近三年高考全国卷理科立体几何真题

./新课标卷高考真题1、〔2016年全国I高考如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,,且二面角DAFE与二面角CBEF都是．〔=1\*ROMANI证明：平面ABEF平面EFDC；〔=2\*ROMANII求二面角EBCA的余弦值．2、〔2016年全国II高考如图,菱形的对角线与交于点,,点分别在上,,交于点．将沿折到位置,．〔Ⅰ证明：平面；〔Ⅱ求二面角的正弦值．3[2015高考新课标1,理18]如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.〔Ⅰ证明：平面AEC⊥平面AFC；〔Ⅱ求直线AE与直线CF所成角的余弦值.4、[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图1­3,四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点．<1>证明：PB∥平面AEC；<2>设二面角D­AE­C为60°,AP＝1,AD＝eq\r<3>,求三棱锥E­ACD的体积．图1­35、[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图1­5,三棱柱ABC­A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.图1­5<1>证明：AC＝AB1；<2>若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,AB＝BC,求二面角A­A1B1­C1的余弦值．6、〔2017•新课标Ⅱ如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点．〔Ⅰ证明：直线CE∥平面PAB；〔Ⅱ点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．7、〔2017•新课标Ⅲ如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD．〔Ⅰ证明：平面ACD⊥平面ABC；〔Ⅱ过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．8、〔2017•新课标Ⅰ卷如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°．〔12分<1>证明：平面PAB⊥平面PAD；<2>若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．1[解析]=1\*GB2⑴∵为正方形∴∵∴∵∴面面∴平面平面=2\*GB2⑵由=1\*GB2⑴知∵平面平面∴平面平面∵面面∴,∴∴四边形为等腰梯形以为原点,如图建立坐标系,,,设面法向量为.,即设面法向量为.即设二面角的大小为.二面角的余弦值为2[解析]⑴证明：∵,∴,∴．∵四边形为菱形,∴,∴,∴,∴．∵,∴；又,,∴,∴,∴,∴,∴．又∵,∴面．⑵建立如图坐标系．,,,,,,,设面法向量,由得,取,∴．同理可得面的法向量,∴,∴．3,[答案]〔Ⅰ见解析〔Ⅱ又∵AE⊥EC,∴EG=,EG⊥AC,在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.在Rt△FDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=可得EF=,∴,∴EG⊥FG,∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面AFC,∵EG面AEC,∴平面AFC⊥平面AEC.……6分〔Ⅱ如图,以G为坐标原点,分别以的方向为轴,y轴正方向,为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,由〔Ⅰ可得A〔0,－,0,E<1,0,>,F〔－1,0,,C〔0,,0,∴=〔1,,,=〔-1,-,.…10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.……12分4,解：<1>证明：连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点．又E为PD的中点,所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.<2>因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直．如图,以A为坐标原点,eq\o<AB,\s\up6<→>>,AD,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,|eq\o<AP,\s\up6<→>>|为单位长,建立空间直角坐标系A­xyz,则Deq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\r<3>,0>>,Eeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,eq\o<AE,\s\up6<→>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>.设B<m,0,0><m>0>,则C<m,eq\r<3>,0>,eq\o<AC,\s\up6<→>>＝<m,eq\r<3>,0>．设n1＝<x,y,z>为平面ACE的法向量,则eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<n1·\o<AC,\s\up6<→>>＝0,,n1·\o<AE,\s\up6<→>>＝0,>>即eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<mx＋\r<3>y＝0,,\f<\r<3>,2>y＋\f<1,2>z＝0,>>可取n1＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,m>,－1,\r<3>>>.又n2＝<1,0,0>为平面DAE的法向量,由题设易知|cos〈n1,n2〉|＝eq\f<1,2>,即eq\r<\f<3,3＋4m2>>＝eq\f<1,2>,解得m＝eq\f<3,2>.因为E为PD的中点,所以三棱锥E­ACD的高为eq\f<1,2>.三棱锥E­ACD的体积V＝eq\f<1,3>×eq\f<1,2>×eq\r<3>×eq\f<3,2>×eq\f<1,2>＝eq\f<\r<3>,8>.5解：<1>证明：连接BC1,交B1C于点O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO,故B1C⊥AO.又B1O＝CO,故AC＝AB1.<2>因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO＝CO.又因为AB＝BC,所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两垂直．以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,|OB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.因为∠CBB1＝60°,所以△CBB1为等边三角形,又AB＝BC,则Aeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,0,\f<\r<3>,3>>>,B<1,0,0>,B1eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<\r<3>,3>,0>>,Ceq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,－\f<\r<3>,3>,0>>.eq\o<AB1,\s\up6<→>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<\r<3>,3>,－\f<\r<3>,3>>>,eq\o<A1B1,\s\up6<→>>＝AB＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1,0,－\f<\r<3>,3>>>,eq\o<B1C,\s\up6<→>>1＝BC＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－1,－\f<\r<3>,3>,0>>.设n＝<x,y,z>是平面AA1B1的法向量,则eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<n·AB1＝0,,n·\o<A1B1,\s\up6<→>>＝0,>>即eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,3>y－\f<\r<3>,3>z＝0,,x－\f<\r<3>,3>z＝0.>>所以可取n＝<1,eq\r<3>,eq\r<3>>．设m是平面A1B1C1的法向量,则eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<m·\o<A1B1,\s\up6<→>>＝0,,m·\o<B1C1,\s\up6<→>>＝0,>>同理可取m＝<1,－eq\r<3>,eq\r<3>>．则cos〈n,m〉＝eq\f<n·m,|n||m|>＝eq\f<1,7>.所以结合图形知二面角A­A1B1­C1的余弦值为eq\f<1,7>.6、[答案]〔Ⅰ证明：取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点,所以EFAD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,∴BC∥AD,∴BCEF是平行四边形,可得CE∥BF,BF⊂平面PAB,CF⊄平面PAB,∴直线CE∥平面PAB；〔Ⅱ解：四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点．取AD的中点O,M在底面ABCD上的射影N在OC上,设AD=2,则AB=BC=1,OP=,∴∠PCO=60°,直线BM与底面ABCD所成角为45°,可得：BN=MN,CN=MN,BC=1,可得：1+BN2=BN2,BN=,MN=,作NQ⊥AB于Q,连接MQ,所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角,MQ==,二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．7、[答案]〔Ⅰ证明：如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD．∵△ABC是等边三角形,∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中,AB=BD=BC,∠ABD=∠CBD,∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形,∴AC是斜边,∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O,∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC,∴平面ACD⊥平面ABC．〔Ⅱ解：设点D,B到平面ACE的距离分别为hD,hE．则=．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,∴===1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．则O〔0,0,0,A〔1,0,0,C〔﹣1,0,0,D〔0,0,1,B〔0,,0,E．=〔﹣1,0,1,=,=〔﹣2,0,0．设平面ADE的法向量为=〔x,y,z,则,即,取=．同理可得：平面ACE的法向量为=〔0,1,．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．8、[答案]〔1证明：∵∠BAP=∠CDP=90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD=P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD；〔2解：∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由〔1知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD为等腰直角三角