江苏省南通市通州区2024届高三下学期期初质量监测数学试题 【含答案解析】

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省南通市通州区2024届高三下学期期初质量监测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（

）A．130 B．132 C．134 D．1362．若，且是纯虚数，则（

）A． B．1 C． D．23．己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则5．某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求，节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（

）A．36种 B．42种 C．48种 D．54种6．设直线被圆所截得的弦的中点为，则的最大值为（

）A． B．C． D．7．已知为锐角，且，则（

）A． B． C． D．8．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的一个对称中心C．在区间上单调递减D．在区间上有3个零点10．已知正方体的棱长为4，E，F，G分别是棱，，的中点，则（

）A．平面B．，，共面C．平面截正方体所得截面的面积为D．三棱锥的体积为11．已知函数的定义域为R，，则（

）A．B．是奇函数C．若，则D．若当时，，则，在单调递减三、填空题12．已知数列是等比数列，且．设，数列的前n项和为，则．13．已知随机变量，且，则的展开式中常数项为．14．在中，，，，点D，E，F分别在，，边上，且，，则的最小值为．四、解答题15．不透明的袋子中有8个除所标数字外均相同的球，其中标号为1号的球有3个，标号为2号的球有3个，标号为3号的球有2个．现从这8个球中任选2个球．(1)求选出的这2个球标号相同的概率；(2)设随机变量为选出的2个球标号之差的绝对值，求的分布列与数学期望．16．已知函数，曲线在处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求的单调区间，并证明在上没有零点．17．如图，在三棱柱中，平面平面为等边三角形，，分别是线段的中点.(1)求证：平面；(2)若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.18．设抛物线，过焦点F的直线与C交于点A，B．当直线垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)已知点，直线，分别与C交于点C，D．①求证：直线过定点；②求与面积之和的最小值．19．对于数列，若存在正数k，使得对任意，，都满足，则称数列符合“条件”．(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？(2)若首项为1，公比为q的正项等比数列符合“条件”．①求q的取值范围；②记数列的前n项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】根据百分位数的定义进行求解.【详解】解：因为，所以这组数据的75百分位数是.故选：C．2．B【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合是纯虚数，求得，即可求解．【详解】设，则因为是纯虚数，可得，即，所以．故选：B.3．D【分析】根据投影向量的定义，由求解.【详解】由，可得，所以，则在上的投影向量为.故选：D4．B【分析】对于A，C与D，可通过举反例的方式说明其错误性，B选项可以直接证明其正确性.【详解】对于A，若，，，此时与可能相交，如下图所示：

对于C与D，若，，，则与均可能发生，如下图所示：

对于B，若，，则，又因为，故.故选：B.5．B【分析】据元素分析法即可解出．【详解】若甲排在第一位，则有种排法；若甲排在第二位，由于乙不能排在第一位，则第一位有3种排法，其他位次全排列有种排法，则共有种排法，因此编排方案共有种.故选：B．6．C【分析】先求出直线的定点，得出点的轨迹方程，设，根据直线与圆的位置关系进行求解.【详解】解：直线过定点，因为M是弦的中点，所以，故的轨迹方程为：，设，即即是直线与圆的公共点，由直线与圆的位置关系可得，，解得，所以的最大值为.故选：C.7．B【分析】先求出，再利用三角函数恒等变形进行弦化切即可求解.【详解】由，得，即，解得或.因为为锐角，所以.故故选：B8．A【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率.【详解】设切点为，，连接，则，，过点作⊥轴于点E，则，故，因为，解得，由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得，化简得，又，所以，方程两边同时除以得，解得，所以离心率.故选：A【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).9．AC【分析】化为，求出函数的周期判断A选项，根据解析式求对称中心纵坐标判断B选项，求出函数的个单调减区间为，而，判断C选项，令，求出或，求出函数在区间上零点个数判断D选项.【详解】，，A对；对称中心纵坐标为1，B错；，则，即的一个单调减区间为而，在上单调递减，C对；，则或或．，；，；，；，，在区间上有4个零点，D错．故选：AC．10．ABD【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量的方法可以轻松判断AB，先作出过点、、的截面，再求截面的面积，可判断C；利用“等积转换”求出三棱锥的体积，判断D.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，因为为正方体，所以平面，又平面，所以，∵，，，所以，、是平面内的两条相交直线，所以面，A对．，，，若，，共面，则，，，B对．

由平面基本性质得：如图截面为等腰梯形，，，，，梯形的高，梯形面积，C错．，D对.故选：ABD11．BCD【分析】利用赋值法判断AC选项的正确性，利用函数的奇偶性判断B选项的正确性，利用函数的单调性判断D选项的正确性.【详解】对于A，时，，，A错．对于B，时，，，，，为奇函数，B正确．对于C，，，，，C正确．对于D，时，，，时，，时，，，即，在上单调递减，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.12．/【分析】根据等比数列的性质求得，根据等差数列的性质求得.【详解】为等比数列，，所以，为等差数列，所以．故答案为：13．1215【分析】根据正态分布的对称性，求得的值后，利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.【详解】，，，．展开式第项：，．故答案为：1215.14．【分析】由题意可得A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径，则当最小时，需最小，当时，最小，结合题意可计算出此时的长度，即可得的最小值.【详解】由，，故A，F，D，E四点共圆，且为该圆直径，又，故最小时，需最小，当时，最小，由，故此时，由正弦定理可得，．故答案为：.15．(1)(2)分布列见解析，．【分析】（1）根据组合数以及古典概型概率计算公式求得正确答案.（2）根据组合数以及古典概型概率计算公式求得分布列，进而求得数学期望.【详解】（1）依题意，选出的这2个球标号相同的概率为．（2）的所有可能取值为，，，，，．的分布列如下：X的数学期望．16．(1)，(2)单调递增区间为，单调递减区间为，，证明见解析.【分析】（1）求出导函数，依题意可得，解得即可；（2）由（1）可得，求出函数的定义域与导函数，即可求出单调区间，结合函数的单调性说明在上没有零点.【详解】（1）因为，所以，由题意知，解得.（2）由（1）可得定义域为，又，因为，所以当时，当或时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；因为在上单调递增，在上单调递减，时，，在上没有零点．17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先证明，然后证明平面，可得，即可证明；（2）首先证明平面ABC，然后以D为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案.【详解】（1）连接，由题设知四边形为菱形，，分别为中点，；又D为AC中点，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面；，又平面，平面.（2），为等边三角形，，平面平面，平面平面，平面,平面，D为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，,设，则，；由（1）知：平面，所以平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，则；，令，则；，即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为.18．(1)证明见解析(2)①证明见解析；②.【分析】（1）根据通径的定义求出得解；（2）①设直线方程与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，同理可得和的坐标关系，设与x轴交于点G，同上面方法可求得为定值；②利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.【详解】（1）由题意通径长，，的方程为．（2）①设直线方程为，，，，，联立，，，且，同理，可得，，，设与x轴交于点G，同上方法可得，直线过定点；②，当且仅当时取“”．【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是根据直线过轴上点，设出直线方程与抛物线联立，得到，进行转化运算得解.19．(1)符合条件；(2)①；②证明见解析.【分析】（1）直接利用定义判断结论是否成立；（2）①，根据的单调性去掉绝对值，通过构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，求q的取值范围；②要证数列符合“条件”，只要证，构造新数列，由不等式恒成立得到新数列不递减，由条件只要证即可.【详解】（1）公差为2的等差数列，设，由，所以公差为2的等差数列符合条件．（2）①首项为1，公比为q的正项等比数列，，对恒成立，若，则，符合．若，数列单调递增，不妨设，，，设，由（*）式中的m，n任意性得数列不递增，，，但当，，矛盾．若，则数列单调递减，不妨设，，即，设，由（