高二数学人教A版必修5学案3-4基本不等式ab≤a＋b2

3．4基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)[目标]1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点]基本不等式的简单应用．[难点]基本不等式的理解与应用．知识点一两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式：如果a，b∈R＋，那么eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq\f(a＋b,2)为a，b的算术平均数，eq\r(ab)为a，b的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)成立的条件有什么不同？提示：不等式a2＋b2≥2ab对任意实数a，b都成立；eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)中要求a，b都是正实数．知识点二基本不等式与最值[填一填]已知x，y都是正数，(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sinx与eq\f(4,sinx)，x∈(0，eq\f(π,2))，两个都是正数，乘积为定值．但是由0<sinx<1，且sinx＋eq\f(4,sinx)在(0,1)上为减函数，所以sinx＋eq\f(4,sinx)>1＋eq\f(4,1)＝5，等号不成立，取不到最小值．类型一利用基本不等式证明不等式[例1](1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8.[分析](1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(b＋c,a)≥eq\f(2\r(bc),a)，可由此变形入手．[证明](1)∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2eq\r(ab)>0，b＋c≥2eq\r(bc)>0，c＋a≥2eq\r(ca)>0.∴2(a＋b＋c)≥2(eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca))，即a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c>eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).(2)∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a)＝eq\f(b＋c,a)≥eq\f(2\r(bc),a)，同理eq\f(1,b)－1≥eq\f(2\r(ac),b)，eq\f(1,c)－1≥eq\f(2\r(ab),c).由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥eq\f(2\r(bc),a)·eq\f(2\r(ac),b)·eq\f(2\r(ab),c)＝8.当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，等号成立．1.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1]已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.证明：因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，取等号．类型二利用基本不等式求最值[例2](1)若x>0，求f(x)＝4x＋eq\f(9,x)的最小值；(2)设0<x<eq\f(3,2)，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；(3)已知x>2，求x＋eq\f(4,x－2)的最小值；(4)已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．[分析]利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解](1)∵x>0，∴由基本不等式得f(x)＝4x＋eq\f(9,x)≥2eq\r(4x·\f(9,x))＝2eq\r(36)＝12，当且仅当4x＝eq\f(9,x)，即x＝eq\f(3,2)时，f(x)＝4x＋eq\f(9,x)取最小值12.(2)∵0<x<eq\f(3,2)，∴3－2x>0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq\f(9,2).当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq\f(3,4)时取“＝”．∴y的最大值为eq\f(9,2).(3)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋eq\f(4,x－2)＝(x－2)＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6.当且仅当x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4时，x＋eq\f(4,x－2)取最小值6.(4)∵x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)≥10＋2eq\r(9)＝16.当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1时等号成立．即x＝4，y＝12时等号成立．∴当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求写出符号成立的条件，都要验证“＝”是否成立.[变式训练2](1)已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值；(2)已知x>0，y>0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．解：(1)由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，即ab＝100，且a>0，b>0，因此由基本不等式可得a＋b≥2eq\r(ab)＝2eq\r(100)＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.(2)∵x>0，y>0,2x＋3y＝6，∴xy＝eq\f(1,6)(2x·3y)≤eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3y,2)))2＝eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2＝eq\f(3,2)，当且仅当2x＝3y，且2x＋3y＝6时等号成立，即x＝eq\f(3,2)，y＝1时，xy取到最大值eq\f(3,2).类型三基本不等式的实际应用[例3]特殊运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按规定限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元，而送货卡车每小时耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升，司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式．(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．[解](1)设所用时间为t＝eq\f(130,x)(小时)，y＝eq\f(130,x)×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))＋140×eq\f(130,x)，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝eq\f(130×152,x)＋eq\f(13x,6)，x∈[50,100]．(2)y＝eq\f(130×152,x)＋eq\f(13x,6)≥eq\f(52\r(570),3)，当且仅当eq\f(130×152,x)＝eq\f(13x,6)，即x＝4eq\r(570)∈[50,100]时，等号成立．故当x＝4eq\r(570)千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为eq\f(52\r(570),3)元．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识函数及不等式性质等解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：1先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.2建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.3在定义域内，求出函数的最大值或最小值.4正确写出答案.[变式训练3]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160解析：设该长方体容器的长为xm，则宽为eq\f(4,x)m．又设该容器的总造价为y元，则y＝20×4＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))×10，即y＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))(x>0)．因为x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\f(4,x)，即x＝2时取“＝”))，所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的条件有(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：当eq\f(b,a)，eq\f(a,b)均为正数时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，故只须a、b同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(D)A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：∵a，b∈R，且ab>0，∴eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＝2.当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b时取等号．3．设a，b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2bA．6 B．4eq\r(2)C．2eq\r(2) D．8解析：2a＋2b≥2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(23)＝4eq\r(2).4．已知0<x<1，则当x＝eq\f(1,2)时，x(3－3x)取最大值为eq\f(3,4).解析：3x(1－x)≤3(eq\f(x＋1－x,2))2＝eq\f(3,4)，当且仅当x＝1－x即x＝eq\f(1,2)时等号成立．5．已知a>0，b>0，c>0，求证：(1)eq\f(b＋c,a)＋eq\f(c＋a,b)＋eq\f(a＋b,c)≥6；(2)eq\f(b＋c,a)·eq\f(c＋a,b)·eq\f(a＋b,c)≥8.证明：(1)eq\f(b＋c,a