2023年四川省眉山市中考数学真题卷（含答案与解析）

眉山市2023年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试

数学试卷

(考试时间120分钟试卷满分150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。

3.非选择题的作答用0∙5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试

题卷上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷(选择题共48分)

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.

ɪ

1.2倒数是()

11

A.----B.—2C.~D.2

22

2.生物学家发现了某种花粉的直径约为0.(XXXX)21毫米，数据0.(XXXX)21用科学记数法表示正确的是

()

A.2.1×10^6B.21x10"C.2.1χlOTD.21×10-5

3.下列运算中，正确的是()

A.3a3-a2=2aB.(«+/?)--a1+b2C.a3b2÷a2=aD.(α%)=aib2

4.如图，ABC中，AB=AcNA=40。，则NAcD的度数为()

D

A.70oB.IOOoC.IlOoD.140o

5.已知一组数据为2,3,4,5,6,则该组数据的方差为（）

A.2B.4C.6D.10

6.关于K的一元二次方程%2-2X+"-2=0有两个不相等的实数根，则根的取值范围是（）

3

A.m<—B.m>3C.m≤3D.m<3

2

3x—y=4∕n+l

7.已知关于％y的二元一次方程组〈C厂的解满足χ-y=4,则根的值为（）

x+y=2m-5

A.0B.1C.2D.3

8.由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为

（）

A.6B.9C.10D.14

X〉tn+3

9.关于X的不等式组I=C\,的整数解仅有4个，则机的取值范围是（）

5Λ-2<4X+1

A.—5≤/W<-4B.—5<m≤-4C.—4≤∕w<-3D.-4<m≤—3

10.如图，AB切。于点B,连接。4交〈。于点C,BD//OA交∖O于点。，连接CO,若

ZOCD=25°,则/A的度数为（）

A.25oB.35oC.40oD.45°

11.如图，二次函数y=αχ2+陵+c（αwθ）图象与X轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴为直线

x=-l,下列四个结论：①abc<O；®4a-2b+c<0；③3α+c=0;④当-3<x<l时，

ax2+bx+c<O;其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.如图，在正方形ABCD中，点E是CO上一点，延长CB至点儿使BF=DE，连结

AE,AF,EF,EF交AB于点K,过点A作AG_L砂，垂足为点，，交CF于点G,连结

HD,HC.下列四个结论：①A/7="C；②HD=CD；③NFAB=NDHE;④

AK=.其中正确结论的个数为（）

C.3个D.4个

第∏卷（非选择题共102分）

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接写在答题卡相应

位置上.

13.分解因式：χi-4X2+4-X=.

14.已知方程为2一3%一4=0的根为和七，则（%+2）•（修+2）的值为.

15.如图，JRC中，AO是中线，分别以点4,点B为圆心，大于‘AB长为半径作弧，两孤交于点

2

M,N.直线MN交AB于点及连接CE交AO于点尺过点D作£>G〃CE,交AB于点G.若

DG=2,则CF的长为.

的解为非负数，则，〃的取值范围是.

17.一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60。方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得

灯塔C在它的北偏东45。方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是

海里.

18.如图，在平面直角坐标系Xoy中，点B的坐标为（一8,6）,过点B分别作X轴、y轴的垂线，垂足分别

为点C、点A,直线y=-2x—6与A6交于点D与y轴交于点E.动点M在线段BC上，动点N在直线

y=-2x-6上，若一AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

三、解答题：本大题共8个小题，共78分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上.

19.计算：（26-万1-码+3tan30°+

1X2-4

20.先化简：1再从-2,-1,1,2选择中一个合适的数作为X的值代入求值.

X-Ix-1

21.某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个

活动小组）：A.音乐，B.美术，C.体育，D阅读，E.人工智能，为了解学生对以上兴趣活动的参与

情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：

9O

S0

7O

60

5M0

S

2O

IO0

（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

②扇形统计图中的圆心角α的度数为.

（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；

（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加

市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.

（2）点G是线段A/上一点，满足NFCG=/FCD,CG交A。于点若AG=2,EG=6,求GH

的长.

23.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为

提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本

乙种书共需IOO元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元.

(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元：

(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？

24.如图，在平面直角坐标系Xoy中，直线y=a∙+%与X轴交于点A(4,0),与y轴交于点B(0,2),与

(I)求反比例函数的表达式：

m

(2)当日+。＞—时，直接写出X的取值范围；

X

(3)在双曲线y='上是否存在点P,使,A3P是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P

X

的坐标；若不存在，请说明理由.

25.如图，-ABC中，以AB为直径的;。交BC于点E.AE平分/B4C,过点E作EAC于点

D,延长。E交AB的延长线于点R

(1)求证：PE是-O的切线;

(2)若SinNP=—,BP=4,求Co的长.

3

26.在平面直角坐标系中，已知抛物线'=0^+法+,与；1.轴交于点4（—3,0）,3（1,0）两点，与y轴交于

点C（0,3）,点尸是抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线的表达式;

PD

（2）当点尸在直线AC上方的抛物线上时，连接成交AC于点D如图1.当；9的值最大时，求点P

DB

的坐标及最PD的最大值;

（3）过点尸作X轴垂线交直线AC于点连接PC,将APCM沿直线PC翻折，当点”的对应点

"'恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标.

参考答案

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每个小题给出的四个选项中,

只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.

ɪ

1.5的倒数是（）

1\

A----B.—2C.~D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】根据倒数的概念，乘积为1的两个数互为倒数，由此即可求解.

【详解】解：-』的倒数是—2，

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查求一个数的倒数，掌握倒数的概念是解题的关键.

2.生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0(X)0021毫米，数据0.(XXXX)21用科学记数法表示正确的是

()

A.2.1×10^6B.21×10^6C.2.1×10^5D.21×10^5

【答案】A

【解析】

【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成αχlθ",其中l≤α<10,〃是一个负

整数，〃的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，即可解答.

(详解］解：0.0000021=2.1x10-6,

故选：A.

【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键.

3.下列运算中，正确的是()

A.3a3—a2-2aB.(tz+Z?)'=a2+b^C.a3b~÷a2=aD.("")=a"b?

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项可判断A,根据完全平方公式可判断B,根据单项式除以单项式可判断C,根据积

的乘方与累的乘方运算可判断D,从而可得答案.

【详解】解：3ai,/不是同类项，不能合并，故A不符合题意；

(a+b↑=a2+2ab+b2,故B不符合题意；

α¼2÷a'-ab2>故C不符合题意；

(a2b^a4b2,故D符合题意；

故选D

【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方与基的乘方运算

的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键.

4.如图，-ABC中，AB=AcNA=40。，则/A8的度数为()

A

c.IiooD.140°

【答案】C

【解析】

【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答.

【详解】解：AB=AC,ZA=40°,

喀幺=7°°,

.∙.ZACD=ZA+ZB=IlOo,

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键.

5.已知一组数据为2,3,4,5,6,则该组数据的方差为()

A.2B.4C.6D.10

【答案】A

【解析】

【分析】先计算这组平均数的平均数，再根据方差公式计算即可.

【详解】解：∙.∙jf=gx(2+3+4+5+6)=(x20=4,

22222

,Y=1XΓ(2-4)+(3-4)+(4-4)+(5-4)+(6-4)‰ɪ×(4+1+0+1+4)=2.

5L」5

故选A.

【点睛】本题主要考查了方差公式，熟记方差公式是解题的关键.

6.关于X的一元二次方程d_2x+/〃-2=0有两个不相等的实数根，则〃?的取值范围是()

3

Am<-B.m>3C.∕τz≤3D.m<3

2

【答案】D

【解析】

【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】解：.•・关于X的一元二次方程χ2一2χ+加一2=0有两个不相等的实数根,

ΛΔ=(-2)2-4(zn-2)>0,

.β.m<3,

故选D.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程㈤:?+法+c=o(a*o),若

A=Z>2-4αc>0,则方程有两个不相等的实数根，若A=/??一4a。=。，则方程有两个相等的实数根，若

A=力2-4αc<0,则方程没有实数根.

f3x-y=4w+l

7.已知关于X,y的二元一次方程组《-CU的解满足x—y=4,则"的值为()

[x+y=2m-5

A0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x-y=6+3,代入χ-y=4,即可解答.

3x-y=4m+1①

【详解】解:

x+y=2m-5(2)

①-②得2x-2y=2nt+6,

:.x-y-m+3,

代入X-y=4,可得m+3=4,

解得zn=1,

故选:B.

【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键.

8.由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为

()

A.6B,9C.10D.14

【答案】B

【解析】

【分析】根据俯视图可得底层最少有6个，再结合左视图可得第二层最少有2个，即可解答.

【详解】解：根据俯视图可得搭成该立体图形的小正方体第三层最少为6个，

根据左视图第二层有2个，可得搭成该立体图形的小正方体第二层最少为2个，

根据左视图第二层有1个，可得搭成该立体图形的小正方体第二层最少为1个，

故搭成该立体图形的小正方体第二层最少为6+2+1=9个，

故选:B.

【点睛】本题考查了由三视图判断小立方体的个数，准确地得出每层最少的小正方体个数是解题的关键.

%>m+3

9.关于X的不等式组<UC\,的整数解仅有4个，则机的取值范围是（）

5%-2<4%+l

A.一5≤"Z<TB.-5<m≤TC.-4≤/«<—3D.-A<m≤-3

【答案】A

【解析】

【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出,”的范围即可.

x>m+3φ

【详解】解:

5x-2<4x+l②

由②得：x<3,

解集为机+3<x<3，

由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2,1,0,-1,

•∙-2≤m+3<—1»

•—5≤<—4；

故选：A.

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据

不等式组的解集得到-2≤m+3<-1是解此题的关键.

10.如图，AB切；。于点8,连接。4交.。于点C,BD〃OA交［O于点、D,连接Cz),若

NOCO=25。，则NA的度数为()

A.25oB.35oC.40oD.45°

【答案】C

【解析】

【分析】如图，连接。8,证明ZABO=90o,ZCDB=25°,可得NBOC=2/BDC=50°,从而可得

NA=40°.

【详解】解：如图，连接。B,

YAB切(O于点B,

ZABO=90°,

■：BD//OA,NOCD=25。,

：.NCDB=25°,

.∙.ZBOC=2ZBDC=50°,

.,.ZA=40°；

故选C

【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性

质是解本题的关键.

11.如图，二次函数y="2+bx+c(αwθ)的图象与X轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线

x=-l,下列四个结论：①加七<0；②4«—a+c<0；③3α+c=0;④当一3<x<l时，

ax2+/?x+c<0；其中正确结论的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，a>Q,c<0,根据对称轴为直线x=-l可得

b=2a>0,由此即可判断①；求出二次函数与X轴的另一个交点坐标为(一3,0),进而得到当χ=-2

时，y<0,由此即可判断②；根据X=I时，y=0,即可判断③；利用图象法即可判断④.

【详解】解：；二次函数开口向上，与)，轴交于y轴负半轴，

.∙a>0,c<0,

・・•二次函数的对称轴为直线x=—1,

Λ-A=-I,

2a

,∖h=2a>Of

.*.abc<0，故①正确；

二次函数y=公2+bx+c(a≠0)的图象与X轴的一个交点坐标为(1,0),

，二次函数y=公2+bx+c(a≠0)的图象与X轴的另一个交点坐标为(-3,0),

，当X=-2时，y<0,

：.4a-2b+c<0,故②正确；

•；X=1时，y=0,

a+b+c—Q,

.*.a+2a+c-0,即3α+c=0,故③正确；

由函数图象可知，当一3<x<l时，ax2+bx+c<0>故④正确；

综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个,

故选D.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等,

熟知二次函数的相关知识是解题的关键.

12.如图，在正方形ABa）中，点E是CO上一点，延长C3至点凡使BF=DE，连结

AE,AF,EF,EF交AB于点K,过点A作4G_LEF,垂足为点，，交CF于点G,连结

HD,HC.下列四个结论：①AH=HC；②HD=CD；③NFAB=/DHE；④

AK∙HQ=J彳"K?.其中正确结论的个数为（）

FHGC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】根据正方形ABCD的性质可由SAS定理证ZvWF会AM>E,即可判定ZXA所是等腰直角三

角形，进而可得HE=HF=AH=LEF,由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得HC=LEE；由此

22

即可判断①正确；再根据Z4£>”+NE4。=NoH石+Z4ED,可判断③正确，进而证明

AFAK

AFKHDE，可得F=’/，结合AF=母AH=及HE，即可得出结论④正确，由/AED随

着OE长度变化而变化，不固定，可判断②"O=CD不一定成立.

【详解】解：：正方形ABC。，

AAB^AD，ZADC=ZABC=ZBAD=ABCD=90°,

.*.ZABF=ZADC=90°,

•：BF=DE,

AABF/AADE（SAS）,

.∙.ZBAF=ZDAE,AF=AE,

.∙.ZFAE=NBAF+NBAE=NDAE+ZBAE=NBAD=90°,

.,.ΛAEF是等腰直角三角形，ZAEF=ZAFE=45°,

AHlEF,

.∙.HE=HF=AH=-EF，

2

,.∙NDCB=90。,

.∙.CH=HE=-EF,

2

.∙.CH=A",故①正确；

又,：AD=CAHD=HD,

；.一AHDMeHD(SSS),

：.ZADH=NCDH=-ZADC=45°,

2

VZADH+ZEAD=ADHE+ZAED,即：45o+ZEAD=ZDHE+45°,

NEAD=ZDHE，

AZFAB=ZDHEZEAD,故③正确，

又YZAFE=ZADH45°,

：■..AFKHDE，

.AFAK

•.----=-----,

HDHE

又；AF=丘AH=EHE，

；•AKHD=√2∕7E2,故④正确，

1800-45°

•：若HD=CD,则ZDHC=ZDCH=—~~—=67.5°,

2

又,：CH=HE,

∙∙.NHCE=NHEC=67.5。，

而点E是C。上一动点，NA££)随着OE长度变化而变化，不固定，

而Z//EC=180°—ZA£D—45°=135°-ZA£D,

则故/"£C=67.5°不一定成立，故②错误；

综上，正确有①③④共3个，

故选：C.

【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角

形"三线合一"的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三

角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键.

第∏卷(非选择题共102分)

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接写在答题卡相应

位置上.

13.分解因式：χi-4X2+4X=.

【答案】X(X-2)2

【解析】

【分析】首先提取公因式X,然后利用完全平方式进行因式分解即可.

【详解】解：Y-4f+4x

=X(X2-4x+4)

=X(X-2)2,

故答案为龙5-2)2.

【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意

分解要彻底.

14.已知方程χ2-3χ-4=O的根为±，々，则(西+2)∙(Λ2+2)的值为.

【答案】6

【解析】

【分析】解方程，将解得的七,七代入&+2>(9+2)即可解答.

【详解】解：%2-3x—4=O>

对左边式子因式分解，可得(χ-4)(x+l)=0

解得玉=4,w=-l,

将x∣=4,七=T代入（g+2＞（马+2），

可得原式=(4+2)χ(-l+2)=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键.

15.如图，一A8C中，AO是中线，分别以点A,点8为圆心，大于LAB长为半径作弧，两孤交于点

2

M,N.直线MN交AB于点E.连接CE交AO于点F.过点。作OG〃CE,交AB于点G.若

DG=2,则CF的长为.

【解析】

【分析】由作图方法可知MN是线段AB的垂直平分线，则CE是ABC的中线，进而得到点尸是

2

.ABC的重心，则C∕7=gCE,证明BDGSBCE,利用相似三角形的性质得到CE=2Z)G=4,则

_2_8

CF——CE——.

33

【详解】解：由作图方法可知MN是线段AB的垂直平分线，

点E是AB的中点，

.∙.CE是一ABC的中线，

又。是ABC的中线，且AD与CE交于点F,

点尸是一ABC的重心，

.,.CF=-CE,

3

YDG//CE,

.BDG^..BCE,

.CEBCɔ

DGBD

：.CE=2DG=4,

.一口28

33

Q

故答案为：—■

【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，推

出点尸是ABC的重心是解题的关键.

16.关于X的方程叶=P的解为非负数，则，W的取值范围是____________.

X—22-X

【答案】/n≤-l且〃2≠-3

【解析】

【分析】解分式方程，可用加表示X,再根据题意得到关于加的一元一次不等式即可解答.

【详解】解：解—1=二≤,可得X=T„-1,

X—22-X

X-∖-triY-1

,X的方程匚"―I=土」的解为非负数，

X—22—X

-in—1≥O>

解得机4—1,

,x-2≠0,

-m—1—2≠0,

即“。一3,

∙,∙m的取值范围是m≤—1且m≠-39

故答案为：τn<-l且加≠-3∙

【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键.

17.一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60。方向，渔船向正东方向航行12海里到达点8处，测得

灯塔C在它的北偏东45。方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是

海里.

Jt.It

【答案】6^+6⅛ft6+6√3

【解析】

【分析】过点C作CDLAB交于点。，利用特殊角的三角函数值，列方程即可解答.

【详解】解：如图，过点C作。AB交于点Z),

由题意可知tanZCAD=tan30°=-,tanZCBD=tan45°=1,

3

设CD为χ,

.∙.BD=CD÷tan45o=X,AD=CD÷tan30o=氐，

根据AB=AD—B£>，可得方程6t-x=12,

解得X=6超+6>

渔船与灯塔C的最短距离是(66+6)海里，

故答案为：6›/3+6-

【点睛】本题考查了解解直角三角形-方位角问题，熟知特殊角度的三角函数值是解题的关键.

18.如图，在平面直角坐标系XOy中，点8的坐标为(-8,6),过点B分别作X轴、)，轴的垂线，垂足分别

为点C、点A,直线y=-2x-6与AB交于点O.与y轴交于点E.动点M在线段8C上，动点N在直线

y=-2x-6上，若-AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为

【答案】M(-8,6)或

【解析】

【分析】如图，由AAMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以40为直径的圆〃上，

MN=AN,可得N是圆，与直线y=-2x—6的交点，当M8重合时，符合题意，可得知(—8,6),当N

在40的上方时，如图，过N作N/J∙y轴于J,延长MB交BJ于K，则NNΛ4=NMMV=90°,

JK=AB=S,证明_MNK,NAJ,设7V(x,-2x-6),可得MK=NJ=-X,

KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12,而K∕=AB=8,则一2x-12-X=8,再解方程可得答案.

【详解】解：如图，：_AAW是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，

N在以AM为直径的圆"上，MN=AN,

.∙.N是圆H与直线y=-2x-6的交点，

当M,8重合时，

∙.∙B(-8,6),则H(T3),

：.MH=AH=NH=4,符合题意，

M(-8,6),

当N在的上方时，如图，过N作N/轴于/,延长MB交于K，则

/NJA=4MKN=90。,JK=AB=S,

：.ZNAJ+ZANJ=90°,

•：AN=MN,ZANM=90°,

：.ZMNK+ANJ=90°,

：.AMNK=ANAJ,

LMNKANAJ,设N(X,-2x-6),

：.MK=NJ=-x,KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12,

而K∕=AB=8,

**•—2%—12—X=8，

2022

解得：X=——,则一2x-6=一，

33

•M-用；

综上：M(-8,6)或M,8,g

故答案为：A/(—8,6)或M.

【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定

与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关

键.

三、解答题：本大题共8个小题，共78分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上.

19.计算：(26一万)°一卜一√^+3tan30°+(—

【答案】6

【解析】

【分析】先计算零指数累，负整数指数幕和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可.

【详解】解：原式=1—(6-1)+3X*+4

=l-√3+l+√3+4

=6.

【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数基和负整数指数累，熟知相关计算

法则是解题的关犍.

20.先化简：fl--L]÷L≡3,再从1,2选择中一个合适的数作为X的值代入求值.

∖X—1Jx-l

【答案】ɪ:1

x+2

【解析】

【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可.

【详解】解：fɪ--∖]÷土二2

IX-IJx-l

JXT__1Y（X+2）（x-2）

lkx-lx-1J'x-1

_x-2（XT）

x—\（冗+2）（x-2）

1

x+2,

*∙*x≠1›±2，

∙∙.把％=-1代入得：原式=—ɪ-=1.

-1+2

【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算.

21.某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个

活动小组）：A.音乐，B.美术，C.体育，。.阅读，E.人工智能，为了解学生对以上兴趣活动的参与

情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：

loo

90

so

7g0

50“

30

20

lo

根据图中信息，完成下列问题：

（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

②扇形统计图中的圆心角α的度数为.

（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；

（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加

市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.

【答案】（1）①补全图形见解析；②120。；

（2）720A；

【解析】

【分析】（1）①先求解总人数，再求解。组人数，再补全统计图即可；②由360。乘以。组的占比即可得到

圆心角的大小：

（2）由3600乘以E组人数的占比即可；

（3）画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解.

【小问1详解】

解：①由题意可得：总人数为：30÷10%=300（人），

.∙.D组人数为：300-40-30-70-60=1∞（人），

补全图形如下：

②由题意可得：—×360o=120o;

300

【小问2详解】

该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数有:

—×3600=720（A）;

300

【小问3详解】

记A,8表示男生，C,。表示女生，画树状图如图：

共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生一名女生的有8种结果,

々一男一女）82

^12^3

【点睛】本题考查了从统计图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，利用画树状图法求概率.树状图

法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回

试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.如图，YABCr）中，点E是的中点，连接CE并延长交JR4的延长线于点F.

（1）求证：AF=M；

（2）点G是线段他上一点，满足NFCG=/FCD,CG交A。于点“，若AG=2,EG=6,求G”

的长.

【答案】（1）见解析（2）∙∣

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB〃C。，AB=CD,证明V4。MVoEC（ASA）,推出

AF=CD,即可解答；

（2）通过平行四边形的性质证明GC=GE=6,再通过（1）中的结论得到DC=AB=AE=8,最后证

明GHSaoc”,利用对应线段比相等，列方程即可解答.

【小问1详解】

证明：四边形ABa）是平行四边形，

.∙.AB∕∕CD,AB=CD,

：.AEAF=ZD,

E是AO的中点，

：.AE=DE，

ZAEF=ZCED,

：.AEF≡,DEC（ASA）,

：.AF=CD,

.∙.AF=AB;

【小问2详解】

解：四边形ABCO是平行四边形，

.∙.DC=AB=AF=FG+GA=8,DC〃FA,

.∙.ZDCF=ZF,NDCG=NCGB,

∙,NFCG=NFCD,

..ZF=ZFCG,

.∙.GC=GF=6,

ZDHCZAHG,

.ΛAGH^ΛDCH，

GHAG

'~CH~~DC'

设HG=x,则CH=CG-GH=6-x,

X2

可得方程h匚=；,

6-X8

解得χ=∙∣,

即G”的长为∣∙∙

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用

上述性质证明三角形相似是解题的关键.

23.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为

提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共IOO本，已知购买2本甲种书和1本

乙种书共需Ioo元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元.

(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元：

(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？

【答案】(I)甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元

(2)该校最多可以购买甲种书40本

【解析】

【分析】(1)设甲种书的单价为X元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格+1本乙种书的价格

=100；3本甲种书的价格+2本乙种书的价格=165,列方程解答即可；

(2)设购买甲种书。本，则购买乙种书(IoO-a)本，根据购买甲种书的总价+购买乙种书的总价〈3200,

列不等式解答即可.

【小问1详解】

解：设甲种书的单价为X元，乙种书的单价为y元,

2x+y=1OO

可得方程〈

3x+2y=165

二35

解得匕

=3θ)

IX=35

，原方程的解为〈》、，

y=30

答：甲种书单价为35元，乙种书的单价为30元.

【小问2详解】

解：设购买甲种书”本，则购买乙种书(IOO-。)本,

根据题意可得35α+30(100-α)≤3200,

解得α≤4O,

故该校最多可以购买甲种书40本，

答：该校最多可以购买甲种书40本.

【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等

关系是解题的关键.

24.如图，在平面直角坐标系XOy中，直线y=履+6与X轴交于点A(4,0),与y轴交于点8(0,2),与

(2)当去+人＞生时，直接写出X的取值范围;

X

/Tl

(3)在双曲线y=一上是否存在点P,使4?P是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点尸

X

的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=--

X

(2)%<—2或0<x<6

(3)(4,-2)或(1,-6)

【解析】

【小问1详解】

4%+b=0

解:把A(4,0),3(0,2)代入y=⅛r+6中得一

b=2

ɪ

2,

b=2

.∙.直线y=H+6的解析式为y=+2,

在y=-IX+2中，当x=6时，y=-'x+2=-l,

22

ΛC(6,-l),

m.,m

把C(6,-l)代入)=一中y得0：-I二一

X6

m——6,

.∙.反比例函数的表达式>=一9

X

【小问2详解】

1C

y=——x+2

2X=6_x=-2

解：联立V,解得《,或<

6y=τ

y=—一bɪɜ

X

•••一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为(6,—1)、(—2,3),

.∙.由函数图象可知，当x<—2或0<x<6时，一次函数图象在反比例函数图象上方,

m

；,当kx+b>一时，x<—2或0<xv6;

X

【小问3详解】

解：如图所示，设直线AP交y轴于点M(0,加)，

VA(4,0),3(0,2),

ΛBM2=∣2-∕ττ∣2=m2-4m+4,AB2=22+42=20.AM2=42+m2=m2+∖6<

：.ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，

.∙.ZBAM=90°,

•'∙BM-+AM-，

m2—4/〃+4=20+/W2+16，

解得加=—8,

.∙.M(0,-8),

同理可得直线AM的解析式为y=2x-8,

y=2x-8

x=4x=l

联立《6，解得《或</

y二一一J=-2J=-6

X

.∙.点尸的坐标为(4,一2)或(1,—6).

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾

股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键.

25.如图，中，以AB为直径的Oo交BC于点E.AE平分/84C,过点E作EOLAC于点

D,延长OE交AB的延长线于点P∙

(1)求证：PE是i。的切线；

(2)若SinNp=J,3P=4,求Co的长.

3

4

【答案】(1)见解析(2)-

3

【解析】

【分析】(1)连接OE,利用角平分线的性质和等边对等角，证明A£>〃OE，即可解答；

(2)根据SinNP=1，可得"=42=1，求出OE,A。的长，再利用勾股定理得。REP的长，即可

3OPAP3

得到OE的长，最后证明即可解答.

【小问1详解】

证明：如图，连接0E,

OE=OA,

.∙.ZOAE=ZOEA,

AE平分N84C,

.∙.NDAE=/OAE,

:.ZOEAZDAE,

:,AD//OE,

AD±DE,

：.NoEP=ZADE=90°,

;.PE是。的切线;

【小问2详解】

解：设OE=X,则OP=O5+8Q=OE+8P=X+4,

ɪ

sinZ.P

^3

OE

——>解得X=2,

OPx+43

..OP=6,AP=Ao+OP=8,

I8

.-.AD=-AP=-,

33

根据勾股定理可得EP=JC尸-CE2=4&，DP=JAP-AD?

.'DE=DP-EP=3e,

AB是直径,

.∙.ZAEB=90。，

.∙.ZCED+ZAED=90°,

NCED+NC=90°,

.∙.NZ)E4=NC,

.ΛCDE^ΛED