高等数学(II)(第十一章、曲线积分与曲面积分)

1第十一章积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分2第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法机动目录上页下页返回结束对弧长的曲线积分3一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”

可得为计算此构件的质量,1.引例:

曲线形构件的质量采用机动目录上页下页返回结束4设

是空间中一条有限长的光滑曲线,义在

上的一个有界函数,都存在,

上对弧长的曲线积分,记作假设通过对的任意分割局部的任意取点,2.定义以下“乘积和式极限”那么称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，

称为积分弧段.曲线形构件的质量和对机动目录上页下页返回结束5如果L是xoy

面上的曲线弧,如果L是闭曲线,那么记为那么定义对弧长的曲线积分为机动目录上页下页返回结束思考:(1)假设在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx

可能为负.63.性质〔k为常数)(

由组成)(l为曲线弧

的长度)机动目录上页下页返回结束7二、对弧长的曲线积分的计算法根本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧那么曲线积分求曲线积分机动目录上页下页返回结束8机动目录上页下页返回结束说明:(1)积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.9如果曲线L的方程为那么有如果方程为极坐标形式:那么推广:

设空间曲线弧的参数方程为那么机动目录上页下页返回结束10例1.

计算其中L是抛物线与点

B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)机动目录上页下页返回结束11例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:

建立坐标系如图,那么机动目录上页下页返回结束12例3.椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:机动目录上页下页返回结束13例4.

设

C

是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:

分段积分机动目录上页下页返回结束14内容小结1.定义2.性质(l

曲线弧

的长度)机动目录上页下页返回结束153.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧机动目录上页下页返回结束3-1216第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分17一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”恒力沿直线所作的功解决方法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束181)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,那么有所做的功为F

沿那么用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束193)“近似和”4)“取极限”(其中

为n

个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束202.定义.设

L

为xoy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,假设对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,那么称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束21假设为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.假设记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束223.性质(1)假设L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－表示L的反向弧,那么那么

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!机动目录上页下页返回结束23二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为那么曲线积分连续,存在,且有机动目录上页下页返回结束24特别是,如果L

的方程为那么对空间光滑曲线弧

:类似有定理目录上页下页返回结束25例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,那么解法2取y为参数,那么从点的一段.机动目录上页下页返回结束26例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为那么那么机动目录上页下页返回结束27例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束3-123428例4机动目录上页下页返回结束为折线ABCOA(如图),计算29例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束30三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为L切向量的方向余弦为那么两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束31类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为机动目录上页下页返回结束321.定义2.性质(1)L可分成k

条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束333.计算•对有向光滑弧•

对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束344.两类曲线积分的联系•

对空间有向光滑弧

:机动目录上页下页返回结束35第三节一、格林公式

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件机动目录上页下页返回结束格林公式及其应用36区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.

设区域D

是由分段光滑正向曲线L围成,那么有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式机动目录上页下页返回结束37证明:1)假设D既是X-型区域,又是Y-型区域,且那么定理1目录上页下页返回结束38即同理可证①②①、②两式相加得:定理1目录上页下页返回结束392)假设D不满足以上条件,那么可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕定理1目录上页下页返回结束40推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积定理1目录上页下页返回结束41例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:

令那么利用格林公式,得机动目录上页下页返回结束42例2.

计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:

令,那么利用格林公式,有机动目录上页下页返回结束4-123443例3.

计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:

令设L所围区域为D,由格林公式知机动目录上页下页返回结束44在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和

lˉ

所围的区域为林公式,得机动目录上页下页返回结束45二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意分段光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数那么以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束46说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,那么(根据条件(1))定理2目录上页下页返回结束47证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分那么同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数定理2目录上页下页返回结束48证明

(3)(4)设存在函数

u(x,y)使得那么P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2目录上页下页返回结束49证明

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕定理2目录上页下页返回结束50说明:根据定理2,假设在某区域内那么2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或那么原函数为假设积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束51例4.

计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,那么机动目录上页下页返回结束52例5.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:

设那么由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。机动目录上页下页返回结束53例6.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令那么由定理2

可知存在原函数机动目录上页下页返回结束54例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令那么有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动目录上页下页返回结束55思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,此题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!机动目录上页下页返回结束3-123456内容小结1.格林公式2.等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,那么有机动目录上页下页返回结束57思考与练习1.设且都取正向,问以下计算是否正确?提示:机动目录上页下页返回结束582.设提示:第四节目录上页下页返回结束59第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束对面积的曲面积分60一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质

“大化小,常代变,近似和,求极限”

的方法,量M.其中,

表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动目录上页下页返回结束61定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.假设对做任意分割和局部区域任意取点,那么称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,

叫做积分曲面.机动目录上页下页返回结束62那么对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.那么有•线性性质.在光滑曲面

上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.假设是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动目录上页下页返回结束63定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法

那么曲面积分机动目录上页下页返回结束64说明:可有类似的公式.如果曲面方程为机动目录上页下页返回结束65例1.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:机动目录上页下页返回结束66例2.

计算其中

是由平面坐标面所围成的四面体的外表.解:

设上的局部,那么与

原式=分别表示

在平面机动目录上页下页返回结束67例3.

设计算解:

锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的局部,它在xoy面上的投影域为那么机动目录上页下页返回结束68机动目录上页下页返回结束4-3469例4解7071例572解4-1273〔左右两片投影相同〕7475四、小结1．对面积的曲面积分的概念;76内容小结1.定义:2.计算:设那么机动目录上页下页返回结束对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算.〔按照曲面的不同情况投影到三坐标面上〕注意：一投、二代、三换．77第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质

三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲面积分78一、有向曲面及曲面元素的投影机动目录上页下页返回结束观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧79莫比乌斯带典型单侧曲面:播放80曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:81二、对坐标的曲面积分的概念与性质

1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:假设是面积为S的平面,那么流量法向量:

流速为常向量:

机动目录上页下页返回结束82对一般的有向曲面

,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,那么机动目录上页下页返回结束83设

为光滑的有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R

叫做被积函数;

叫做积分曲面.或第二类曲面积分.以下极限都存在向量场假设对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.机动目录上页下页返回结束84称为Q

在有向曲面上对

z,x

的曲面积分;称为R

在有向曲面上对

x,

y

的曲面积分.称为P

在有向曲面上对

y,z

的曲面积分;假设记正侧的单位法向量为令那么对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动目录上页下页返回结束1-34853.性质(1)假设之间无公共内点,那么(2)用ˉ表示的反向曲面,那么机动目录上页下页返回结束86三、对坐标的曲面积分的计算法定理:

设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,那么机动目录上页下页返回结束说明:如果积分曲面取下侧,那么•假设那么有(前正后负)87•假设那么有(右正左负)机动目录上页下页返回结束88例1.

计算其中是以原点为中心,边长为

a

的正立方体的整个外表的外侧.解:

利用对称性.原式

的顶部取上侧

的底部取下侧机动目录上页下页返回结束1-1289解:把分为上下两局部例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第五卦限局部.机动目录上页下页返回结束90机动目录上页下页返回结束91四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回结束92令向量形式(A在

n上的投影)机动目录上页下页返回结束93例3.

计算曲面积分其中

解:

利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间局部的下侧.机动目录上页下页返回结束94原式=机动目录上页下页返回结束95内容小结机动目录上页下页返回结束面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分转化当时，〔上侧取“+”,下侧取“”)96性质:联系:机动目录上页下页返回结束97求取外侧.解:注意±号其中机动目录上页下页返回结束思考练习98利用轮换对称性机动目录上页下页返回结束99第六节一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件*三、通量与散度机动目录上页下页返回结束高斯公式通量与散度100一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲

上有连续的一阶偏导数,函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,那么有(Gauss公式)高斯目录