2023-2024届新高考一轮复习湘教版 5-1 平面向量的概念及线性运算 学案

第一节平面向量的概念及线性运算

【课标标准】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义,

理解向量的几何表示2掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义3掌握向量数乘的运算

及其几何意义，理解两个向量共线的含义4了解向量线性运算的性质及其几何意义.

必备知识夯实双基

知识梳理

1.向量的有关概念即表示

名称___________⅛λ________________»_____

既有__________又有_________的量叫做向量；

向量向量显的大小称为向量屈的_________（或称记作I通I

_________________）_________________

零向量长度为的向量叫做零向量记作O-

单位向

长度等于______________的向量，叫做单位向量非零向量”的单位向量为±白

量∣a∣

平行向方向或的非零向量叫做平行

量___________IW___________零向量与任意向量________或

共线向共线

________的非零向量又叫做共线向量

量

相等向长度且方向的向量叫做相等两向量只有相等或不相等，不

量___________IW____________________能比较大小_________

相反向长度且方向的向量叫做相反

零向量的相反向量仍是零向量

量____________________________________________

2.向量的线性运算

向量运算______O._____法_则（或几何意义）运算律

2L∕b

(1)交换律：

求两个向量和的运算，叫做向a+b=______

加法三角形法则

量的加法(2)结合律:

(α÷⅛)+c=________

a

平行四边形法则

向量α加上6的相反向量，叫Zyb

减法做。与b的差.求两个向量差a-b=a+[-b)

的运算叫做向量的减法三角形法则

（DlM=____；如α)=

（2）当尢＞0时，痴的方________♦

求实数a与向量”的积的运算

数乘向与“的方向(λ+μ)a=_______；

叫做向量的数乘

______；当kθ时，λaλ(a+⅛)=________

的方向与“的方向(，〃为实数)

________；当2=0时，

加=()

3.向量共线定理

向量”(αWO)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数2,使得.

［常用结论］

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量

的终点的向量，即+++…+AnTAn=XX(〃》2,n∈N*).特别地，一个

封闭图形首尾顺次连接而成的向量和为零向量.

2.BC中的常见结论：

(I)PA+PB+PC=O<≠>P为AABC的重心；

(2)PA∙PB=PB∙PC=PC∙PA<≠>P为AABC的垂心；

(3)(0A+OB)∙AB=(OB+0C)∙BC=(OC+0A)∙CA<≠>O为aABC的外心；

(4)若P为AABC的重心，则寿=［(通+亚).

3.若F为线段AB的中点，。为平面内任意一点，则/=)嬴+而).

4.若鼐=2而+〃前(儿〃为常数)，则A,B,C三点共线的充要条件是7+"=1.

5.向量三角不等式:∣∣α∣-∣⅛∣∣≤∣α+6∣⅛∣α∣+∣6∣,∣∣β∣-∣⅛∣∣≤∣α-⅛∣≤∣α∣+∣⅛∣.

6.若平行四边形ABC。满足I而+魂|=|而-屈则该平行四边形为矩形.

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)向量就是有向线段.()

(2)零向量没有方向.()

(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.()

(4)若α〃4h∕∕c,则a〃c.()

2.(教材改编)如图，口ABCQ的对角线交于M,若靠=α,AD=Z>,用α,力表示雨为()

ʌ-23b∙la-lb

c∙一$一/d∙Y"+/

3.(教材改编)设。与A是两个不共线向量,且向量α+动与2«一力共线,则2=

4.(易错)下列说法正确的是()

A.若∣α∣>∣b∣,贝1方

B.若IaI=步则。=8

C.若a=b,则〃、力共线

D.若α≠瓦则。、力不共线

5.若四边形ABcD满足而〃灰且I第I=∣反∣,则四边形ABC力的形状是

关键能力•题型突破

题型一向量的基本概念

例1(多选)下列说法正确的是()

A.α与力是非零向量，则α与〃同向是α=Z＞的必要不充分条件

B.A,B,C是互不重合的三点，若鼐与反共线，则A,B,C三点在同一条直线上

C.α与力是非零向量，若“与》同向，则α与一占反向

D.设九"为实数，若λa=∕∕b,则“与8共线

题后师说

判断向量基本概念应注意以下几点:

(1)注意零向量的特殊性.

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(3)两个向量相等可得出这两个向量互相平行，反之不成立.

(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象

的平移混淆.

巩固训练1

下列说法正确的是()

A.向量而〃丽就是说所在的直线平行于而所在的直线

B.长度相等的向量叫做相等向量

C.若a=b,b—c,贝IJa=C

D.共线向量是在一条直线上的向量

题型二平面向量的线性运算

角度一向量的线性运算

例2[2023.河南平顶山一中模拟]

如图，在平行四边形ABCf)中，对角线AC与BO交于点O,且由=2靠，则比=()

A.iAB--ADB.iAB+-AD

6666

c∙iʌs-iʌ5d∙iλs+i^

题后师说

向量线性运算的解题策略

巩固训练2

[2023•广东深圳模拟]在AABC中，D为边BC的延长线上一点，且阮=3而，记通=Q,

AC=⅛,则前=()

A.~-a-∖--bB.--a--b

3333

C.-a--bD.~-a+-b

3333

角度二根据向量的线性运算求参数

例3如图，

在。ABC。中，M为BC的中点，AC=wAM+nBD,则/"+〃=()

4

A.1B.-

3

C.-D.2

3

题后师说

解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法

则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

巩固训练3

[2023•安徽芜湖一中模拟]在梯形ABCD中，AB//CD且AB=4CD,点P在边BC上,

^AP=∣AB+2AD,则实数2=()

题型三共线定理及其应用

例4设e∣,C2是两个不共线的向量，如果通=3eι-2e2,BC=4e∣+e2,CD=8e,-9e2.

(1)求证：A,B,£＞三点共线；

(2)试确定2的值，使2Mι+e2和eι+及2共线；

(3)若e∖+λe2与Mi+©2不共线，试求λ的取值范围.

题后师说

三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联

系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题，

只需将问题转化为方程，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数.

巩固训练4

⑴已知屈=α+5b,BC=-2α+8⅛,BD=2α+10⅛,则共线的三点为()

A.B,C,DB.A,B,C

C.A,C,DD.A,B,D

(2)已知向量e”C2不共线，α=g+3e2,6=2幻+2及，若Q〃力，则A=

第一节平面向量的概念及线性运算

必备知识•夯实双基

知识梳理

1.大小方向长度模O1个单位长度相同相反方向相同或相反平行

相等相同相等相反

2.b~∖-aα+S+c)∖λ∖∖a∖相同相反(i")αλa~∖~μaλa-∖~λb

3.b=λa

夯实双基

1.答案：(I)X(2)X(3)×(4)×

2.解析：MD=∣BD=∣(AD-AB)≈^(⅛-α)=~]a+^b.

故选D.

答案：D

3.解析：依题意知向量a+λb与2a-b共线，设a+λb=k(2a-b)9则有(1—2攵)α+(A

ι_2k=O1

,解得A=∖,λ~--1∙

{k+λ=0,22

答案：一

4.解析：对于A,向量是矢量，不能比较大小，故A错误；对于B,向量相等时，模

长相等且方向相同，故B错误；对于C,若α=6时，”与方向相同，贝ija、8共线，故C

正确；对于D,若αWZ＞时，也可能“与b方向相同或相反，即a、b可能共线，故D错误.

故选C.

答案：C

5.解析：⅛∣AD∣=∣BC∣⅛,四边形A8C力是平行四边形；⅛∣AD∣≠∣BC∣⅛,四边形ABCO

是等腰梯形.

答案：等腰梯形或平行四边形

关键能力•题型突破

例1解析：。与方同向，但Ial不一定与步I相等，.∙.a≠6,若a=方，则a与b同向，

且有Ial=IM.∖a与Z＞同向是a=Z＞的必要不充分条件，A正确.

靠与近共线，则有熊=2阮，故一定有A,B,C三点在同一条直线上，B正确.

a与》同向，则a与一6反向，C正确.

2=〃=0时，a与Z＞不一定共线，D错误.

故选ABC.

答案：ABC

巩固训练1解析：对于A,根据共线向量的定义可知向量屈〃而就是融所在的直线

与无所在的直线平行或重合，故选项A不正确；

对于B,长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；

对于C,若a=6,b=c,则Q=c,故选项C正确；

对于D,方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共

线，故选项D不正确.

故选C.

答案：C

例2解析：因为前=2熊，所以靠=［前=:SS=*(屈+而)，

所以笳=屈一XE=融——屈+疝)=三而一2A5.故选c.

666

答案：C

巩固训练2解析:而=丽+≡=AB+IBC=AB+^(AC-AB)=-^AB+^AC=-ɪɑ

故选A.

答案：A

例3解析：AM=AB+1BC=AB+^AD,而前=同一品，

故前=机(屈+iAD)+π(AD-AB)≈(/77-n)AB+(y+n)AD,

而的=屈+而且通，而不共线，故［3+：=；=［l=^m+n=~.

b-(n=Ξ

故选C.

答案：C

巩固训练3解析：

延长A。、CB交于点、E,则B、尸、E三点共线，于是可得而=|通+|靠，

因为AB〃C£＞且AB=4CD,所以屈=g而，

所以寿=I而+∣χ［而=I融+：粒故7=4

故选A.