHθ)与X轴分别交于A,B两点，点A的坐标是(-4,0),

点B的坐标是(1,0),与＞轴交于点C,P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD,X轴，垂足为

(2)如图1,若线段DE将AOC分成面积比为1:3两部分，求点尸的坐标；

(3)如图2,连接OP,是否存在点P,使得NoPD=2/C4O.若存在，求出点尸的横坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】

用冷藏室温度减去冷冻室温度，即可求解.

【详解】

解：3-(-10)=13(°C),

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了有理数的减法，解题的关键是掌握减去一个数等于加上它的相反数.

2.B

【分析】

根据题意将x=l,>=-3代入方程αr-y=l中转化成关于。的方程，解其方程即可求出答案.

【详解】

解：把x=l,y=-3代入方程以-y=l中，

Ci—3)=1,

.*.α=-2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解就是能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值.解题的关键就

是列出关于”的方程.

3.A

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组

的解集.

【详解】

解：由x+2≤0,

得：x≤-2,

由l-2x>—1,

得：∙X‹1,

则不等式组的解集为X≤-2,

在数轴上表示为

答案第1页，共20页

故选：A.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中

间找；大大小小找不到'’的原则是解答此题的关键.

4.B

【分析】

找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【详解】

解：从上面看易得第一行有3个正方形，第二行中间有一个正方形.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

5.A

【分析】

根据平面直角坐标系中点的平移直接求解即可得到答案.

【详解】

解：在平面直角坐标系中，将点P（a“向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（“力-2）,

故选：A.

【点睛】

本题考查平面直角坐标系中点的平移，熟记点的平移规则是解决问题的关键.

6.B

【分析】

根据五个编号中不小于4的两个数是4、5,再利用概率的计算公式即可解答.

【详解】

解：•••五个编号中不小于4的两个数是4、5,

2

.∙.五个编号中不小于4的概率为二，

故选B.

【点睛】

本题考查了概率的定义，概率的计算公式，理解概率的定义是解题的关键.

7.C

【分析】

答案第2页，共20页

根据分子为零，分母不为零计算判断即可.

【详解】

♦.•分式吗！的值等于0,

62+1

∖cι∖-∖-0ycι+IW0,

解得a=1,

故选C.

【点睛】

本题考查了分式的值为零的条件，根据条件列出符合题意的等式和不等式计算是解题的关键.

8.C

【分析】

根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解.

【详解】

∙∙∙E是劣弧CD的中点，ZCOD=90°,

：.NEoC=-NCOD=45°,

2

NBoE=90o+45°=135°,

二ZEAB=ɪNBoE=67.5°.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，正方形的性质和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，正方形的性质和圆心角、

弧、弦的关系是关键.

9.A

【分析】

根据正比例函数的性质得到k<0,再根据一元二次方程的根的判别式即可解答.

【详解】

解：•.♦正比例函数)，=依(％≠o)中，的值随X值的增大而减小，

答案第3页，共20页

.∙.⅛<0,

••・关于X的一元二次方程为炉-x+∕T=0,

Λ∆=(-1)2-4×1X(⅛-1)=1-4(⅛-1)=-4Λ+5>0,

.∙.一元二次方程为V-x+ZT=。有两个不相等的实数根.

故选A.

【点睛】

本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.

10.D

【分析】

根据三角形的内角和可得N54C=112。，再根据作图可得E尸是A3的垂直平分线，AC=NC,即可得出

NB=ZBAM=28。,NaW=NCNA=70°,最后根据角度的和差求解即可.

【详解】

解：YNB=28。,NC=40°,

/.ABAC=180°-28°-40°=112°,

根据作图步骤可知：E尸是AB的垂直平分线，AC=NC,

,AM=BM,

：.ZB=NBAM=280,ZCAN=ZCNA=∣(180o-40o)=70°,

NMAN=lI2o-28o-70o=14o,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了尺规作图，解题的关键是掌握角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和为180。.

11.C

【分析】

根据正方形的性质可求出&XOO的长，根据轴对称的性质可得。b=OC=2,再根据■=求解即可.

【详解】

解：正方形ABCD的边长为2,

.∙.BC=DC=2,NBCD=90o,DO=-BD,

2

BD=BC2+DC2=2√2，

OD=-×2y∕2=y∕2,

2

•：-DEF与DEC关于直线OE对称,

答案第4页，共20页

/.DF=DC=2,

OF=DF-DO=2-五;

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键.

12.C

【分析】

求出点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,2),根据平行四边形性质得出点C的坐标为(1,2),求出直线CZ)的解

2

析式为y=-X+3,得出点。的坐标为(3,0),求出直线8。的解析式为：y=-]X+2,OC的解析式为y=2x,求

出点E的坐标为仔儿得出SBCE=IXlXl求出Sl=LBCo—%CE=IX2-=]

113

S2=SBCD-SBCE=-×1×2--=~,即可求出结果.

【详解】

解：把y=o代入y=2χ+2得：o=2x+2,

解得：Λ=-l,

.∙.点A的坐标为(-1,0),

.∙.OA=I,

把X=O代入y=2x+2得：y=2,

点8的坐标为(0,2),

二OB=2,

；四边形ABCO为平行四边形，

ΛBC=AO=I,BC//AO,OC//AB,

点C的坐标为(1,2),

把(1,2)代入y=r+”得：2=-1+〃，

解得：/1=3(

直线CO的解析式为y=-X+3,

把y=o代入y=-χ+3得：O=-X+3,

解得：X=3,

•••点。的坐标为(3,0),

答案第5页，共20页

设直线BD的解析式为y=H+"把(3,0),(0,2)代入得:

∫⅛=2

⑶+人=。’

k=_2

解得：］3,

b=2

?

・•.直线BO的解析式为：y=--x+2,

•：OC//AB,

・・・OC的解析式为y=2x,

y=2x

联立2…

y=——x+2

Γ3

I3

Jl=-

解得：；，

?，=2

.∙.点E的坐标为

.".SBCE=-×1×I2I=-，

bce2I2)4

,∙Sl=SABCO—SBCE=IX

7

.A=4=7

,^S,^3^3,

4

即岳：邑=7:3,故C正确.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与X轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的面积，平行四边形

的性质，解题的关键是求出点E的坐标.

13.2

【分析】

根据分式的加减法则，即可解答.

【详解】

答案第6页，共20页

3xx÷63xx+62x-6.

解:----+-----==2,

x-33-xx-3x-3x-3

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了分式的加减法，分式的加减法法则是：同分母分式相加减，只把分子相加减，分母不变；异分母分式相

加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算，熟知上述法则是解题的关键.

14.14.4

【分析】

根据五月份的营业额得到每月的增长率即可解答.

【详解】

解：：四月份的营业额为10万元，五月份的营业额为12万元,

，设增长率为X,

Λ10(l+x)=12,

解得：X=O.2,

.∙.月增长率为0.2,

Λ10×(l+0∙2)2=14.4(万元)，

故答案为14.4万元：

【点睛】

本题考查了列代数式中的增长率问题，读懂题意，找出数量关系是解题的关键.

15.9

【分析】

根据平方差公式将1+/-V进行化简，再将x+y=2,χ-y=4代入进行计算求解.

【详解】

解：x+y=2,χ-y=4,

.∙.l+x2-y2

=l+(x+y)(x-y)

=1+2×4

=9.

故答案为：9.

【点睛】

答案第7页，共20页

本题主要考查了代数式求值，平方差公式，理解平方差公式是解答关键.

16.乙

【分析】

根据平均数和方差的意义解答即可.

【详解】

解：因为两人的平均成绩都是9.1环，而乙的方差比甲小，

所以乙的成绩比甲稳定，

所以最有可能选择乙参加比赛.

故答案为：乙.

【点睛】

本题考查平均数和方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大,

即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小,

数据越稳定.

17.4τr

【分析】

求得NoC3的度数，按照扇形面积公式，即可解答.

【详解】

解：NAC8=90。,NA=36。，

/.ZABC=90°-36°=54°,

CB=CD,

.∙.NCDB=NDBC=54°,

・•.ZDCB=180。-54°-54°=72°,

DO2

扇形C8O的面积为WaXzrX（2拓）=4%，

故答案为：4π.

【点睛】

本题考查了等腰三角形等边对等角，扇形面积公式，求出“CB是解题的关键.

18.8

【分析】

由AC，x,可知四边形48。C是梯形，再根据OC=CD,设点］,则AC=&,BD=上,

∖a）∖2aJa2a

CD=a,再利用梯形的面积公式可得"［卷+Q即可求出结果.

-----------=6

2

答案第8页，共20页

【详解】

解：VACLx,BDLx,

：.ZACD=/DBC=90。，

・•・AC//BD,

，四边形AHDC是梯形,

YOC=CD,

：・OD=ZOC,

设点A（a,—1,瓦），则AC=",BD=-^-,CD=a,

.∙∕{⅛+∑）＜，解得：氏=8,

--------=6

2

故答案为：8.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数左的几何意义，由梯形的面积得到关于k的方程是解题

的关键.

19.空

7

【分析】

由旋转的性质得到BD=CE=1,AE=AD=币,ZB=ZACf=60°,由直角三角形的性质求得EN的长，由相似三

角形的判定与性质可求EF的长，即可求解.

【详解】

解：如图，过点A作AHLB尸于点H,过点E作ENLBF于点、N,

.-.DH=BH-BD=-,

2

；.AD=JAH2+DH?=币'

将△回£）绕点A逆时针旋转得到AACE,

答案第9页，共20页

.-.BD=CE=I,AD=AE=币,NB=ZACF=60。,

.∙.ZECN=180o-ZACE-ZACB=60o,

ENLCF,

.∙.CN=∖CE=∖,EN=立CN=立,

2222

.∙.HN=HC+CN=2,

ZAHC=ZENF=骄,

.∙ΛAHF^ΛENF,

.ENEFEF

AE+EF'

.T_EF

"典币+EF'

解得EF=也,

2

.-.NF=^EF2-EN2=}>

./Am_NF_2币

..cos/AFB-=-----,

EF7

故答案为：空.

7

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，添加正确的辅助线是解题的关键.

20.⑴方案三

(2)①180人；②建议学校多开设篮球、足球、乒乓球等项目活动特色课程

【分析】

(1)根据抽样调查的特点，可知方案三最合理；

(2)①根据选择足球的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后即可计算出全校男生选择乒乓球

的人数；②根据扇形统计图中的数据，写出一条建议即可，本题答案不唯一，合理即可.

【详解】

(1)解：方案一中的样本是指定的，不具有随机性和代表性，故方案一不合理；

方案二中样本只是在学校篮球场，不具有广泛性，故方案二不合理；

方案三中样本是随机抽取的，具有随机性、代表性和广泛性，故方案三是最合理的调查方案，

故答案为：方案三；

答案第10页，共20页

（2）解：①∙25÷25%=100（人），900×-×1OO%=18O（人），

.∙.选择乒乓球的人数约为180人；

②建议学校多开设篮球、足球、乒乓球等项目活动特色课程；建议学校增加各类体育设施.

【点睛】

本题考查抽样调查、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

21.60如米

【分析】

先证明PQM〃是矩形，然后在用△尸中求出QM,再在RtAQMV中即可求出答案.

【详解】

解：根据题意可知，PR//HM,PH±HM,ZRPM=a,NRQN=30。,PQ=24米，

∙.∙PQHM,HM=PQ,

四边形尸QM〃为平行四边形，NN=NRQN=30。,

".'PHl.HM,

：.NH=90°,

•••平行四边形PQMH是矩形，

.∙.NPQM=NQMH=90°,

.∙.NQMN=90。,

在HZXPQM中，

VIanZQPM=^^-,tanα=­,即=*,

PQ2,1242

：.QM=60,

在RtAQMN中，

；tanNQNM="，

MN

tan30°=,解得：MN—60-73（米）

MN

试验田的宽度MN为60√3米.

【点睛】

本题考查了解直角三角形，涉及到矩形、平行四边形的判定和性质，证明PQM”是矩形是关键.

22.⑴下午5:30

⑵1.6倍

答案第11页，共20页

【分析】

(1)由图像可知，李明从家出发经过3小时离开电影院，即可确定答案；

(2)根据“路程÷时间=速度”别求出李明从家出发去书店步行速度和李明从电影院回家的骑行速度，进一步计算即

可；

(3)利用待定系法求函数解析式即可.

【详解】

(1)解：由图像可知，李明从家出发经过3小时离开电影院，

,他离开电影院的时间是5：30.

故答案为：下午5:30.

(2)解：李明从家出发去书店步行速度是l∙5+0∙3=5(km∕h),

李明从电影院回家的骑行速度是4÷(3∙5-3)=8(km∕h),

V8÷5=1.6.

，李明从电影院回家的骑行速度是从家出发去书店步行速度的1.6倍.

(3)解：设y与f之间的函数关系式为y=h+6

•••图像经过(1,L5),(1.4,4),

25

k+b=1.5,T

1…4,解得

19'

^τ

∙∙∙y与r之间的函数关系式为y=f25一］19.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用、函数图像等周四点，读懂给定的图像的含义是解题的关键.

23.⑴见解析

Q)PB=布PD,见解析

【分析】

(1)证法一：如图.连接。B.利用切线的性质证明RtAPAO丝RtAPBO(HL),进而可得结论；证法二：如图.连

接08,A8,A8与OP相交于点E∙证明直线OP是线段A3的垂直平分线，结合等腰三角形三线合一的性质证明即可;

(2)如图，连接08.由切线的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质证明NZ)3P="P6=30。，AODB为

答案第12页，共20页

等边三角形，即可得出结论尸B=6PO.

【详解】

(1)证法一：如图.连接08.

PA,PBO的切线，A,B是切点,

OA±PA,OB±PBQA=OB.

在Rt∆PAO与RtAPBO中，

PO=PO,OA=OB,

.∙.Rt∆Λ4O^Rt∆PBO(HL),

.-.ZAPO=ABPO.

证法二：如图.

连接OB,AB,AB与。尸相交于点E.

PA,PB是O的切线，A,B是切点，

.∙.OA1PA,OBɪPBQA=OB.

ZPAO=NPBo=90o,ZOAB=ZOBA,

:.NPAO-NOAB=NPBO-NoBA,APAB=APBA,

.∖PA=PB,

，点P在线段AB的垂直平分线上，

OA=OB,

点0在线段AB的垂直平分线上，

直线OP是线段AB的垂直平分线，即PE垂直平分AB.

PA=PB,

答案第13页，共20页

.∙.ZAPO=ZBPO.

(2)PB=WPD.

证明：如图.连接。8.

PB是:。的切线，8是切点，

..OBLBP.

・•.NOHP=90。，

,DP=DB,OD=OB,

ZDPB=ZDBPyZODB=ZOBD,

/ODB=/DPB+/DBP,

:.NODB=2/DBP,

・•・∕0BD=2∕DBP,

.NoBD+ZDBP=90。,

.∙.2∕DBP+/DBP=90。，

:"DBP=/DPB=30。.

/.ZODB=60°.

OBOB

•.在Rt中，PB=

tanZOPB^tan30°,

.∙.PB=√3OB,

・.・OD=OB,ZODB=60°,

.∙.ODB为等边三角形,

.*.OB=BD9

DP=DB,

∖OB=PD,

PB=√3PD.

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形

答案第14页，共20页

的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有一定的综合性，但难度不大，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确

添加辅助线是解题的关键.

24.(1)20°

(2)©2；②至

5

【分析】

(1)由正方形的性质得AD=CO,ZA=NC=90。，可证明VAr)E史CO尸，得DE=DF,则

ZDEF=ZDFE=→(180o-NEDF)=70°,所以ZEFG=90°-ZDEF=20°；

11RFBF

(2)①设正方形ABC。的边长为m，则AB=CD=m，BF=CF=-m,BE=-m,所以定=而，可证明

EFBE∖FD

∆EBF^∆FCD,得ZBFE=NCDF,—=—=-,再证明NfED=90°,则tanNOEF=寸=2；

卜DCb2EF

②连接GF,先证明"EEDS_必尸得“££)=NBE/，再证明尸得NEG尸=NB=90。，由

AB=BC=CD=4,得GF=3F=CF=2,则NFGC=/FCG,再推导所以ZDGC=NDCG,则GO=CO=4,所以

OF垂直平分CG,根据勾股定理得Z)F=JC尸+CD?=2小，则S四边形8,=；'2J^GC=Jx2χ4+gχ2χ4,即可

求得GC=/.

5

【详解】

(1)解：；四边形488是正方形，

..AD=CD,ZA=NC=90°,

在VAoE和CDF中，

AD=CD

<ZA=ZC,

AE=CF

.∙.VADEgVC西SAS),

DE=DF9

.ZEDF=AOo,

ZDEF=ZZ)FE=→(180o-ZFDF)=∣×(180o-40o)=70°,

./EGF=90。,

..NEFG=90。一ADEF=90°-70°=20°,

.∙./EFG的度数是20。.

(2)①设正方形A88的边长为加，则AB=CL>=m，BF=CF=^m,

答案第15页，共20页

AE+BE=AB=m,AE=3BE,

.0.3BE+BE=m,

:.BE=—m,

4

BEST

'~CF~~~2ɪ,

—mCDm2

2

BEBF

~CF~~CD

ZB=/FCD=90。，

..EBFSFCD,

EFBEj

."BFE=NCDF

FD~CF~2

/.ZBFE+ZCFD=ZCDF+ZCFD=90o,FD=2EF,

ΛZEFD=180o-(ZBFE÷ZCFD)=180o-90o=90o,

FD

:.tanΛDEF=——叱=2

EFEF

.∙.IanNDEF的值是2.

②如图2,连接GA

图2

EFBE

~FD~CFBF=CF,

.EFFDFD

~BE~^F~~BF'

EFFD

/EFD=NB=90。~BE~^F

/.EFD^_EBF，

:.NFED=/BEF,

在∕∖EG尸和ZkEB尸中,

EG=EB

<ZGEF=ZBEF,

EF=EF

.∖∕∖EGF^∕XEBF(SAS),

答案第16页，共20页

:.ZEGF=ZB=90°f

AB=BC=CD=4f

GF=BF=CF=-BC=-×4=2

22f

:./FGC=ΛFCG,

ZFGD=180o-ZEGF=180o-90°=90o=NFCD,

.∙.ZFGD-ZFBC=ZFCD-ZFCG,

・.NDGC=NDCG,

,∖GD=CD=4,

点尸、点。都在CG的垂直平分线上，

.∙.Ob垂直平分CG,

∙'S四边形CDGF=sg+SDCf,DF=yjCF2+CD1=√22+42=2√5，

∕x2√^GC=1χ2x4+L2x4,

222

GC=晅,

5

.∙.GC的长是巡.

5

【点睛】

此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾

股定理、锐角三角函数与解直角三角形、根据等面积法求线段的长度等知识与方法，灵活运用所学知识是解题的关

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