可靠性理论-第二章

第二章可靠性的概率统计知识可靠性：产品、设备、系统在规定时间内，规定条件下，完成规定功能的可能性及能力。概率论和数理统计是可靠性工程重要的数学基础。2.l可靠性特征量可靠度可靠度是“产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率”。可靠度是时间t的函数，故也称为可靠度函数，记作R(t)。通常表示为

R(t)=P(T>t)(2-1-1)R(0)=1，R(+∞)=0。

R(t)的估计值为R(t)=累积失效概率F(t)累积失效概率是寿命的分布函数，也称为不可靠度，记作F(t)。它是产品在规定的条件下和规定的时间内失效的概率，通常表示为

F(t)=P(T≤t)或F(t)=1－R(t)因此F(0)=0，F(+∞)=1。失效概率密度f(t)失效概率密度是累积失效概率对时间t的导数，记作f(t)。它是产品在包含t的单位时间内发生失效的概率，可用下式表示

f(t)=或F(t)=F(t)的估计值

f（t）的估计值失效率(t)失效率(瞬时失效率)是：“工作到t时刻尚未失效的产品，在该时刻t后的单位时间内发生失效的概率”，也称为失效率函数。由失效率的定义可知，在t时刻完好的产品，在(t，t+△t)时间内失效的概率为P(t<T≤t+△tI|T>t)，在时间内的平均失效率为当△t→0时，就得到在t时刻的失效率由此式可见，产品的失效率越小，产品的可靠性越高；反之，失效率越大，产品的可靠性就越低。的估计值(见图2.3)为:

式中n(t)的含义与(2—1—8)式中的n(t)相同，n(t)、N与(2—1—2)式中的n(t)、N相同。

失效率的单位是一个非常重要的特征量,它的单位通常用时间的倒数表示。但对目前具有高可靠性的产品来说，就需要采用更小的单位来作为失效率的基本单位，因此失效率的基本单位用一个菲特(Fit)来定义，1菲特=，它的意义是每1000个产品工作10h，只有一个失效。有时不用时间的倒数而用与其相当的“动作次数”、“转数”、“距离”等的倒数更适宜些。失效率曲线产品的可靠性取决于产品的失效率，失效率曲线又称为浴盆曲线(Bathtub-curve)。第一段曲线是元件的早期失效期：随着产品工作时间的增加，失效率迅速降低，失效率属于递减型型。原因：设计，原料和制造过程中的缺陷造成。这个时期的长短随设备或系统的规模和上述情况的不同而异。为了缩短这一阶段的时间，产品应在投入运行以前进行试运转，以便及早发现、修正和排除缺陷；或通过试验进行筛选，剔除不合格品，以便改善其技术状况。

第二段曲线是元件的偶然失效期，也称随机失效期：这一阶段的特点是失效率较低，且较稳定。产品可靠性指标所描述的也就是这个时期，这一时期是产品的良好使用阶段。第三段曲线是元件的耗损失效期：这一阶段的失效率随时间延长而急速增加，元件的失效率属于递增型。到了这一阶段，大部分元件都要开始失效，其失效是由带全局性的原因造成的，说明元件的损伤已经严重，寿命即将终止。当某种硬件的失效率已达到不能允许值时，就应进行更换或维修，这样可延长使用寿命，推迟耗损失效期的到来。BathtubcurveforacarBurn-inillustrationPreventivemaintenance

2.1.4

平均寿命平均寿命的含义是寿命的数学期望，平均寿命是一个标志产品平均能工作多长时间的特征量。如显像管、电视机、空调、计算机等常用平均寿命作为可靠性指标。不可修复(指失效后无法修复或不修复而进行替换)产品的平均寿命是指产品失效前的平均工作时间，记为MTTF(MeanTimeToFailure)；可修产品的平均寿命是指相邻两次故障间的平均工作时间，称为平均无故障工作时间或平均故障间隔时间，记作MTBF(MeanTimeBetweenFailures)。如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，那么二者就没有什么区别了，统称为平均寿命。

MTTF的估计值为:

(2-1-14)

式中n——测试的产品总数；

——第i，个产品失效前的工作时间，单位为h。

MTBF的估计值为:

(2-1-15)

式中n——测试的产品总数；

N——测试产品的所有故障数；

ni——第i个测试产品的故障数；

tij――第i个产品的第j－1次故障到第j次故障的工作时间，单位为h。因此MTTF和MTBF的估计值可表示为:2.1.5寿命方差和寿命标准差平均寿命能够说明一批产品寿命的平均水平，而寿命方差和寿命标准差则能够反映产品寿命的离散程度。产品的寿命方差定义为:

（2-1-17）假如t1，t2，…，tn为从一批产品中所抽取的n个样品的寿命数据，则这批产品的平均寿命可用来估计。而这批产品的寿命方差的估计值为:

（2-1-18）

寿命均方差（标准差）为:

（2-1-19）

当n不大时，或对于小子样来说，其寿命方差和标准差分别为:

（2-1-20）（2-1-21）

2.1.6可靠寿命、中位寿命和特征寿命当R(t)已知时，可以求出任意时间t的可靠度，反之，若确定了可靠度，也可以求出相应的工作寿命(时间)。可靠寿命就是指可靠度等于给定值r时产品的寿命，记作t(r)，即R[t(r)]=r。可靠寿命的表达式为:

（2-1-22）式中的

是R(t)的反函数。当R＝0.5时产品的寿命称为中位寿命，即:

（2-1-23）当只0.368时产品的寿命称为特征寿命，即:

（2-1-24）从定义可看出，产品工作到可靠寿命t(r)，大约有100(1—r)％的产品失效；产品工作到中位寿命t(0.5)，大约有一半失效；产品工作到特征寿命，大约有63.2％的产品失效，对于失效规律服从指数分布的一批产品而言，其特征寿命就是平均寿命，因此约有63.2％的产品将在达到平均寿命前失效，就是说，能够工作到平均寿命的产品仅占36.8％左右。

例2.1.1

若已知某产品的失效率为常数,／h，可靠度R(t)=e试求可靠度R=99％的可靠寿命t(0.99)以及中位寿命t(0.5)和特征寿命t(e-1)。解：已知R(t)=e，两边取对数，即lnR(t)=-得

故可靠寿命:

中位寿命:

特征寿命:

例2.1.2

对某不可修设备，投人100台进行试验，试验到1000h有5台失效，继续试验到1200h，又有1台失效，至试验结束时所有设备失效，总的工作时间为106h，试求R(1000)，F(1000)，1000)，f(1000)以及设备的平均寿命。解：由题意知：N=100,n(1000)=5，=1200—1000=200h，n(1000)=1，T=106h。根据前面所讲的公式得:

2.2维修性特征量维修性是指在规定的条件下使用的可维修产品，在规定的时间内，按规定的程序和法进行维修时，保持或恢复到能完成规定功能的能力。这里，规定的条件是指维修三要素：产品维修的难易程度(可维修性)；维修人员的技术水平；维修设施和组织管理水平(备用件、工具等的准备情况)。如果把产品从开始出故障到修理完毕所经历的时间，即把故障诊断、维修准备及维修实施时间之和称为产品的维修时间，记为Y。显然，它是一个随机变量。我们把产品维修时间Y所服从的分布称为维修分布，记为G(t)。

G(t)=P(Y≤t)如果y是连续型随机变量，其维修密度函数

g(t)=G(t)像产品的失效分布一样，维修时间的分布可以通过对维修数据的处理分析获得大致了解。同样，像衡量产品的可靠性一样，产品的维修性亦可采用维修度、平均修复时间、修复率指标加以衡量。2.2.1维修度维修度(Maintainability)是指在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的时间(0，t)内完成修复的概率，记为M(t)。

M(t)=P(Y≤t)=G(t)（2-2-1）维修度是时间(维修时间t)的函数，故又称为维修度函数M(t)，它表示当t=0时，处于失效或完全故障状态的全部产品在t时刻前经修复后有百分之多少恢复到正常功能的累积概率。

2.2.2修复率修复率指修理时间已达到某一时刻但尚未修复的产品在该时刻后的单位时间内完成修理的概率，可表示为(t)。它是用单位时间修复发生故障的产品的比例来度量维修性的一个尺度。

(2-2-2)式中m(t)——维修时间的概率密度函数，即（2-2-3）若M(t)服从指数分布，即（2-2-4）则修复率为常数。

2.2.3平均修复时间MTTR平均修复时间是指可修复的产品的平均修理时间，其估计值为修复时间总和和修复次数之比，记作MTTR(MeanTimeToRepair)。（2-2-5）若修复时间服从指数分布，则平均修复时间是修复率的倒数，即（2-2-6）可靠性是由设计、制造、使用等因素所决定的，而维修性是人为地排除故障，使产品的功能恢复，因而人为因素影响更大。例2.2.1

某电视机厂的维修站修理了该厂生产的20台电视机，每台的修理时间(单位min)如下：48，59，68，86，90，105，110，120，126，128，144，150，157，161，172，176，180，193，198，2000试求：(1)160min的维修度；(2)MTTR；(3)120min时的修复率，t=15min。解：(1)

(2)

(3)

2.3有效性特征量有效性也称可用性。它是综合反映可靠性和维修性的一个重要概念，是一个反映可维修产品使用效率的广义可靠性尺度。对许多军用晶(如军用微波电台、发电机组)来说，有效性是至关重要的，其反映有效的指标(有效度、可用率)乃是可靠性的第一指标。有效性表示可维修产品在规定的条件下使用时具有维持规定功能的能力。这里所指的规定条件包括产品的工作条件和维修条件。有效度是有效性的数量指标。2.3.1有效度有效度(可用度)是指可维修的产品在规定的条件下使用时，在某时刻具有或维持其功能的概率。对于可维修的产品，当发生故障时，只要在允许的时间内修复后又能正常工作，则其有效度与单一可靠度相比，是增加了正常工作的概率。对于不可维修的产品，有效度就仅决定于且等于可靠度了。显然，有效度是时间的函数，故又可称为有效度函数，记为A(t)。它又分为几种形式。(1)瞬时有效度(InstantaneousAvailability)：瞬时有效度指在某一特定瞬时，可能维修的产品保持正常工作使用状态或功能的概率，又称瞬时利用率，记为A(t)。它反映在t时刻产品的有效度，而与t时刻以前是否失效无关。瞬时有效度常用于理论分析，而不便于在工程实践中应用。(2)平均有效度(MeanAvailability)：可维修产品在时间区间[0，t]内的平均有效度指瞬时有效度A(t)在[0，t]内的平均值，记为(t)。

(2-3-1)设备或系统在执行任务期间[t1,t2]的平均有效度，又称任务有效度，即:

（2－3－2）

它表示设备或系统在任务期间[t1，t2]可以使用的时间在时间区间[t1，t2]中所占的比例。(3)稳态有效度(SteadyAvailability)：稳态有效度或称为时间有效度(TimeAvailability)，又叫可工作时间比UTR(UpTimeRatio)，记为A()或A。它是时间t趋于时瞬时有效度A(t)的极限，即

（2－3－4）稳态有效度也可表示为

A=（2—3－4）

A＝（2－3－5）当可靠度R（t）和维修度M（）均为指数分布，且MTBF＝时，有

(2－3－6)

如上所述的瞬时、任务、稳态有效度之间的关系见图2.5。(4)固有有效度(InherentAvailability)：固有有效度可表示为:

A=(2-3-7)

式中MADT(MeanActiveDownTime)――两次维修间平均不工作时间；

MTBF――平均无故障工作时间。这是事后维修的公式，若是预防性维修，则上式中的MTBF应以平均维修时间MTTM（MeanTimeToMaintenance）代替。固有有效度也可表示为:

式中MTBM（MeanTimeBetweenMaintenances）――两次维修间平均时间；

――平均维修时间。

提高设备或系统的有效度可采用两条途径：一是提高设备的可靠性，延长设备的平均故障间隔时间MTBF；二是加强维修性设计，提高维修性，以缩短平均修复时间MTTR。但是，我们应注意到，提高MTBF与缩短MTTR之间是有矛盾的。为了提高维修性，缩短MTTR，必须采取模块化设计、故障隔离设计、可接近性设计、可更换与可检测设计，但这样又增加了设备的复杂性，使得动态连接装置＼附加检测电路及连接点的数目大大增加，从而使设备可靠性降低，MTBF下降.当MTBF的值很低时，MTTR的缩短将使设备有效度A有较大增益。但当MTBF大于150h左右时，MTTR的缩短对于有效度A的增益就很小了。因此，在MTBF<150h时，更应加强维修性设计，以缩短MTTR，更有效地提高设备的有效度。

寿命分布统计分布为数学模型。概率密度函数(pdf)是描述寿命分布的数学函数。一旦你在已知寿命分布情况下计算出了参数，你能从分析中得到很多图和计算结果，包括：给定时间的可靠度:

在一个特定的时间点，一个产品能够成功工作的概率。给定时间的失效概率:

在一个特定的时间点，一个产品发生故障的概率。失效概率也称为"不可靠度"。平均寿命:产品在失效前平均能工作多少时间。失效率:

产品在某时刻后单位时间内发生失效的概率。保证时间:当可靠度等同于一个目标值时，所估计的时间。例如，当可靠度为90％时，估计时间为4年。CommonlyUsedDistributionsLifeModelsExponentialConstantfailurerateWeibullCanbeincreasing,decreasingorconstantfailurerateMonotonicLognormalIncreasing,thendecreasingasymptoticallytozeroNormalIncreasingfailurerateOthers

GammaGeneralizeGammaLoglosticGumbelMixedmodels(e.g.mixedWeibull)CompetingFailureMode(CFM)TheExponentialDistributionsTheexponentialdistributionisacommonlyuseddistributioninreliabilityengineering.

tisarandomvariablethatrepresentstime.representswhatiscommonlyreferredtoasthe“parameter”ofthedistribution.locationparameter,

DistributionParametersTheparametersofadistributiondescribeanddefinethatparticulardistribution.Forexample,intheexponentialdistribution,dependingonthevalueoflambda,,f(t)willexhibitdifferentcharacteristics.Foranydistribution,theparameterorparametersofthedistributionareestimated(obtained)fromthedata.ExponentialpdfObtainingReliabilityRelatedFunc