拉格朗日插值的认识

浅谈拉格朗日公式【问题背景】约瑟夫·拉格朗日(JosephLouisLagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的奉献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要奉献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比拟适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange插值有很多种，1阶，2阶,…n阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程。【摘要】本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在VB中的算法程序，并用具体例子说明。【关键词】拉格朗日；插值；公式；算法程序。

正文1、根本概念函数y=f(x)在假设干点的函数值=〔i=0,1,,n〕一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p()=,i=0,1,,n,(1)那么p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，，，，...,为插值节点，式〔1〕为插值条件，如果对固定点求f()数值解，我们称为一个插值节点，f()p()称为点的插值，当[min(，，，...,)，max(，，，...,)]时，称为内插，否那么称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。Lagrange插值公式〔1〕线性插值设，及=f(),=f(),为不超过一次多项式且满足=,=,几何上，为过〔，〕，〔，〕的直线，从而得到=+〔x-〕.〔2〕为了推广到高阶问题，我们将式〔2〕变成对称式=〔x〕+(x).其中，〔x〕=,(x)=。均为1次多项式且满足〔x〕=1且(x)=0。或〔x〕=0且(x)=1。两关系式可统一写成=。〔3〕〔2〕n阶Lagrange插值设，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),为不超过n次多项式且满足〔i=0,1,...n〕.易知=〔x〕+....+.其中，均为n次多项式且满足式〔3〕〔i,j=0,1,...,n〕,再由〔ji〕为n次多项式的n个根知=c.最后，由c=,i=0,1,...,n.总之，=，=式为n阶Lagrange插值公式，其中，〔i=0,1,...n〕称为n阶Lagrange插值的基函数。〔3〕Lagrange插值余项设，，，...,[a,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，为f(x)关于节点，，，...,的n阶Lagrange插值多项式，那么对任意x[a,b],其中，位于，，，...,及x之间〔依赖于x〕，(x)=举例说明问题：从函数表出发，分别用分段线性插值；分段二次插值；全区间上拉格朗日插值计算f(0.15);f(0.31).程序设计：PrivateSubCommand1_Click()DimcAsSingle,iAsInteger,jAsInteger,aAsSinglec=Val(Text4)Fori=0To4Ifc>Text1(i)Andc<Text1(i+1)Thena=Val(Text2(i))*(c-Text1(i+1))/(Val(Text1(i))-Val(Text1(i+1)))+Val(Text2(i+1))*(c-Val(Text1(i)))/(Val(Text1(i+1))-Val(Text1(i)))Text3=Str(a)EndIfNextEndSubPrivateSubCommand2_Click()DimcAsSingle,iAsInteger,jAsInteger,aAsSingle,SAsSinglec=Val(Text4)Fork=0To3IfVal(Text1(k))<cAndVal(Text1(k+1))>cThenFori=kTo(k+2)a=1:n=0Forj=kTo(k+2)Ifi=jThenj=j+1a=a*(c-Val(Text1(j)))/(Val(Text1(i))-Val(Text1(j)))Elsen=n+1a=a*(c-Val(Text1(j)))/(Val(Text1(i))-Val(Text1(j)))Ifn=2ThenExitForEndIfNextja=a*Val(Text2(i))S=S+aNextiEndIfText3.Text=Str(L1)Ifc>Text1(4)Andc<Text1(5)ThenMsgBox"插值点缺乏，无法用二次插值法计算！"ExitForEndIfNextkEndSubPrivateSubCommand3_Click()DimcAsSingle,iAsInteger,jAsInteger,aAsSingle,SAsSinglec=Val(Text4)Fori=0To5a=1:n=0Forj=0To5Ifi=jThenj=j+1a=a*(c-Val(Text1(j)))/(Val(Text1(i))-Val(Text1(j)))Elsen=n+1a=a*(c-Val(Text1(j)))/(Val(Text1(i))-Val(Text1(j)))Ifn=4ThenExitForEndIfNextja=a*Val(Text2(i))S=S+aNextiText3.Text=Str(L1)EndSub程序运行：线性插值二次插值拉格朗日插值f(0.15)0.39403950.39446030.380823综合评价：拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。拉格朗日想选用的基函数具有对称性，所以我们可以从中体验到数学的对称美，事实上它也是证明差商具有对称性的根底。正是因为拉格朗日插值多项式所具有的美学价值，所以它对我们以后的学习有重大的影响。此公式看上去形式较