考研数学试题详解及评分参考

年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数学（一一、填空题：(本题5小题，每小题3分，满分15(1)lim(11).xtan1【答】应 31tanxtanxsec2xtan2 1【解】 )=22322xxtanx年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数学（一一、填空题：(本题5小题，每小题3分，满分15(1)lim(11).xtan1【答】应 31tanxtanxsec2xtan2 1【解】 )=22322xxtanx xsin(xt)dt 2.0【答】应填sinx2x0xsin(xt)dt令2sinudu2sinudusinx22u0x0微分方程y''4y'e2x的通解为y ce2xc1x)e2x，其中C，C 124【解】特征方程为r40，解得r2r2.y4y0yce2xce2x 2由于非齐次方程右端的非齐次项为e2x，指数上的为特征方程的单根，故原y*Axe2xA1yce2xc1x)e2x1244设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值 10110 因|AE|n0(1)n1n1(n).故矩阵A的n 0征值为n和0(5)AB和CABC1999119PPA)PB)P(C) ，且已知PAUBU).214PABC)P()0,故9P(AB)P(AC)19PPA)PB)P(C) ，且已知PAUBU).214PABC)P()0,故9P(AB)P(AC)P(BC)P2(A)P(AUBUC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(PA3PA1PA1PA13PA3P2A，解4424二、选择题：(本题5小题，每小题3分，满分15x【解】f(x)的原函数f(x)可以写成F(x) f(t)dtC的形式，0xxFx f(t)dtC f(ud(uC.f(x00xfufuF(xf(u)duCF(x，故(A)为正确选项0f(xcosxF(xsinx1f(xcos2xF(x1x1sin2xC (D)f(x)1在(0,F(x)lnx在(0,内单减xx1cos(2)f(xg(xf(xx0xx(A)(D)可f(x)f1coslimxg(x)【解】f(0)0，f(0)xxxf(xx0处可导，从而选199920x1/x，x，S(x) acosf(x)(3)221/2x21s(52其中a f(x)cosnn0122340x1/x，x，S(x) acosf(x)(3)221/2x21s(52其中a f(x)cosnn0122344f(x是定义在0,1S(x为其在(S(5)S(1)S()1[S(10)S(10)]1(11)3122 2 11S()S(S(x是偶数函数得到的22(A)当mn(C)当nm(B)当mn(D)当nmABm阶方阵，由于rABmin(rAr(Bmin(mnmnrABnm.AB0，故选P(XY0)2P(XY0)P(XY1)2P(XY1)22XYXY22~N~NXY~N(1,2),XY~N(1,2即22于是有P(XY10)1P(XY10)1即2222PXY1)1PXY1)12三、(本题满分52yy(xzz(x是方zxf(xyF(xyz0所确定的函数f19993dz解：zxf(xy)和F(xyz0的两端x求导，fx(1dy)f2F xfdydzfxfdz解：zxf(xy)和F(xyz0的两端x求导，fx(1dy)f2F xfdydzfxf . yzx (xf)Fyxf(FxfF0)……5Fxfyzyz（注：不写出条件FyxfFz0不扣分四、(本题满分5I(exsinybxydxexcosyaxdy，其中abLL 2axx2到点O(0,0)的弧解一：添加从点O(0,0)y0A(2a0)的有向直线L1I(exsinyb(xy))dx(excosyL(exsinyb(xy))dx(excosy……1 (ba)dxdya2(ba)……312DDLL1所围成的半区域2I2(bx)dx2a2b……40II1I22a(ba2ab22)ab2a2223……5 (exsinyb(xy))dx(excosyL esinydxecosydy b(xy)dxaxdyxx……1LL前一部分与路径无关，所以exsinydxexcosydyexsiny0……219994xaacost从0到yasinb(xy)dxaxdy (absintabsintcostabsintacostacos222 32L0xaacost从0到yasinb(xy)dxaxdy (absintabsintcostabsintacostacos222 32L02a2b1a2b1a3……422从而I 2)ab a23……522五、(本题满分6y(xx0)y(x0,y(0)1yy(xP(x,y)作该曲线的切线x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记，区间[0,xyy(xs2，并设2s1s21yy(x解：yy(xP(xy处的切线方程为Yyy(xXxx轴的交点为xy0).y(x0,y(0)1y(x0212y于是S1 ).xx又S y(t)dt，由条件2SS1 y(t)dt……221200两边x求导并化简得yyy)2……3pyypdpp2dpdy C C1y，于是y 2……5注意到y(0)1，并由（*）式得y(0)1.由此可得C11,C20yex六、(本题满分6x0(x21)lnxx1)2证一：令(xx21lnxx1)2，知(10……6由于(x)2xlnxx21(1)01(x)2lnxx2(x31)……319995所以当0x1时，(x)0；当1x时，(x)0，从而推知当x(0,时(x)0.由(1)0推知当0x1时，(x0；当1x时，(x0所以当0x1时，(x)0；当1x时，(x)0，从而推知当x(0,时(x)0.由(1)0推知当0x1时，(x0；当1x时，(x0再由(10x0时(x21)lnxx1)2……4……5……6x证二：令(xlnxxx2(x)120（x0……3 (x x(x因(1)0，所以当0x1时，(x0，当1x时，(x)0x0时(x21)(x(x21)lnxx1)20.即(x21)lnxx1)2（注：也可令(xx1)lnxx1)来处理.）七、(本题满分7分)……5……6（1N×1m1J；m，N，s，J…1xdx处，克服缆绳重力所做的功为dw250(30x)dx从而w 50(30x)dx22500……3……420在时间间隔[ttdt内提升污泥需所做功为dw33(200020t)dt 10，故w 3(200020t)dt57000.……5330w12000225005700091500……6八、(本题满分7x yP(xyzS，SP z2 19996的距离，求x,yz)(xyz为点O(0,0,0到平面S22解：设X,YX为上任意一点，则zZ1……12从而知(x,y,z) z2……3 y由z1 )，有 .……4 21 21 4x2ddS1(x)(y22……52的距离，求x,yz)(xyz为点O(0,0,0到平面S22解：设X,YX为上任意一点，则zZ1……12从而知(x,y,z) z2……3 y由z1 )，有 .……4 21 21 4x2ddS1(x)(y22……521(x 2y2 (4r2)rdr 114S2 (4xy d……7(x,y, 200D九、(本题满分7设a tanxdxn4n01(2)试证：对任意的常数0(1) (anan2)的值n1n1411n1n证：(1)因(anan2ntan2tan……1n041n1tan1tndtn2tanxsec，……2n(n00nn1(a ) 11. i(ini1所以(anan2limSn1……4n1ttanx1(2)因a tann2dt4……5n010n1 tdtn……60an111n11收敛……7n(n1nn19997十、(本题满分8 cA3bA1 a1,1,1)，求abc十、(本题满分8 cA3bA1 a1,1,1)，求abc和的值0，属于的一个特征向量为T0解：AA*|A|EEA*……1……2AAAA.AA*E,所以A*000 c311即 b0……40 1a1 (2)，由(1)和(3)，解得00(a1c)由此可得5b3)(……50(1ca)将01代入(2)和(1)，得b3,aca5a3由|A|1和ac,a31,ac21因此a2,b3,c2,0十一、(本题满分6B的秩r(Bn……8即(Bx)TA(Bx0Bx0Bx0只有零解.从而r(B)n充分性因(BTAB)TBTATBBTABBTAB为实对称矩阵.r(B)n，则线性方程组Bx0只有零解.从而对任意的实nx0,Bx0ABx0，有(Bx)TA(Bx0……2……3……4……619998十二、(本题满分8关于Y的边缘分布中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处解十三、(本题满分6( 0xXf(x,,X3 n其)十二、(本题满分8关于Y的边缘分布中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处解十三、(本题满分6( 0xXf(x,,X3 n其)E(X)xf(x)dx (x)dx2解……21nn XX，令X，得的矩估计量为2X……32,E(X) x2f(x)dx (x)dx2,06DXE(X)[E(X)] (222……5 2.4所以2X)D(2X)4D(X) D(Xn……619999YXP{Xxi}124181121418381434P{Yyj}p62131YXP{Xxi}1818P{Yyj}p61数学（二一、填空题：(本题5小题，每小题3分，满分15xetsin(1)曲线 yetcos【答】应填y2x10 etcostetsinx0t0dy12 etsin2t2etcos数学（二一、填空题：(本题5小题，每小题3分，满分15xetsin(1)曲线 yetcos【答】应填y2x10 etcostetsinx0t0dy12 etsin2t2etcos(2)设函数yy(x)由方程ln(x2y)x3ysinx确定，则 x2x0y1.x0,y1 dx .x26x1ln(x26x13)4arctanx3CC为任意常数)22 d(x6x2 dxx26xx26x21ln(x26x13)4arctanx3C2213在区间[]上的平均值 1 332221131dx3sin2d( sin2)|321633241126199910二、选择题：(本题5小题，每小题3分，满分1515xsinsindtx (1t)tdt，则当x0时，(x(x设(xt0(A)二、选择题：(本题5小题，每小题3分，满分1515xsinsindtx (1t)tdt，则当x0时，(x(x设(xt0(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)(D)sintsin55e【解】因lim(x)5lim 0.1(1sinx)sinsin(1t)t0同数学第二、（1）题“对任意给定的0,1N，当nNxn收敛于a2xn(A)充分条件但非必要条件(C)N1，当nN1时，恒有|xna|1”.因此，当xn}收敛于a(0,1)，必有130N1，当nN1|xna|132NN11，知当nN1，即nN时，恒有|xna|22xn成立，则对任意给定的0，当0,1N1131，而当0,1N1N1，当nN1，即nN时，恒xn21330,1数大，故更加有“对任意给定的0N1，当nN11311恒有|xna|1”.x22x3xx12x3x4xx22x4x5x2x32x3x4xf(xfx)0(5)1 1999111110011100001f(x1200x(x7)fx)02.故选三、(本题满分51tanx1sin计算.xln(1x)xtanx1110011100001f(x1200x(x7)fx)02.故选三、(本题满分51tanx1sin计算.xln(1x)xtanxsinx1cos11解：原式] ……31tanx1sin2x0ln(1x)1limsinx1……52 12四、(本题满分6arctan dx1解：原式arctanxd11arctan11……2x(1x2xx1x11 ()dx lim[lnb ln(1b2) b 144221b ln2lim]……4 1ln2 五、(本题满分71……6x2y2)dx(x求初值问题x1yyx2解：dyyxu，……1x……2199912uxduu1u2……3 dx即……4x1解得ln(u1u2ln(Cx，其中C0……5y从而u1uCx，即 Cx，亦即yx2xyuxduu1u2……3 dx即……4x1解得ln(u1u2ln(Cx，其中C0……5y从而u1uCx，即 Cx，亦即yx2xyCx 2……6x2,y1x21.……7将y 0代入,得C1,故初值问题的解为y x222注:不化简不扣分六、(本题满7】七、(本题满分8分)y(x(3)函数图形的渐进线解：所给函数的定义域为(,11,)yx2 y0，得x0及x3……1(x……2(x由此可知：(1)函数的单调增加区间为(,1)和(3,，单调减少区间为(1,3)327……44(2)函数图形在区间(,0)内是（向上）凸的，在区间(0,1)，(1,)内是（向上）的，拐点为点(0,0……6x1(3)由……7(x2199913x(,030－0－0y(xy又 1，lim(yx)x]2 x(x22yx2是函数图形的斜渐近线八、(本题满分8(xy又 1，lim(yx)x]2 x(x22yx2是函数图形的斜渐近线八、(本题满分8证明：在开区间(1,1)内至少存在一点，使得f(3.……811证：f(xf(0)f(0)x于0与xx[1,1f(0)x2 f()x3，其中……10f(1)f(0)1f(0)1f(),1011261f(1)f(0)1f(0)1f(),0……42226两式相减，可得f(1)f(2)6……5f(x)在闭区间[1,2上有最大值和最小值，设它们分别为M和m则有m1f(f(M……6122再由连续函数的介值定理知，至少存在一点[1,2(1,1)……8122九、(本题满8十、(本题满分7f(x是区间0,nkf(k)nf(x)dxn1(n1,2,L)，证明：数列{an}的极限存在k解：由题设可得f(k1) f(x)dxf(k (k1,2)……2kk因此 [f(k) f(x)dx]f()0……5kk即数列{an}有下界.又an1anf(n1) f(x)dx0.即数列{an}单调下降，故单调有界数列必有极限的准则知数列 }的极限存在十一、(本题满分6……719991411A1XA*XA12XA*A 得(|A|E2AXE，可见(|A|E11A1XA*XA12XA*A 得(|A|E2AXE，可见(|A|E2AX|A|E2A)1……31111114，|A|E2A2由于|A|11……4111 0X1 1 1……62 4110十二、(本题满分8(1)p为何值时,该向量组线性无关？并在此时将向量(4,1,6,10)T用1,2,3,4线性(2)p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组解：对矩阵[1,2,3,4做初等行变换 0301244p432p3p 316……3 p62p21 p2时，向量组1,2,3,4线性无关此时设x11x22x33x44……63p1x12,x2,x31,x4.pp(2)p2时,向量组1,2,3,4线性相关1,2,3（或1,3,4）为其一个极大线性无关组……8199915数学（三一、填空题：(本题5小题，每小题3分，满分15sinxf(x)dx.x24【答】应 1xcosxsinsin(x)f(x).xxxxcosxxsin2sinx于 xf(x)dxxf(x)| f数学（三一、填空题：(本题5小题，每小题3分，满分15sinxf(x)dx.x24【答】应 1xcosxsinsin(x)f(x).xxxxcosxxsin2sinx于 xf(x)dxxf(x)| f| |22222n(1)n.2n (1x)xxn)1)，【解】因S(x) nxn110nn，故S() ， n(1)n11 24020O1(3)A0，而n2An2 1A22A,An2An1An2A22A(4)在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态N(a0.22Xnn次称量结果的算术平均值，则为使PX 160.1|XnaXn0.2/0.2 0.1P|Xna|n}0.95n1.96，即n16Xn2220.2 (5)Xiji,j12Lnn2ij199916XXXXY的数学期望EY 0【解】由行列式的定义，Y(1)(i1i2iXXXXY的数学期望EY 0【解】由行列式的定义，Y(1)(i1i2in) ，其中为iii的逆序数 1 Xni)EX XXij(i,j12, n nEY (iiiEX12 二、选择题：(本题5小题，每小题3分，满分15同数学第二、（1）题f(xyDy0,yxx12xy8(D)xy1(A)(B)dxdy1 ydyA1x2dx AA1 8 DD 0(3)设向量可由向量组1,2,L,m 线性表示，但不能由向量组(I)：1,2,L,m1线性表示，记向量组(II)：1,2,L,m1,，则(A)(I)线性表示，也不能由(II)(I)线性表示，但可由(II)线性表示(I)线性表示，也可由(II)线性表示可由(I)线性表示，但不可由(II)线性表m性表示，可排除(C)和(D又由可又向量组1,2,L,m线性表出，不能由(I)线性199917由1,2,L,m1, 即由(II)线性表示.故选(4)ABn阶矩阵AB相似E为n(A)EAE(C)AB(B)AB(D)对于任意常数ttEA与tEB由1,2,L,m1, 即由(II)线性表示.故选(4)ABn阶矩阵AB相似E为n(A)EAE(C)AB(B)AB(D)对于任意常数ttEA与tEB相似【解选项(A)意味AB，故应予排ABAB有相同的特征值，可排除，故只有(D)是正确选项.事实上，由AB相似，可知存在可逆矩阵P使P1APBP1(tEA)PtEP1APP1(tEB)P即tEA与tEB相似 1(5)Xi4 14120(B(C(D P{X1X2P{X11,X21}P{X10,X20}P{X11,X21PX1X201PX10X201PX10}+P{X20P{X10,X20}1P{X0}=1P{X01P{X0,X0}=0121222PX1X201PX1X20=0而{X11,X1}与{X11,X均包含于{X1X20}P{X11,X21}0,P{X11,X21}0.P{X1X2}P{X11,X21}P{X10,X20}P{X11,X21}=0三、(本题6曲线y 的切线与x轴和y轴围成一个图形,记切点的横坐标为，试求切线方x11x321，得y 2解：y1a1)处的切线方程1y a(xa)……221999183)2xy轴的交点分别为Q(3a0)和……3ORQ的面积S13a a……4242limS……5limS0……6四、(本题满分7计算DydxdyD是由直线x2,yy2x2yy2所为成的平面区域解一：区域D和D1如图所有ydxdy ydxdyydxdyDD02ydxdy ydy4……20DDr,|0r2sin128因此ydxdyd rsinrdr sin4……43022D112cos21cos4d3)2xy轴的交点分别为Q(3a0)和……3ORQ的面积S13a a……4242limS……5limS0……6四、(本题满分7计算DydxdyD是由直线x2,yy2x2yy2所为成的平面区域解一：区域D和D1如图所有ydxdy ydxdyydxdyDD02ydxdy ydy4……20DDr,|0r2sin128因此ydxdyd rsinrdr sin4……43022D112cos21cos4d……62.232于是ydxdy4……72D解二：Dxy|2x2yy2,0y……11(y1)2……3……422xx22y2yydxdy 2yy2dy4000y1sint，有dycostdt2y1(y1)2dy (1sint)cos22202cos2tdtsintcos2tdt 2(1cos2t)dt22.……6220199919于是ydxdy4.……72D五、(本题满分6Q2xx，其中为正常数，且1.1解：需要在产出量2xx12pxpx的最小值1于是ydxdy4.……72D五、(本题满分6Q2xx，其中为正常数，且1.1解：需要在产出量2xx12pxpx的最小值11 2xpx(122xx)……21 21F2x1x1 1令p2x 1(2)……321122xx1p p2 ,x1 )2 ),（21p1p1211……5 ),x6(p1)时，p 1p2p12六、(本题满分6……6xy2y(x，其中(x(,)内的连，试求xy(0)0yyx)，使之在(1)和(1,)ye2dx[ dxC……11e2x[2e2xdxC]Ce2x (x 由y(0)1，得C11，所以ye2x (x1)……3当x1时，有y2y0，其通解为y C(x2……42由limC2e2xlim(e2x1e21，得C2e2e21，即C21e2199920y1e2(x1)……5y1，则得在,)上的连续x.x e2xy(x)……6e 2七、(本题满分6y1e2(x1)……5y1，则得在,)上的连续x.x e2xy(x)……6e 2七、(本题满分6f(x连续，且tf(2xt)dt1arctanx2x2f(1) f201解：令u2xt，则t2xudtdu……1……2xx22tf(2xt)dt (2xu)f(u)du f(u)du uf(u)du02xx122于是 f(u)du uf(u)du arctanx2……32xx上式两端对x求导，得 f(u)du2x[2f(2x)f(x)][2xf(2x)2xf(x)] ，21……5x即 f(u)du xf(x).21x令x1，得 f(u)du 1 f(x)dx31322……622411八、(本题满分71f(x在区间[0,1]上连续，在0,1f(0)f(1)0,f(1.21(1存在(,1)，使f(2(2)对任意实数，必存在0,，使f(f(证：(1)令(xf(xx，则(x在[0,1]是连续111又(1)10，() 0，故由闭区间上连续函数的介值定理知，存在 使得(f(0f((2)F(xex(x)exf(xF(x在[0,上连续，在[0,F(0)0,F(e(0，即F(x在[0,上满足罗尔定理的条件，故存在(0,F(0，ef(f(1}0，从f(f(12……3……4……6……7199921九、(本题满9十、(本题满分7A为mn实矩阵，En阶单位矩阵.BEATA.试证：当0时，矩阵B为正定矩阵.证：BTEATA)TEATABBn阶对称矩阵.对于任意的实nx,xTBxxT(EATA)xxTxxTATAxxTx(九、(本题满9十、(本题满分7A为mn实矩阵，En阶单位矩阵.BEATA.试证：当0时，矩阵B为正定矩阵.证：BTEATA)TEATABBn阶对称矩阵.对于任意的实nx,xTBxxT(EATA)xxTxxTATAxxTx(Ax)T(Ax)x0时,xTx0Ax)TAx0.因此，当0x0……2……4……7十一、(本题满分9假设二维随机变量X,Y在矩形Gx,0x2,0y1X2YXXYXU求U和V的相关系数r求U和V的联合分布；111解：由题设可得P{XY} ,P{X2Y} ,P{YX2Y} ……2424P{U0,V0}P{XY,X2Y}P{XY}14P{U0,V1}P{XY,X2Y}1；4P{U1,V0}P{XY,X2Y}P{YX2Y} P{U1,V1}1() (2)由以上可见UVUV……5111131……724233111于是有EU ，DU ；EV ，DV ；E(UV) 4242.1，rCov(U,V)……98DU3199922十二、(本题满分719Y1(XXX)，S(XY)2，Z2 十二、(本题满分719Y1(XXX)，S(XY)2，Z2 32S度为2的t分布解：记DX(未知).易见EY1EY2，DY1 ，DY2 2……163222由于Y和YE(YY02 从而UY1……3/2S由正态总体样本方差的性质，知22的分布2……4由于Y1和Y2Y1S2独立，以及Y2S2独立，可见Y1Y2S2独立……52(Y1Y2) ……7于是知ZS2数学（四一、填空题：（本题5小题，每小315分1(1)设函数f(x)ax(a0,a1)，则 ln[f(1)f(2)Lf(n)].【答】应填1lna2n(n11n12lna ln[f(1)f(2)Lf(n)]=]=lna22n2nf(xyzexyz2zz(xyxyzxyz0 第一、（3）题199923 20，则A (4)ABBA，其B101/ 0101/1020ABB 20，则A (4)ABBA，其B101/ 0101/1020ABBAAB(BE)10000010=1由于(BE)10 11/1042000 01A101001/1020222 2 0(5)设X服从参数为的泊松分布，且已知E[(X1)(X2)]1，则 X~P(EXDX.1E[(X1)(X2)]EX23EX2DX(EX)23EX222由此可解得1二、选择题：(本题5小题，每小题3分，满分15【【【】】】X和Y的方差存在且不等于0DXYDXDYX和(A)(B)独立的必要条件，但不是充分条XY0X和Y不相关.注：由于随机变量独立一定不相关，不相关不一定独立，故选项(B)也应是正确选项设X服从指数分布，则Ymin{X,2}的分布函 是连续函数(B)至少有两个间断 (C)是阶梯函 (D)恰有一个间断199924【解】FYyP(YyP(min{X2}yPXy2P(Xy)P(2y)P(Xy,21e【解】FYyP(YyP(min{X2}yPXy2P(Xy)P(2y)P(Xy,21ey 0yy2FYyPXy00PXyFXy；yy2FYyPXy1PXyy故F(y)1 .YYy三、(本题满分6四、(本题满分7】】五、(本题满分6六、(本题满分6】F(xf(xx0f(x)F(x)F(x0f(x2(1x)解：F'(x)f(x2F(x)(1.……1于是，由2F(x)F(x)dx2dx……2(1F(x)C2……41(F(x)0)F(0)1和F(0)1C，得C0x2……51f(x).……632(1七、(本题满分6x已知f(x)连续，tf(xt)dt1cosx， f(x)dx的值200xx解：令uxt， tf(xt)dt (xu)f(u)du……200199925xx于是 f(u)du uf(u)du1cosx……300x f(u)dusinx……40在上式中，令x ， f(x)dx12……62八、(本题满分60xx证明：当0x时，有 xx证一：设f(x)xx于是 f(u)du uf(u)du1cosx……300x f(u)dusinx……40在上式中，令x ， f(x)dx12……62八、(本题满分60xx证明：当0x时，有 xx证一：设f(x) ，……1 f(x)1cosx1，f(x)1sinx(0x)……2 f(x对应的曲线在(0,内向上凸f(0)f(0……3……5xx可见，当0x 时，f(x)0，即 ……6 2sin1证二：为证所给不等式，只需证明 2(0x) sin令f(x) 2(0x)……1 xc