2023年内蒙古包头市中考数学试卷（附答案详解）

2023年内蒙古包头市中考数学试卷

1.下列各式计算结果为的是（）

A.（Q3）2B.α1°÷a2C.a4∙aD.（―l）-1α5

2.关于X的一元一次不等式％-1≤Tn的解集在数轴上的表-----------------

示如图所示，则山的值为（）——1__1__1__1__i→∙

-10123

A.3B.2C.1D.0

3.定义新运算,规定：α<g）b=α2-∣b∣,贝1）（一2）（8）（-1）的运算结果为（）

A.-5B.-3C.5D.3

4.如图，直线Ci〃b,直线/与直线a,b分别相交于点A,B,

点C在直线〃上，且C4=CB.若/1=32。，则42的度数为（）

A.32。

B.58°

C.74°

D.75°

5.几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中

数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（）

6.从1,2,3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和九若点A的坐标记作（m,n）,

则点A在双曲线y=:上的概率是（）

A.ɪB.ɪC.∖D.I

ɔZɔO

7.如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与

一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面

积为25,直角三角形中较小的锐角为α,则CoSa的值为（）

A-Bd-C-D-

a.4∙3j55

8.在平面直角坐标系中，将正比例函数y=-2X的图象向右平移3个单位长度得到一次函数

y=kx+b（k≠0）的图象，则该一次函数的解析式为（）

A.y=-2x+3B.y=­2x+6C.y=-2x—3D,y=-2x—6

9.如图，O。是锐角三角形4BC的外接圆，OD1AB,OELBC,

OF14C.垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,/〃

△4BC的周长为21,则EF的长为(

C.3.5、-

D.3

10.如图，在平面直角坐标系中，△OZB三个顶点的坐标分别为)，A

0(0,0),A(2√^3,O),B(√-3,l)-△。4'B与△04B关于直线OBT

对称，反比例函数'=(供>0/>0)的图象与4'8交于点。若

A1C=BC,则k的值为()

A.2λΛ^3O∖A

C.√-3

D.U

11.若a,方为两个连续整数，且α<q<b,则α+b=.

12.若修，不是一元二次方程χ2-2x-8=0的两个实数根，则空=

Λ1Λ2

13.如图，正方形ABCz)的边长为2,对角线AC,8。相交于A

点O,以点8为圆心，对角线BO的长为半径画弧，交BC的延

长线于点E,则图中阴影部分的面积为.\/

14.已知二次函数y=-ax?+2αx+3(α>0),若点P(m,3)在该函数的图象上，且m40,

则m的值为.

o

15.如图，在RtZkABC中，∆ACB=90,AC=3,BC=1,,JC,

将ZkABC绕点A逆时针方向旋转90。，得到AAB'C'.连接BB',交/

AC于点。，则空的值为./

B

16.如图，AC,AD,CE是正五边形ABeDE的对角线，AD

与CE相交于点F.下列结论：①CF平分NACD；@AF=2DF-,

③四边形ABC尸是菱形；④AB?=A。.EF.其中正确的结论是

.(填写所有正确结论的序号)

17.先化简，再求值：(α+2以+(α+2b)(α—2b)其中α=—1,ð=ɪ

18.解方程：-¾=5+-^.

x-11-x

19.在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一.如图

为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图.

2022年卜半年月销量统计图

(1)通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；

(2)通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点(写出一条即可)，并提出一条增加

月销量的合理化建议.

20.为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发

点,途中设置两个检查点，分别为2点和C点，行进路线为ATBTCTAB点在A点的南

偏东25°方向处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和8C所在直线的夹角

NaBC为45。.

(1)求行进路线8C和CA所在直线的夹角NBCA的度数；

(2)求检查点8和C之间的距离(结果保留根号).

N

东

21.随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中.某公司推出一款新型扫地机器

人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.

设该产品2022年第久（X为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与X的函数关系如图2

所示（图中ABC为一折线）.

图2

求每台的销售价格y与X之间的函数关系式；

（2）设该产品2022年第X个月的销售数量为m（单位：万台），相与X的关系可以用Tn=⅛x+l

来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入=每台的销售价格X销售数

量）

22.如图，AB是。。的直径，AC是弦，。是巅上一点，P是AB延长线上一点，连接AQ,

DC,CP.

A

DD

备用图

(1)求证：∆ADC-ΛBAC=90°；(请用两种证法解答)

(2)若乙4CP=乙4DC,。。的半径为3,CP=4,求AP的长.

23.如图，在菱形4BC。中，对角线AC,BD相交于点。，点P,。分别是边BC,线段0。

上的点，连接4P,QP,AP与。B相交于点E.

(1)如图1,连接Q4当Q4=QP时,试判断点。是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；

(2)如图2,若乙4PB=90°,S,∆BAP=∆ADB,

①求证：AE=2EP；

②当OQ=OE时，设EP=α,求P。的长(用含”的代数式表示).

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-％2+3%+1交丫轴于点4,直线y=-gχ+2

交抛物线于8,C两点(点8在点C的左侧)，交y轴于点。，交X轴于点E.

(1)求点。，E,C的坐标；

(2)/是线段。E上一点(OF<EF),连接4F,DF,CF,S.AF2+EF2=21.

①求证：ADFC是直角三角形；

②NDFC的平分线FK交线段Z)C于点K,P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∕PFK=1

时，求点尸的坐标.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】W：∙∙∙（ɑ3）2=α6≠α5,

.•・选项A不符合题意；

01°÷a2=a8≠a5,

••・选项8不符合题意；

,,,a4-a=a5,

••・选项C符合题意；

（―l）-1αs=-a5≠a5,

二选项。不符合题意.

故选：C.

根据负整数指数幕的运算方法，幕的乘方和积的乘方的运算方法，同底数幕的乘法、除法的运算

方法，逐项判断即可.

此题主要考查了负整数指数累的运算方法，累的乘方和积的乘方的运算方法，同底数幕的乘法、

除法的运算方法，解答此题的关键是要明确：（I）。+=2（。力0邛为正整数）；（2）（am）n=

a7nn（τn,π是正整数），（ab）n=a"bn（π是正整数）；（3）同底数幕相乘，底数不变,指数相加；（4）同

底数基相除，底数不变，指数相减.

2.【答案】B

【解析】解：移项，可得：x≤m+l,

根据图示，不等式的解集是X≤3,

ʌm+1=3,

解得m=2.

故选：B.

首先根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式尤-1≤机的解集，然后根据不等式的解集是X≤3,

求出，〃的值即可.

此题主要考查了解一元一次不等式的方法，解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程

基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为L

3.【答案】D

【解析】解：由题意可得:

(-2)Θ(-1)

=(-2)2-I-11

=4—1

=3.

故选：D.

直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案.

此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

4.【答案】C

【解析】解：∙∙∙CA=CB,

.•.△4BC是等腰三角形，

.∙.∆CBA=∆CAB=(180°-32")+2=74°,

∙.∙a∕∕b,

.∙.Z2=∆CBA=74°.

故选：C.

由C4=CB可得AABC是等腰三角形，从而可求4CB4的大小，再结合平行线的性质即可解答.

本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键.

5.【答案】B

【解析】解：观察图形可知，该几何体的主视图有3歹U,每一列都有3个正方形，即

故选：B.

根据俯视图中每列正方形的个数，再判断从正面看得到的图形即可.

本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图.由几何体的俯视图及小正方形内的数字，

可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的

最大数字.左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形

数字中的最大数字.熟知视图方法是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：从1,2,3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：(1,2),

(2,1))(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),并且它们出现的可能性相等，

点A坐标在双曲线y=g上有2种情况：(2,3),(3,2),

所以，这个事件的概率为P=擀=；.

63

故选：A.

先求出点4的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线y=g上的坐标的个数，根据随机

事件概率的计算方法，即可得到答案.

本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有〃

种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的机种结果，那么事件A发生的

概率P(A)=M

7.【答案】D

【解析】解：•••小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,

•••小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,

设直角三角形较短的直角边为则较长的直角边为α+l,其中α>0,

由勾股定理得：ɑ2+(α+l)2=52,

解得：α=3,

.∙.α+1=4,

4

.∙.COSa—ʒ.

故选：D.

首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短

的直角边为m则较长的直角边为α+l,再利用勾股定理得到关于“的方程，解方程可求出直角

三角形的两个个直角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出COSa的值.

此题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函

数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边.

8.【答案】B

【解析】解：正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的解析式为y=

—2(x—3)=-2x+6.

故选：B.

根据一次函数图象平移的规律解答即可.

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知”上加下减，左加右减”是解题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：∙∙∙。。1AB,OE1BC,OFLAC,

：.ADBD,AF=CF,BE=CE,

•••DE,DF,EF是的中位线，

Ill

・・・DE=^ACfDF=^BCfEF=^AB,

11

・•・DE+DF+EF=久48+BC+AC)=/21=10.5,

vDE+DF=6.5,

ʌEF=10.5-6.5=4,

故选：B.

根据垂径定理得到AD=BD,AF=CF,BE=CE,根据三角形的中位线定理得到CE+DF+EF=

+BC+AC)=^×21=10.5,于是得到结论.

本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是

解题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：如图，过点B作BDIX轴于点。，

•••0(0,0),Λ(2√^^3,0).B(O,1)>

.∙.BD=1,OD=√-3,

ʌAD=OD=√~3>tan∆BOA=需=~γ^,

.∙.OB=AB=√OD2+BD2=2，LBOA=ΛBA0=30°,

.∙.∆OBD=∆ABD=60o,∆OBA=120°,

•・•△408与A4'08关于直线OB对称，

.∙.∆OBA'=120。，

.∙.Z-OBA'+∆OBD=180°,

.∙.点4、B、。共线，

.∙.A'B=AB=2,

•••A'C=BC,

：.BC=1,CD=2,

•∙•点C(，3,2),

•・,点C(√^3,2)在反比例函数y=g的图象上，

∙,∙k=V^^3×2=2√-3>

故选：A.

利用直角三角形的边角关系以及对称的性质可得出点4、8、。共线，进而求出点C的坐标，再根

据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可.

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握等腰三角形的性质以及翻折的性质是正确解答的

前提.

11.【答案】3

【解析】解：•••1<3<4,

ʌ1<√^3<2,

a=1,b=2,

则α+b=1+2=3,

故答案为：3.

先估算C在哪两个连续整数之间求得b的值，然后将其代入α+b中计算即可.

本题考查无理数的估算和代数式求值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

12.【答案】一)

4

【解析】解：根据题意得与+&=2,X1X2=-8»

则萼=^⅞=-*

XlK2-θ4

故答案为：一).

4

根据根与系数的关系得到与+x2=2,X1X2=-8,然后利用整体代入的方法计算.

本题考查了根与系数的关系：若%1，%2是一元二次方程αχ2+bχ+c=0(α力0)的两根时，X1+

bc

%2=一£XIX2=^∙

13.【答案】π

【解析】解：•・・四边形ABC。是正方形，

∙∙AO=CO,BO=DO,AD=CD,乙DBE=45°,

ΛΔAOD^ΔCOB(SSS)f

・・・正方形ABCD的边长为2,

・•・BD=√22+22=2λΛI,

••・阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45"&、F=

360

故答案为：it.

根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BE。的面积，然后由勾股定理得出BD=2。，再

由扇形面积公式求解即可.

本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BEO

的面积是解题的关键.

14.【答案】2

【解析】解：点P(m,3)在二次函数y=-αM+2αχ+3(α>0)的图象上，

:，3=­am2+2am+3,

:∙-am(m—2)=O,

解得m=2或m=0(舍去),

故答案为：2.

将点P(m,3)代入函数解析式求解即可.

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键.

15.【答案】5

【解析】解：过点。作DFIAB于点尺

∆ACB=90o,AC=3,BC=1,AB=√32+I2=√-10.

•••将AABC绕点A逆时针方向旋转90。得到AAB'C',AB=AB'=y∏0,∆BAB1=90",

是等腰直角三角形，

乙ABB'=45°

•••DFLAB,乙DFB=45°,

DFB是等腰直角三角形，

.∙.DF=BF,

SADBA=；XBCXAD=；XDFXAB,即AO=<IUθ尸，

VZC=∆AFD=90°,∆CAB=LFAD,

.∙∙ΔAFDsRACB,

.DF_AF

''"丽=而'

即AF=3DF,

X∙.∙ΛF=√Iθ-DF,

Cr√Tθ

.∙.DF=——>

4

ʌAD=√10×vɪθ=

5

-

AO2

--=-=5

CD1

-

2

故答案为：5.

过点。作DF工48于点凡利用勾股定理求得48=Q6根据旋转的性质可证44BB'∖LDFB

11

2-2-

是等腰直角三角形，可得。尸=BF,再由SAyWBAD=>J10DF，

证明△?!FDSzi4CB,可得装=察，即4尸=3。尸，再由ZF=√^IU—DF，求得DF=色，从而

DCAC4

求得AD=|,CD=γ即可求解.

本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，则

练掌握相关知识是解题的关键.

16.【答案】①@④

【解析】解：①•：五边形ABCDE是正五边形，

.∙.AB=BC=CD=DE=EA,

∆ABC=乙BCD=∆CDE=∆DEA=EAB=(5-2)jl80.=血。,

⅛∆ΛBCφ,/-ABC=108",AB=BC,

4BAC=∆BCA=I””8。=36。，

同理可得，乙DCE=乙DEC=∆EAD=∆EDA=36。，

.∙.∆ACE=4BCD-LBCA-乙DCE=108°-36°-36°=36°,

•••Z.ACE=Z.DCE,

即CF平分CD,

故①正确；

②∙.∙∆ACE=乙DEC=36o,∆AFC=乙DFE,

.AFAC

DFDE

ACAC

V—=—≠2,

DEAB

,,丽≠2'

即AF≠2DF,

故②错误；

③•・・∆BAC=Z.ACE=36°,

・•,AB∕∕FCf

VZ-EAB=108o,Z.EAD=36°,

Λ∆DAB=∆EAB-∆EAD=108°-36°=72°,

•・•Z-ABC=108°,

ʌ∆ABC+∆DAB=108°+72°=180°,

・•.AF//BCJ

，四边形ABCF是平行四边形，

又•・.AB=BC,

四边形ABCF是菱形，

故③正确；

④∙.∙Z.DEF=乙DAE=36°,乙EDF=ΛADE,

.,.ΔDEFS△DAE,

.DEEF

ADAE

•・•DE=AE=AB,

tAB__EF_

Λ^AD~~AB'

^AB2=AD-EF,

故④正确；

综上，正确的结论是：①③④；

故答案为：①③④.

根据正五边形的性质得出各角、各边之间的关系，然后由各角之间的关系以及相似三角形的判定

与性质，菱形的判定分别证明即可.

本题主要考查了正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定定理，熟练掌握这些知

识是解题的关键.

17.【答案】解：原式=a?+和2+4αb+a2-4炉

=2a2+4αb,

当a=-1.b—；时，

4

原式=2×(-1)2+4×(-1)Xɪ

=2-1

=1.

【解析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案.

此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键.

18.【答案】解：原方程两边同乘。一1),去分母得：3=5(x-l)-3x,

去括号得：3=5x—5—3%,

移项，合并同类项得：—2x=-8,

系数化为1得：X=4,

检验：将X=4代入(X-1)中得4-1=3≠0,

则原分式方程的解为：%=4.

【解析】按照解分式方程的步骤解方程即可.

本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验.

19.【答案】解：(1)以=竺：9里_09型9.2济里23.吐22=20.05(万辆),

答：该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆；

(2)2022年下半年月销量的特点：月销量递增趋势；12月销量最大；有三个月销量超过20万辆,

中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆.

建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质销后服务.

【解析】(1)估计平均数的定义求解即可；

(2)利用条形统计图的数据阐述即可.

本题考查了平均数以及中位数等统计知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想方

法解答.

20.【答案】解：(I)由题意得：∆NAC=80o,NBAS=25°,

.∙.乙CAB=180°-4NAC-/.BAS=75°,

∙∙∙∆ABC=45°,

4ACB=180o-∆CAB-∆ABC=60°,

•••行进路线BC和CA所在直线的夹角NBCA的度数为60。；

(2)过点A作AD1BC,垂足为。，

在R£△ABD中，AB=3y[~2kτ∏fZ-ABC=45°,

.∙.AD=AB-sin45o=3<7X号=3(km)，

BD=AB-cos450=3√^^2X3=3(Jim)，

在RtA40C中，∆ACB=60°,

CD=磊=7⅛=O

BC=BD+CD=(3+√-3)∕cm,

.•・检查点8和C之间的距离(3+G)km.

【解析】⑴根据题意可得：/.NAC=80o,NBAS=25°,从而利用平角定义可得NC4B=75。，然

后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；

(2)过点A作4。1BC,垂足为£>,在Rt△力BD中，利用锐角三角函数的定义求出AQ和BO的长，

再在RtAAOC中，利用锐角三角函数的定义求出CZ)的长，然后利用线段的和差关系进行计算，

即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

21.【答案】解:(1)当1≤x≤10时,设每台的销售价格y与X之间的函数关系式为y=∕cx+b(k≠0),

•••图象过A(1,2850),B(Io,1500)两点，

.(k+b=2850

"Ilok+b=1500'

解得仁瑞

二当1≤X≤10时，每台的销售价格y与X之间的函数关系式为y=-150x+3000；

(2)设销售收入为W万元，

①当1≤X≤10时，w=(-150x+30000扁X+1)=-15(x-5)2+3375,

-15<0,

.∙.⅛x=5⅛,Wjt大=3375(万元)；

②当10<x≤12时，W=1500扁X+1)=150x+1500,

W随X的增大而增大，

.∙.⅛X=12时，观最大=150×12+1500=3300(万元)；

V3375>3300,

第5个月的销售收入最多，最多为3375万元.

【解析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)根据销售收入=每台的销售价格X销售数量，可求得销售收入w(万元)与销售月份X之间的函数

关系，再利用函数的性质即可求解.

本题考查一次函数、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法，

二次函数的性质是解题的关键.

22.【答案】（1）证明：方法一：如图，连接BD,

「AB是。。的直径，

.∙.∆ADB=90°,

VZ-ADC—Z-BDC=Z.ADBJZJBDC=/.BACf

・・・∆ADC-∆BAC=90°；

方法二：如图，连接BC,

•・・48是。。的直径，

ΛZ.ACB=90°,

V乙PBC=Z-BAC÷Z-ACBy

ʌ∆PBC-Z.BAC=90°,

•・,四边形ABC。为。。的内接四边形,

・・・Z,ADC÷∆ABC=180°,

V∆PBC+∆ABC=180°,

・•・∆ADC=Z-PBC,

・•.∆ADC-∆BAC=90°；

(2)解：由图可得NADC=NPBJ

VACP=∆ADC1

Λ∆PBC=/.ACP9艮IlNPBC=NPe71,

VZ-BPC=Z-CPA,

.∙.∆PBCSAPCA,

PBPC

:、''-------(

PCPA

.∙.PC2=PA-PB,

∙.∙G>O的半径为3,

∙∙.AB=6,

・•・PA=PB÷6,

•・•CP=4,

.∙.42=（PB+6）∙PB,

解得：PB=2或PB=-8（舍去），

则AP=2+6=8.

【解析】（1）方法一：连接8。，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论：

方法二：连接BC,利用圆周角定理求得乙4CB=90。，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外

角性质即可证得结论；

（2）根据方法二中的图形易证得APBCsAPca,结合已知条件，根据相似三角形的对应边成比例

求得PB的长，继而求得AP的长.

本题考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中结合已知条件证得△PBCSAPCA是解题的关键.

23.【答案】（1）解：结论：点。在线段PC的垂直平分线上.

理由：连接QC.四边形ABC。是菱形，对角线AC,相交于点O,

.∙.BD1AC,OA=0C,

：■QA=QC1

VQA=QPf

QC=QP,

•・.点Q在线段PC的垂直平分线上；

(2)①证明：如图，•••四边形ABC。是菱形，

AB=BC=CD=DAf

:∙Z-ABD=Z.ADB,乙CBD=Z-CDB,

VBD1ACf・•・Z.ADO=乙CDO,

Z-ABD=乙CBD=∆AD0.

V乙BAP=∆ADB,

••・CBAP=乙ABD=∆CBD.

o

∙∙∙AE=BE,Z-APB=90,∆BAP∆ABP=90°f乙BAP=

Z.ABD=乙CBD=30°

在RtABPML∆EPB=90o,∆PBE=30°,

1

・•・EP=泗,

•・,AE=BE,

.∙.EP=^AE,

ʌAE=2EP；

②如图，连接QC∙

-AB=BC,∆ABC=60°,

•••△48C是等边三角形.Z-APB=90°,

：•BP=CP,EP=α,

：・AE=2a,AP=3α,

在RtZkAPB中，NAPB=90。，

AP√3

Vtan∆AyBinPn=—=

.∙.BP=y∕~~3af

：,CP=BP=√^3α,

VAO=CO9Z-AOE=∆COQfOE=OQ,

公AoEdCOQ(SAS),

：・AE=CQ=2a,Z-EAO=乙QCO,

：,AEllCQ,

V∆APB=90°,

ʌ/-QCP=90。，

在RtMCQ中，“"=90。，

由勾股定理得PQ2=PC2+CQ2,

222

ʌPQ=PC+CQf

・・・PQ=y∕~~7a.

【解析】(1)根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；

(2)①根据菱形的性质得出48=BC=CD=DA,再由各角之间的关系得出NBZP=Z.ABD=

乙CBD=30°,由含30度角的直角三角形的性质求解即可；

②连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出4E=2α,AP=3af再由正切函数及全等三角形的

判定和性质及勾股定理求解即可.

题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三

角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

24.【答案】⑴解：直线>=一京+2交y轴于点£>,交X轴于点E,

当汽=0时，y=2,

・・・O(0,2),

当y=0时,，%=6,

ʌE(6,0),

•・•直线y=-∣x+2交抛物线于B,。两点(点8在点C的左侧),

ɔ1

，-X2+3%+1=--X+2,

ʌ3%2—IOx÷3=0,

解得％ι=∣,x2=3,

•・•点8在点C的左侧，

・・・点C的横坐标为3,当％=3时，y=1,

・・・C(3,l),

答：C(3,l),D(0,2),E(6,0).

(2)如图，

①证明：•••抛物线丫=一/+3%+1交》轴于点4,

当％=0时，y=1,

.∙M(0,1),

ʌOA=1,

在Rt△力。F中，∆AOF=90°,

・・・AF2=OA2+OF2,

设F(Tn,0),

.∙.OF=m,

・・.AF2=1÷m2,

•・•£(6,0