2-5高等数学同济大学第六版本

271yx3x计算在x2处当x分别等于101001时的y及dy解y|x2x1[(21)3(21)](232)18dy|x2x1(3x21)x|x2x111y|x2x0.1[(20.1)3(20.1)](232)1161dy|x2x0.1(3x21)x|x2x0.111y|x2x001[(2001)3(2001)](232)0110601dy|x2x001(3x21)x|x2x0010112设函数yf(x)的图形如以下列图试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、y及ydy并说明其正负解(a)y0dy0ydy0(b)y0dy0ydy0(c)y0dy0ydy0(d)y0dy0ydy03求以下函数的微分(1)(2)yxsin2x(3)(4)yln2(1x)(5)yx2e2x(6)yexcos(3x)(7)(8)ytan2(12x2)(9)(10)sAsin(t)(A是常数)解(1)因为所以(2)因为ysin2x2xcos2x所以dy(sin2x2xcos2x)dx(3)因为所以(4)(5)dyydx(x2e2x)dx(2xe2x2x2e2x)dx2x(1x)e2x(6)dyydx[excos(3x)]dx[excos(3x)exsin(3x)]dxex[sin(3x)cos(3x)]dx(7)(8)dydtan2(12x2)2tan(12x2)dtan(12x2)2tan(12x2)sec2(12x2)d(12x2)2tan(12x2)sec2(12x2)4xdx8xtan(12x2)sec2(12x2)dx(9)(10)dyd[Asin(t)]Acos(t)d(t)Acos(t)dx4将适当的函数填入以下括号内使等式成立(1)d()2dx(2)d()3xdx(3)d()costdt(4)d()sinxdx(5)d()(6)d()e2xdx(7)d()(8)d()sec23xdx解(1)d(2xC)2dx(2)d()3xdx(3)d(sintC)costdt(4)d()sinxdx(5)d(ln(1x)C)(6)d()e2xdx(7)d()(8)d()sec23xdx5如以下列图的电缆的长为s跨度为2l电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f那么电缆长可按下面公式计算当f变化了f时电缆长的变化约为多少？解6设扇形的圆心角60半径R100cm(如图)如果R不变减少30问扇形面积大约改变了多少？又如果不变R增加1cm问扇形面积大约改变了多少？解(1)扇形面积将60R100代入上式得(cm2)(2)将60R100R1代入上式得(cm2)7计算以下三角函数值的近似值(1)cos29(2)tan136解(1)f(xx)f(x)f(x)x当f(x)cosx时有cos(xx)cosxsinxx所以cos29(2)f(xx)f(x)f(x)x当f(x)tanx时有tan(xx)tanxsec2xx所以tan1368计算以下反三角函数值的近似值(1)arcsin0.5002(2)arccos04995解(1)f(xx)f(x)f(x)x当f(x)arcsinx时有所以3047(2)f(xx)f(x)f(x)x当f(x)arccosx时有所以6029当较小时证明以下近似公式(1)tanxx(x是角的弧度值)(2)ln(1x)x(3)并计算tan45和ln1002的近似值(1)当|x|较小时f(x0x)f(x0)f(x0)x取f(x)tanxx00xx那么有tanxtan(0x)tan0sec20xsec20xx(2)当|x|较小时f(x0x)f(x0)f(x0)x取f(x)lnxx01xx那么有ln(1x)ln1(lnx)|x1xx(3)当|x|较小时f(x0x)f(x0)f(x0)x取x01xx那么有tan4545001309ln(1002)ln(10002)000210计算以下各根式的的近似值(1)(2)解(1)设那么当|x|较小时有(2)设那么当|x|较小时有于是11计算球体体积时要求精确度在2%以内问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？解球的体积为因为计算球体体积时要求精度在2%以内所以其相对误差不超过2%即要求所以也就是测量直径的相对误差不能超过12某厂生产如以下列图的扇形板半径R200mm要求