江西省宜春市上高二中高三上学期第一次月考试题数学

2024届高三年级第一次月考数学试卷命题人：叶民安一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．3．已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（

）A．充分不必要条B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要4．已知函数的定义域是R，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．6．在中，若，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形7．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且是等边三角形，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题（每小题5分，共20分）9．（多选）已知a，b，，且，则下列不等关系成立的是（

）A． B．C． D．10．不等式的解集可能为（

）A．R B．C． D．11．下面命题正确的是（

）A．不等式的解集为B．不等式的解集为C．不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为D．函数在区间内仅有一个零点，则实数m的取值范围为12．如图，在正方体中，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（

）

A．直线平面B．存在点，使得直线与所成角为30°C．三棱锥的体积为定值D．平面与底面的交线平行于直线三、填空题（每小题5分，共20分）13．不等式的解集为．14．已知不等式的解集为，若函数（且），则．15．已知随机变量，，且，，则．16．双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为．四、解答题（共70分）17．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求角A的大小；(2)若，，求的面积．18．正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和.19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.

(1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.20．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为.为测试软件的识别能力，计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给两个小组识别，每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首歌，两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，组占；在错误识别的音乐数中，组占.（i）请根据以上数据填写下面的列联表，并通过独立性检验分析，是否有的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A组软件B组软件合计100（ii）利用（i）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证软件的有效性，需多次执行方案二，假设，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为16？并求此时的值.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．

(1)求椭圆伴随双曲线的方程；(2)如图，点，分别为的下顶点和上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若的面积为，求．22．已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求m，n；(2)若在上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.2024届高三年级第一次月考数学试卷答案BBACA CDA9．CD 10．ACD 11．ACD 12．ACD13． 14．6 15．0.2/ 16．17．(1) (2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；（2）利用余弦定理求出，再利用面积公式计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，因为，所以；（2）因为，，，由余弦定理，即，解得或，当时，则为钝角，不符合题意，当时，所以为锐角，符合题意，所以面积为.18．(1) (2)【分析】（1）设等比数列的公比为，然后根据已知条件列方程组可求出，从而可求出数列的通项公式，（2）由（1）得，再利用错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，因为，所以， 相减得，所以，代入，得，解得或，因为，所以 所以.（2）由已知得，，，所以，两个等式相减得，所以.19．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，则，所以由线面垂直的判定可得平面，从而可得结论；（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：因为，点是的中点，所以.因为平面平面，所以平面平面，因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面，所以平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由题意可得两两垂直，设，如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，

因为点是的中点，所以，所以，设平面的法向量为，则，令可得，所以平面的一个法向量.，设，即，所以.又，所以，化简得，解得或（舍去）.所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.20．(1)（i）表格见解析，没有；（ii）(2)测试至少27次，.【分析】（1）根据条件填写列联表并做卡方计算，根据列联表求出，对“一次测试通过”作分类讨论求出其概率；（2）根据对“一次测试通过”的分类讨论，求出其概率的最大值，再按照二项分布求解.【详解】（1）（i）依题意得列联表如下：正确识别错误识别合计组软件402060组软件202040合计6040100因为，且，所以没有的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii）由（i）得，故方案二在一次测试中通过的概率为；（2）方案二每次测试通过的概率为，所以当时，取到到最大值，又，此时，因为每次测试都是独立事件，故次实验测试通过的次数，期望值，因为，所以所以测试至少27次，此时.21．(1) (2)【分析】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，根据离心率公式得到方程，求出，即可得解；（2）设直线的斜率为，，，直线的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，求出，由求出，再由可得，根据数量积的坐标表示，代入韦达定理，即可得解.【详解】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，即，即，解得，所以椭圆，则椭圆伴随双曲线的方程为.（2）由（1）可知，，设直线的斜率为，，，则直线的方程，与双曲线联立并消去得，则，所以，，则，又，又，所以，解得或（舍去），又，所以，因为，所以.22．(1) (2)【分析】（1）求出，，与切线方程为比较可得答案；（2）求出，分、、、讨论，利用导数判断单调性结合零点个数可得答案.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，由，得．（2）因为，，所以，（1）若，则，在上为增函数，所以在上只有一个零点，不合题意；（2）当，设，，当时，，即在上单调递增，，①若，因为，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，所以在上有且只有一个零点，不合题意；②若，则，易知，，，且在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以根据零点存在性定理，在上有且只有一个零点，又在上有且只有一个零点0，所以，当时，在上有两个零点；③当时，，，，，且在上单调递减，在上单调递增，因为在上有且只有一个零点0，所以，若