2022-2023学年新疆乌鲁木齐市五校联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆乌鲁木齐市五校联考高一（下）期末数学试

卷

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数z=（2-i）（3+i）,其中i为虚数单位，则复数Z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.某学校共有980名学生，其中高一的学生有400名，高二的学生有300名，其余都是高三

的学生，为了解该校学生的体育锻炼时间，按照高一、高二、高三三个级段进行分层抽样，

如果样本容量为196,那么应在高三的学生中抽取（）

A.48名B.52名C.56名D.60名

3.在AABC中，BD=^DC,则同=（）

A.B-g√4CB.^AB+CC.2AB÷2ACD.2AB—AC

4.用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）

A.CB.2C.4D.y∏.

4

5.已知n是不重合的直线，α,夕是不重合的平面，则下列结论中正确的是（）

A.若且九〃Q,则B.若?n〃a且九Ua,则m〃九

C.若m∕∕α且?n∕∕0,贝IJa/∕0D.若m-LQ且？nJL0,则ɑ//B

o

6.在直三棱柱4BC—4/16中，AB=BC=1,∆ABC=90,AA1=2,则此三棱柱外接

球的表面积为（）

A.57ΓB,67ΓC.7yrD.8ττ

7.在AABC中，若4=aB=≡,a=2y∕~3,则b=（）

A.2√-3B.3√~2C.2√^6D.3√-3

8.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、

乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

A.IB.∖C.ɪD;

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.设向量W=（ILl）,E=（2,0），则（）

A.∖a-b∖=∣α∣B.(α-K)∕∕α

C.I与曲夹角为微D.五在让的投影向量为(1,0)

10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚正面朝上"，事件B="第二枚正

面朝上”，则下列结论正确的是()

A.PS)=；B.P(AB)=T

C.事件4与B不互斥D.事件4与B相互独立

11.2021年3月，中共中央、国务院印发了《关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有

效衔接的意见》，某村在各级政府的指导和支持下，开展新农村建设，两年来，经济收入实

现翻番.为更好地了解经济收入变化情况，统计了某村新农村建设前后农村的经济收入构成比

例.得到如图扇形图：则下面结论中正确的是()

第三产业收入

28%

农第三产业收入

种植60%4%其他收入种植讼其他收入

收入收入37%

30%30%

养殖收入养殖收入

建设的经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

A.新农村建设后，种植收入比例减少了23%

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入持平

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

12.如图，在正方体SBCD—AaG%中，M,N分别是乙。，BDl的中点，贝∣J()

A.四点4,M,N,C共面

B.MN//CD

C.与平面BCDI相交

D.若MN=1,则正方体ABCO-&BICiDl外接球的表面积为12τr

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89,91,90,92,87,93,96,94,

则这组数据的25%分位数是；

14.已知向量五—(1,-2),b=(m,2)>且益±b,则∣m1+b∖=.

15.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为：，I.则谜题被破解的概率

为.

16.样本X1，x2>%3，…，XIO的平均数为5，则3(xl-1),3(X2-1),3(x3-1).3(x10-1)

的平均数为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知复数z=4+αi,其中αCR且α>0,i为虚数单位，且z?为纯虚数.

(I)求实数a的值；

(2)若Zl=&，求复数Zl并指出其对应复平面内的点所在的象限.

18.(本小题12.0分)

如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10,8,15(单位：cm),

球的直径为5cm,求该组合体的体积和表面积.

19.(本小题12.0分)

在△力BC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=1为，b=2,Na=I20。.

(I)求SinB与C的值；

(2)求AABC的面积；

20.(本小题12.0分)

为了了解某校的期中语文成绩分布情况，现从该校2300人中抽取100名学生期中考试语文成

绩的频率分布直方图如图所示;其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100].

(1)求图中α的值和中位数(保留两位小数)；

(2)估计该校学生中语文成绩不低于80分的人数;

21.(本小题12.0分)

甲、乙两名运动员进行投篮比赛，已知甲投中的概率为|,乙投中的概率为|,甲、乙投中与

否互不影响，甲、乙各投篮一次，求下列事件的概率.

(1)两人都投中；

(2)甲、乙两人有且只有1人投中.

22.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AC与BD交于点O,PAI面

ABCD,且Pa=2.

(1)求证BD1平面P4C.；

(2)求PD与平面PAC所成角的大小.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由z=(2-i)(3+i)=7-K

可得复数Z在复平面内所对应的点(7,-1)所在的象限为第四象限.

故选：D.

先根据复数的乘法运算求出z,再根据复数的几何意义即可得解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：高三学生有980-400-300=280名，

所以根据分层抽样的抽样比可知，

应在高三学生中抽取×196=56名.

故选：C.

根据分层抽样的定义，计算即可.

本题考查分层抽样的应用，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：如图,

在△力BC中，•：/=比，二C为BC的中点,

由向量加法的平行四边形法则可得，AD

故选:B.

由已知宜接利用向量加法的平行四边形法则得答案.

本题考查向量加法的平行四边形法则，是基础题.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积.

本题主要考查利用斜二测画法画空间图形的直观图，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键,

比较基础.

【解答】

解：根据斜二测画法的原则可知。C=2,OA=I,

二对应直观图的面积为2X；XOA∙OCSin45。=2xgx2xlx殍=√^^2.

故选：D.

5.【答案】D

【解析】解：对于4若m〃a且n〃a,则m与n可能平行、相交，也可能异面，故A错误；

对于B：若n√∕α且nuα,则Tn与n可能平行，也可能异面，故8错误；

对于C：若n√∕α且m〃/?,贝IJa与/?可能相交，也可能平行，故C错误；

对于。：因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故。正确.

故选：D.

对于4直接判断出Wi与n可能平行、相交，也可能异面，即可判断；对于B：直接判断出Zn与n可

能平行，也可能异面；对于C：直接判断出支与S可能相交，也可能平行；对于。：利用线面垂直

的判定定理直接判断.

本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题.

6.【答案】B

o

【解析】解：因为AB=BC=1,LABC=90,AA1=2,

所以将直三棱柱扩充为长、宽、高为1、1、2的长方体，

其体对角线为其外接球的直径，长度为√1+1+4=「，

所以其外接球的半径为?，

则此三棱柱外接球的表面积为4兀∙（?）2=6π.

根据题意，将直三棱柱扩充为长方体其体对角线为外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的

表面积.

本题主要考查了几何体外接球表面积的计算问题，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：由正弦定理得：ʌɪʌ,

SinASinB

.2√3_b

---=------,

sinASinB

2口b

,•∙_.π—___._7_1，

Sm彳sɪnɜ

解得：b=3√-2）

故选:B.

直接利用正弦定理即可求解.

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，是基础题.

8.【答案】a

【解析】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,

甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n=6×6=36,

其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m=房=30,

则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P=四=羽=|.

n366

故选：A.

利用古典概型、排列组合等知识直接求解.

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

9.【答案】AD

【解析】解：因为五=(1,-1),B=(2,0)，所以万一日=(一1,一1)，

对4：Id-力=√^∑,∣α∣=y∕~2>所以|五一方|=|||，故A正确；

对B：因为1x(-1)—(-1)x(-I)=—2K0,所以益与五不平行，故8错误；

对C：方=(1,-1)5=(2,0)，

则cos<ZB>=舒=£=

∙∙,<d,b>∈[0,π]»

，方与3的夹角为也故C错误；

对・D：日在B上的投影为萼=,=1,则a在B上的投影向量为(1,0),故。正确；

|0|Z

故选：AD.

根据平面向量数量积的运算性质逐一进行判断即可

本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量的垂直、平行的判断，向量投影的求法等，属于

中档题.

10.【答案】ACD

【解析】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果有：｛正，正｝、｛正、反｝、｛反、正｝、｛反，

反｝,共4个基本事件；

对于4满足事件4的基本事件有｛正，正｝、｛正、反｝,共2个基本事件，则P(A)=/4正确：

对于8,满足事件ZB的基本事件有｛正，正｝,共1个基本事件，则PaIB)=；,8错误；

对于C,事件4与事件B可同时发生，.∙.事件4与事件B不互斥，C正确；

对于D,满足事件B的基本事件有｛正，正｝、｛反、正｝,共2个基本事件，则P(B)=%

.∙∙P(AB)=PQ4)P(B),•••事件4与事件B相互独立，。正确.

故选：ACD.

列举出所有基本事件，并确定满足事件4,AB,B的基本事件个数，由此计算得到P(4),P(AB),

P(B),结合互斥事件定义和独立事件概率乘法公式可判断出结果.

本题主要考查古典概型概率公式，互斥事件与相互独立事件的判断，考查运算求解能力，属于基

础题.

11.【答案】BD

【解析】解：设新农村建设前经济收入为ɑ,则新农村建设后经济收入为2ɑ,

则由扇形图可得新农村建设前种植收入为0.6α,其他收入为0.04α,养殖收入为0.3α,

新农村建设后种植收入为0.74α,其他收入为0.1α,养殖收入为0.6α,

对于选项A,新农村建设后，种植收入增加了0.74α-0.6α=0.14α,故A错误；

对于选项其他收入为0.1α,0.1α>2×0.04a=0.08α,故增加了一倍以上，故B正确；

对于选项C,养殖收入为0.6α,因为0.6α=2X0.3ɑ,即新农村建设后，养殖收入增加了一倍，故

C错误：

对于选项因为养殖收入与第三产业收入总和为1.16α,由1.16a>gx2a=a,所以养殖收入

与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半，故。正确.

故选：BD.

设新农村建设前经济收入为a,则新农村建设后经济收入为2a,根据扇形图，逐项分析即可.

本题主要考查了统计图的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解：对于选项4连接ADi和BCr由此可知点4,M,N在平面ABClCl中，

点C任平面ABGDi,则四点4,M,N,C不共面，即选项A不正确；

对于选项B,由正方体的性质结合条件可知M,N分别是4。,，BDl的中点，所以MN〃/1B,

又因为所以MN〃CC,即选项8正确；

对于选项C,点B,C,5都在平面AlBCDl内，所以与平面BCDl相交，即选项C正确；

对于选项。，因为MN为△48Dl的中位线，且MN=1,所以正方体的棱长为2,

222

设正方体ABCO-4BlelDI外接球的半径为R,则2R=√∖D1A1∖+∖AA1∖+∖AB∖=2口,

即R=C，则外接球的表面积为S=4兀/?2=i2τr,即选项。正确;

Di__________C1

故选：BCD.

连接4Dι和BG，由此可知点A,M,N在平面ABGDl中，而点C不在平面ABClDl中，即可判断选

项A;由已知得MN为△4BDl的中位线，利用中位线的性质即可判断选项以由己知得点8,C,D1

都在平面为BCD1中，与平面&BCD1相交，即可判断选项C；由MN=I即可求得正方体的棱

长为2,则可以求出正方体48CD-4BIGDI外接球的半径，即可判断选项D

本题考查球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题.

13.【答案】89.5

【解析】解:由题意,8个班得分从小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96,

又8X0.25=2,故该组数据的25%分位数是TX(89+90)=89.5.

故答案为：89.5.

根据百分位数的计算求解即可.

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.

14.【答案】10

【解析】解：a=(1,—2),b=(m,2)›fiα1b>

则m—4=0>解得m-4,

4α+∂=(4,-8)+(4,2)=(8,-6)，

故ITn为+9|=∣4α+6∣=√64+36=10.

故答案为：10.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解.

本题主要考查向量垂宜的性质，以及向量模公式，属于基础题.

15.【答案】I

【解析】解：设“甲独立地破解谜题”为事件4“乙独立地破解谜题”为事件B,“谜题被破解”

为事件C,且事件4B相互独立，

则P(C)=1-P(AB)=1-(1-∣)×(1-∣)=∣.

故答案为:

O

设“甲独立地破解谜题”为事件4,“乙独立地破解谜题”为事件B,“谜题被破解”为事件C,

利用P(C)=1-P(AB)求解.

本题考查相互独立事件的概率计算，属于基础题.

16.【答案】12

fIq

【解析】解：已知样本与，x2,...,XlO的平均数为"号O=5,

3(X1-1)+3(X2]：)+...+310-1)

则3。1一1),3(x2-1).......3(xπ,_1)的平均数：=。

=3(XI+X2+]JI°)-30=3×5-3=12.

故答案为:12.

由题意，根据平均数公式进行求解即可.

本题考查平均数的应用，考查了运算能力.

17.【答案】解：(1)复数z=4+αi,

22

则z?=(4÷ai)=16—α÷Sai9

α>0,i为虚数单位，且Z?为纯虚数,

<；02=°解得Q=4；

4+4i1+i4(l+i)(l+2i)4.4,12.

(2)ZL⅛r=2i=4y1×Ξ∑2i=4×⅛⅛τ⅛=5z(-41+lo3lλ)=-5÷τl

故复数ZI对应复平面内的点(Y，s在第二象限.

【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解;

(2)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的儿何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

18.【答案】解：长方体的体积为10x8x15=1200(0∏3),半球的体积为百χ^兀X(I)3=

粤C/),

则组合体的体积U=1200+ɪ(em3),

半球的表面积为2×4ττ×(|)2=等(Cm2),

圆的底面积S=Tr(I)2=华(Czn2),

长方体的表面积为2X(IoX8+8X15+10X15)=2X350=700(cm2),

则组合体的表面积为700-学+等=700+字(cm2).

424v7

【解析】分别根据球和长方体的体积公式和表面积公式进行计算即可.

本题主要考查空间几何体的体积和表面积的计算，根据球和长方体的体积和表面积公式进行计算

是解决本题的关键，是中档题.

19.【答案】解：(1)a=ΛΛ39.b=2,4A=120°,

・••由正弦定理得已=-⅛,即二¾=-⅛,解得sinB=V，

StnAsιnBstnl20oSinB13

由余弦定理得a?=b2+C2-2bccosA,BP39=4+c2-2×2×c×(-,

解得c=5或c=-7(不合题意，舍去)；

(2)S08C=∖"sinB=TX√-39×5×=2-∙

【解析】(1)根据正、余弦定理，即可得出答案；

(2)根据面积公式，即可得出答案；

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由频率分布直方图得，(α+0.04+0.03+0.02+α)×10=1,解得α=0.005；

设中位数为X,P!∣J10×0.005+10×0.04+(x-70)×0.03=0.5,解得久271.67,所以中位数是

71.67.

(2)根据频率分布直方图得，100名学生期中考试语文成绩不低于80分的频率为0.02