2023年江西省鹰潭市高考数学二模试卷（文科）

2023年江西省鹰潭市高考数学二模试卷(文科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设集合4={%∣%2-％-12≤0},集合B={%∣l0g2(x-1)≤2},则/n8=()

A.0B.(1,4]C.(‰3]D.[-3f4]

2.已知i为虚数单位，复数Z=喘(α°eR)是纯虚数，则α=α°是直线kαx+4y+l=0

与直线/2：%+αy+之=0平行的条件.()

A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要

3.在区间(0,4]上随机取值作为％,则/+2x≥3—mx的概率为()

A.ɪB.IC.ID.I

4.下列说法中正确的是()

A.“a>b”是“a?>b2”成立的充分不必要条件

xx

B.命题p：Vx∈/?,2>0,则-∣p:Bx0∈R,2°<0

C.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1

D.已知样本点(Xi,%)。=1,2,3...10)组成一个样本，得到回归直线方程y=Ix-0.4，且1=

2,剔除两个样本点(-3,1)和(3,-1)得到新的回归直线的斜率为3,则新的回归方程为y=3x-

3

5.在△4BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,C成等差数列，C=2(4+B),

a=()

A.ɪB.4CYD.7

534

6.已知等差数列{an}的公差d>0,且a2,c⅛—1,%。成等比数列,若％=5,Sn为数列{%t}

的前n项和，则驾用的最小值为()

A.2√^^3+3B.7C.ɪD.-ɪ

7.已知函数/Q)对任意x∈R,都有2/(X)-3/'(—%)=5sin2x+cos2x,以下关于f(x)的命

题，正确的是()

A.函数y=/0)在区间(0,争上单调递增

B.直线X=龌函数y=/(x)图像的一条对称轴

C∙点(：,0)是函数y=/(X)图像的一个对称中心

D.将函数y="x)图像向右平移W个单位，可得到、=，讶$出2》的图像

8.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x)=∕(x+l)-f(x+2),若f(2)=-2,则

/(-2023)=()

A.—3B.—2C.3D.2

9.己知双曲线C：M一(=1的两焦点分别是F],F2,双曲线Cl在第一象限部分有一点P,

满足IPFll+∣PF2∣=14.若圆。2与^PF/?三边都相切，则圆G的标准方程为()

A.(x-I)2+(y—2)2=4B.(x-I)2+(y-3)2=9

C.(x-2)2+(y—2)2=4D.(x—2)2+(y-3)2=9

10.己知抛物线C：y2=2px(p>0),其焦点为F,准线为I,过焦点F的直线交抛物线C于点

A,B(其中A在X轴上方)，A,B两点在抛物线的准线上的投影分别为M,N,若IM可=2「，

INFl=2,贝如=()

A.y∕~3B.2C.3D.4.

11.已知正四棱台的上下底面边长分别为4,6,高为/I,E是4当的中点，则下列说法正

确的个数是()

①正四棱台ABCOBIelDl的体积为与ɪ;

②平面BClDL平面44ιCIC；

③ZE〃平面BCID；

④正四棱台4BC0-&B1GD1的外接球的表面积为104ττ.

A.1B.2C.3D.4

偿%>1

12.己知f(X)=U,-,若关于X的方程［/(X)K+m∕(x)-1-m=0恰好有4个

(-(x-l)3,x<l

不相等的实数解，则实数小的取值范围为()

A.B.(-1—ɪ,-l)C.(1>∣+1)D.(θ,ɪ)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知非零向量区E满足I五|=2|石|,且@—3初G=五2,则瓦石的夹角为_.

14.己知函数/(x)=-xlnx+(2-∕,(e))x-3,则/^(x)在X=1处的切线方程为

15.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画

出来的螺旋曲线.它的画法是：以斐波那契数：1,1,2,3,5,…为

边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90。的

扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.下图为该螺旋线的前一部

分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积

为一.

已知等差数列满足：数列的前项和满足

16.｛ατι｝α1=1,a3=5,｛brt｝nSnSJJ=2b“-I(He

N*),则数列｛(一1严即垢｝的前n项和G.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

△ABC的内角4,B,C的对边分别为α,b,c,设α=√17,2bsinA—√17sinB=2bcosA-

⑴求cosA；

(2)若。是4C边上的中点，∆ABD=^,求SinWBC.

18.(本小题12.0分)

某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y(单位：万件)与月销售单价

M单位：元/件)之间的关系，对近6个月的月销售量外和月销售单价%(i=1,2,3,…,6)数据进

行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：

月销售单价%(单位：元/件)456789

月销售量y(万件)898382797467

(1)若用线性回归模型拟合y与X之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程

分别为：y--4x+105'y=4x+53>y=-3%+104-其中有且仅有一位实习员工的计算

结果是正确的.请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理

由；

(2)已知该商品的月销售额为z(单位：万元)，利用(1)中的计算正确的结果回答问题：当月销

售单价为何值时，商品的月销值额预报值最大，并求出其最大值.

19.(本小题12.0分)

如图(I)所示，已知四边形SBCD是由RtASAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中ZSAB=

NSDC=90。.且点A为线段SD的中点，AD=2DC=1,AB=2.现将△SAB沿AB进行翻折，使

得二面角S-4B-C的大小为90。，得到图形如图(2)所示，连接SC,点E,F分别在线段SB,

图⑴图⑵

(I)证明:BDLAFi

(2)若三棱锥B-AEC的体积为四棱锥S-4BCD体积的：，求点E到平面ABCD的距离.

20.(本小题12.0分)

已知椭圆C：≡∣+^J=l(α>h>0),四点B(2,2),P2(0,2),。3(—2,/2)，。4(2,，克)中恰有

三点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线环经过P2点且与椭圆C相交于4B两点，线段AB的中点为M,若乙4MP2=2∆ABP2,

试问直线/是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=αlnx+∣x2-(ɑ+l)x(α>0).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)设函数g(x)=(3-α)x-/(X)有两个极值点<%2)，证明：。(右)+9(%2)<10-

ɪnɑ.

22.(本小题10.0分)

在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热

爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，

在直角坐标系中，以原点O为极点，》轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔

心型曲线，其极坐标方程为P=I-S讥。(P=I-SinaP>0),M为该曲线上的任意一点.

(I)当IoMl=I时，求M点的极坐标；

(2)将射线OM绕原点。逆时针旋转税与该曲线相交于点N,求IMNl的最大值.

23.(本小题12.0分)

已知正实数》,y满足x+y=l.

(1)解关于X的不等式IX+2y∣+∣x-y∣≤|；

(2)证明：ς⅛-i)(j-i)≥9.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A=(x∖x2-X—12≤0}={x∣(x—4)(X+3)≤0}={x∣-3≤x≤4},

B={x∣log2(x-1)≤2}={x∣l<X≤5},

故AnB=(1,4］.

故选：B.

根据二次不等式与对数不等式分别求解集合4,B,再求交集即可.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：∙∙∙z=衿=帘黯P=竽+弯々是纯虚数，

JL—l(IT)。+I)ZZ

竽=0且号力0,

解得劭=-2,

此时11：X-2y-T=0与直线x-2y+g=0平行，

当，1〃%时，ɑ2=4且α≠2,解得α=-2.

所以α=为是直线，1与直线％平行的充要条件.

故选：A.

由复数的除法及纯虚数的概念求出劭=-2,再由直线平行的充要条件判断即可得解.

本题主要考查了纯虚数的定义，考查了两直线平行的斜率关系，同时考查了充分条件和必要条件

的定义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：令/(x)=X2+2x+Inx—3,∕,(x)=2+2x+ɪ,

当X∈(0,4］时，f(x)>0,即函数在(0,4］上为增函数,

题中所给/+2%≥3-仇X等价于/(x)≥0,

又因为f(l)=0,故在(0,4］上符合要求的支的取值范围为［1,4］,

区间(0,4］长度为4,区间［1,4］长度为3,

故在区间(0,4］上随机取值作为英,

由几何概型的概率公式得/+“≥2-Znx的概率为P=p

4

故选：C.

令/(x)=x2+2x+lnx-3,根据此函数在区间(0,4］内导数大于0,得出此函数在(0,4］为增函数

结论，根据f(l)=0的条件，可以得到符合条件X的取值范围为［1,4］,得到符合条件的区间长度与

给定区间长度的比值就是所求的概率.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了几何概型的概率公式，属于中档题.

4.【答案】D

【解析】解：对于4,α=0,匕=一1满足α>b,但α?=Ocb?,所以“a>b”不是“a?>炉"成

立的充分条件，故A错误；

x-x

对于B,命题p：∀x∈R,2>0,W∣Jp:3x0∈R,2°≤0,故B错误；

对于C,相关关系越强，相关系数Irl越接近于1,当负相关时，相关系数r越接近于-1,相关关系

越强，故C错误；

对于D,已知回归直线方程y=2x-0.4,月二=2,则亍=3.6,别除两个样本点(一3,1)和(3,-I)得

到新的回归直线的斜率为3,

新样本平均数9=竿=25,y=16x10=4.5,则新的回归方程为y=3x—3,故。正确.

OOj

故选：D.

对于4利用特殊值进行排除；对于B,根据命题的否定定义进行判断；对于C,相关关系越强，

相关系数Irl越接近于1;对于。，求出剔除两个样本点(-3,1)和(3,-1)得到新的样本的平均数，再

进行求解.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义,考查了全称命题的否定，以及线性回归方程的性质，

属于中档题.

5.【答案】B

【解析】解：由C=2(A+B),A+B+C=π,得C=与，

由a,b,C成等差数列，得2b=a+c,

由余弦定理，得COSC=。2铲Y,

即1=次+必一(2b-α)[

2-2ab

整理，W5ab-3h2=0,由b00得5Q-3b=0,

由Q≠0得2=|,

a3

则Q=3k,b=5kfc=2b—a=7k,

匕匚∣∖∣b+c12k

所以k=方=4λ∙

故选：B.

根据题意和等差数列等差中项的应用可得C=与、2b=a+c,利用余弦定理化简计算即可求解.

本题主要考查了等差数列的性质，考查了余弦定理的应用，属于中档题.

6.【答案】B

【解析】解：由于牝，。5—1，Qlo成等比数列，所以(%-I)?=。2•。10，

2

(Ql+4d-I)=(α1+d)∙(α1+9d),

Λ(4d+4)2=(5+d)∙(5+9d),

解得d=3(负值舍去)，

2

ʌαn=5÷3(n-1)=3n÷2,.∙.Sn=ɪ(3n+7n),

m∣∖∣2S+27i+123n2+9n+124ɔ

所以∙&rι-2-=-3“一∙=n+l,+13

由对勾函数性质知y=τι+，在n≥2,n∈N*上单调递增，

所以当n=2时，y=n+±在n≥2时取得最小值为：2+1=4,

又名=5>a?=4,所以y=n+，在九∈N*上的最小值为4,

所以有驾”的最小值为7

斯一/

故选：B.

由题意向=5,α2,a5-l,a1。成等比数列，可得d=3,即可求出an,Sn,代入空吟工，再

斯一4

结合对勾函数性质可求出答案.

本题考查了等差数列与等比数列的综合计算以及数列与函数的综合，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解:因为忌"73ζc^xJ=5s^l2x+∞s2x

(2/(一%)—3∕(x)=-5sιn2x+cos2x

可得/(%)=sin2x—cos2x-y∣~2sin(2x—.),

对于选项A,令2kn-≤2%-ɪ,≤2kπ+与得kτι-J≤%≤kτr+当，

ZτZQO

令k=0,可得f(x)在(Y，当上单调递增，

同理可求/(X)在点,令)上单调递减，4不正确；

对于选项C,当X=粉t,2x-l=π,所以点播,0)是函数y=f(x)图像的一个对称中心，C正

确；

对于选项B,当X=?时，2x-J=0,所以直线X=押是函数y=f(x)图像的对称轴，B不正确；

对于选项将函数y=f(x)图像向右平移汐单位,可得到y=Csin(2x-会的图像,。不正确.

故选：C.

先求/(X)，然后结合选项逐一验证，对称轴、对称中心也可以代入检验.

本题考查三角函数的性质，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：因为/(x)=∕(x+l)-/(x+2),所以/(x+l)=∕(x+2)-((x+3),

所以fQ)=Hx+2)-f(x+3)-f(x+2)=T(X+3),B∣J∕(x+3)=-f(x),

所以fQ+6)=-f(x+3)=-[-/(X)]=f(‹x),即/(x)是以6为周期的周期函数，

又f(2)=-2,所以f(-2023)=/(-338×6+5)=/(5)=-/(2)=2.

故选：D.

依题意可得/(x+1)=f(x+2)-f(x+3),从而得到f(x+3)=-f(x))即可得到/Q)是以6为

周期的周期函数，根据周期性及所给条件计算可得.

本题主要考查抽象函数及其应用，函数的求值，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】4

【解析】解：由双曲线C：χ2-4=ι的两焦点

24

分别是B,F2,双曲线Cl在第一象限部分有一点

P,

.∙.a2=1,b2—24,

•1■c2=a2+b2=25,

."∙a=1,c=5,

.∙∙∣F1F2I=2c=10,

∙.∙∖PF1∖+∣PF21=14,且IPFII—∣PF2∣=2α=2,

.∙.∖PF1∖=8,∖PF2∖=6,

∙∙∙∆PaF2为直角三角形，NFIPF2=90°,

设内切圆的圆心为/的坐标为(m,n),半径为r,

—×6×8=-(6+8+10)×r,

解得r=2,

■■n=2,Tn=1,

故圆C2的标准方程为(X-IT+(y-2)2=4,

故选：A.

先求出APFlF2为直角三角形，ZF1PF2=90°,即可求出内切圆的半径和圆心，可得答案

本题考查了双曲线的简单性质和三角形的内切圆的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档

题

10.【答案】A

【解析】解：如图,

由题意知，∖AF∖=∖AM∖,∖BF∖=∖BN∖,

则N4MF=44FM,乙BFN=乙BNF,

由AM〃BN〃x轴,可知2乙4产M+2/B尸N=兀,则NMFN=Y

.∙.∣MJV∣2=∖NF∖2+IMFI2=16,ʌ∖MN∖=4,

•••SAMNF=∖p∙∣MN∣=ɪIMFl∙∣NF∣=2λΛ3,

∙∙∙p=y∕~3∙

故选：A.

根据抛物线的定义可得NMFN=ɪ,利用直角三角形可求出IMNl=4,由面积等积法求出P=g

本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题.

11.【答案】C

【解析】解：依题意,

对于①，正四棱台ABCD-&B1GD1的体积为U=∣(Sι+√^S^+S2)h=∣(16+√16x36+

36)X等，故①错误;

取。遇1的中点F,连接4F,EF,

A1C1ΠEF=G,连接AG,

的中点，

所以领=覆=3,所以G是4】。1的中点,

因为&Ci=46,所以GCI=3<7.

又4。2=3/7,所以GCi=AO2,又因为GCJ"。?,

所以四边形GCiOzA是平行四边形，

所以GA〃CIo2，又GAC平面CIBD,CiO2U平面CIBD,

所以GA〃平面GBD,因为DlBJ/BD,所以EF〃BD,

EFC平面ClBD,BCU平面ClB。，所以EF〃平面GBD,

因为EFC4G=G,所以平面ClBD〃平面4EF,

因为ZEU平面AEF,所以4E〃平面GBD,

故③正确；

对于②，易知BDI4C,BD1O1O2,又ACno1。2，

ACU平面Λ4ιGC,O1O2U平面Λ4ιGC,

则B。1平面44]ClC,又BDU平面BCiD,

所以平面BClD1平面Λ4ιGC,故②正确；

对于④，连接ZC、BC相交于。2，连接&G，BlDI相交于。「

如果外接球的球心。在正四棱台4BC。-&BIGDl的

内部，

则。在。1。2上，OIo2=

因为上下底面边长分别为4,6,

所以。C=∖B1D1=2√-2,DO2=；DB=3。，

A

设外接球。的半径为R,

2

所以JDlO2-Dq+√DO-DOl=O1O2'

即√R2-8+√R2-i8=√^7,无解，

所以外接球的球心。在正四棱台ZBCD-&BlC1D1的

外部，如图：

则。在。[。2延长线上，O1O2=C，

因为上下底面边长分别为4,6,

所以5。I=TB也=2√^Σ,DO2=^DB=3√7,

设外接球。的半径为R,所以J年。2-50/-

2

√DO-DOl=O1O2)

即√R2-8-VR2-18=y∏.,解得R?=26,

所以正四棱台ABCD-4避1C"ι的外接球的表面积为4TΓR2=ι04π,故④正确；

故选：C.

对于①直接用棱台体积公式计算即可判定；对于②先证BD，平面Λ4ιGC,再根据面面垂直的判

定定理即可证明：对于③取54的中点F,连接4F,EF,A1C1C∖EF=G,连接4G,先证四边形

GClO2人是平行四边形，易得GA〃平面CiBD,EF〃平面ClBD,根据面面平行判定定理可证平面

CIBD〃平面4EF,再根据面面平行的性质即可证明4E〃平面BC1。；对于④：分球心在正四棱台

内、外两种情况讨论，且球心必在。ι。2上或。1。2的延长线上，再利用勾股定理列出关于球半径的

方程即可求解.

本题考查线面、面面的平行垂直关系以及外接球问题，属于中档题.

12.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查函数与方程的应用，利用十字相乘法进行分解，研究函数f(x)的图象，利用数形结

合是解决本题的关键.

由十字相乘法得到/(X)=1或f(x)=—1-巾，研究函数/(X)的图象，先得到“X)=1时，方程只

有一个解，则/(%)=-l-ni恰好有3个不相等的实数解，利用数形结合进行求解即可.

【解答】

解：由[f(x)F+Tnf(X)-1-m=O得[/(%)-l][∕(x)+1+m]=0,

得/(x)=1或fO)=-1-m,

当工≥1时，/(x)=等，则/(乃=竺=号竺，

由/'(%)>0得1一仇％>0得mXVL得l≤%Ve,此时/(%)为增函数，

由/'(%)<0得1一bιx<0得mX>1,得X>e,此时/(X)为减函数，

故当X=e时，函数取得极大值，极大值为f(e)=粤=彳，

当》<1时，/(%)为减函数，且f(%)>0,

当工→+00时，/(χ)→0,

当/(x)=l时，方程只有一个解，

如图

y

要使方程[∕^(x)]2+τn∕(x)-1-m=O恰好有4个不相等的头数解,

则∕Q)=-1-Tn恰好有3个不相等的实数解,

则OV-I-ZnVL

e

得-1-5<τn<-1,

即实数小的取值范围是(一1一；,—1),

故选：B.

13.【答案】y

【解析】解：设向量落石的夹角为仇

"(b-3a)b=t>-3a∙b=a2>⅛∣ɑ∣=2∖b∖>

.∙.∖b∖2-6∖b∖2cosθ=4∣K∣2.即CoSo=-ɪ.

2ττ

又。∈[0,7Γ],Λθ=—.

故答案为：--∙

可设五花的夹角为氏进行数量积的运算可得出I1I2-6∣K∖2cosθ=4|另|2,从而可求出COSo的值,

进而求出。的值.

本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题.

14.【答案】x-y-2=0

【解析】解：∕,(x)=-Inx+1-/'(e),

.∙.∕,(e)=-Ine+1-∕,(e),ʌ∕,(e)=0.

.∙./(x)——xlnx+2x—3,∕,(x)-—Inx+1,

故切点为k=[(1)=1,

故切线为：y+1=X—1,

即X—y—2=0.

故答案为：X—y—2=0.

先解方程求出/'(e),然后求出导数，再求出切点处的函数值、导数值，利用点斜式写出切线方程.

本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，以及学生的运算能力.属于中档题.

15.【答案】监包

【解析】解：接下来的一个扇形半径为R=3+5=8,

故围成的圆锥母线长为，=8,

因为扇形的圆心角为90。，

所以其弧长为L=aR=γ8=4π,即底面圆周长C=2πr=4τr,

所以底面圆半径为r=2,

则圆锥的高为h=√l^-r2=2√l5.

所以圆锥的体积为U=∣πr2Λ=巴普.

故答案为：空加

先判断接下来扇形的半径，再求其围成圆锥的底面半径和高，最后代入求体积即可.

本题考查圆锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.

16.［答案］l+(6"-"∙(-2)n

【解析】解：因为等差数列｛ajl｝中，α1=1,¾=5,

所以d=符1=2,

所以即=1+2(π-1)=2π—1,

因为Sjl=2bn—l(n∈N*),

所以Sjlγ=2b7tτ-l(n≥2),

两式相减可得，Sn-Sn-I=brι=2bn-2bn,1(n≥2),

即bn=2fan,1(π≥2),

又Sl=2b1-1,

所以瓦=1,

所以数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

故砥=2k1,

令Cn=(-1)"∙anbn=(-1)"∙(2n-1)∙2"→=(-2)"•铝

■■T=^×(-2)1+∣×(-2)2+∣×(一2尸+…+ɪ∙(-2)n-1+ɪ∙(-2)n,

n44444

-27；=ɪ×(一2)2+1X(-2)3+1X(—2)4+…+等∙(-2)jl+ɪ∙(-2)jl+1,

两式相减得:

37；=i∙(-2)1+(-2)2+(—2)3+(—2)4+…+(-2)n-ɪ∙(-2)n+1

-ι÷H⅞F-⅞1∙(-2)n+1

=∣-^i(-2)n+1

_2一(6九一1)∙(一2)计1_1+(6几一1)•(一

189

故答案为:l+(6n-l)∙(—2)“

9

根据题意求出αn,再由上与bn的关系求通项公式，再由错位相减法求Tn即可得解.

本题主要考查了等比数列的通项公式，错位相减求和方法的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)•・,α=√17,2bsinA—√17sinB=2bcosA>

・•・2bsinA—asinB=2bcosAf

由正弦定理得2sinB∙SinA-sinA∙SinB=2sinB∙cosA,

又StnB>0,・•・sinA=2cosA,ʌtanA=2>0,

又4为锐角、：.cosA=

(2)设4B=%,

在AABC中，NABD=90。，tanA=

.・.BD=2χ1

又。为4C的中点，・•.AD=DC=V_5x»

222-

在△/BC中,AB+AC-BC_√5

cos∆BAC-2AB∙AC-=-5^,

即(V17)2=%2÷(2√-5x)2-2×x×2√-5xXcos∆BAC9解得％=1,即AB=1,

又S△力Bo=SABCD，则,X%X2%=2X2%X/yyXsin/DBC,解得sin"BC=

，41/

【解析】（1）由正弦定理转化为三角函数，化简由同角三角函数基本关系，即可得出答案;

（2）由余弦定理求出/8=1,再由SMBo=S利用三角形面积公式，即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：（1）根据数据知久，y负相关，故排除乙,

4+5+6+7+8+9

又X==6.5,

6

-89+83+82+79+74+67”

y=-------------------=79,

由79=-4×65+105,可得,=-4x+105过点(6579),

由79≠-3×6.5+104,可得y=_3x+104不过点(6579),

所以甲满足，丙不满足，故甲计算正确；

(2)根据题意Z=Xy=-4X2+105x=-4(x—半产+

OIo

当X=孚时Z有最大值工浮，

oIo

故当X=孚时，商品的月销售额预报值最大，最大值为陪万元.

oIo

【解析】(1)首先由数据可得X，y负相关，排除乙，再计算样本中心点，代入方程检验即可;

(2)根据已知条件，结合二次函数的性质，即可求解.

本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题.

19.【答案】(1)证明：因为梯形4BCC为直角梯形，且NSAB=NSDC=90。,

所以4SAC为二面角S-AB-C的平面角，

又二面角S-AB-C的大小为90。，

所以NSAD=90。，即SALAD,

又SalAB,HADCtAB=A,/Wu平面ZBCD,ZBu平面ABCD,

所以SA_L平面力Bm又BDU平面ABCD,

所以S41BD；

在直角梯形ABCD中，/-BAD=Z.ADC=90o,AD=2CD=1,AB=2,

所以tanZ∙ABC=tan∆CAD=ɪ,

所以乙4BD=4GW,又“4。+NBAC=90。，

所以ZΛBD+∆BAC=90°,即4C1BD；

又ACnSA=4,ACU平面S4C,S4u平面S4C,

所以BDI平面SAC,又4尸(z平面54£1,

所以BDI4产；

Z

(2)解：设点E到平面4BCD的距离为∕ι,因为VBYEC=IEYBC且痣皿=ψ>

vS-ABCD,

故lzS-∕lBCD_JS梯形4BCD_三义1_L

vE-ABCWSAABc力∣×2×l×h4

•••/1=1»

所以E点到平面ABCD的距离为

【解析】（I）根据二面角S-AB-C的大小为90。,得到$41AD,再由S4_LAB,得到S4J■平面4BCD,

进而得到SAlBD,易证4CJ.BD,然后利用线面垂直的判定定理证明；

（2）设点E到平面4BCD的距离为八，由/TEC=/τBC且户SC=：求解.

本题主要考查了垂直关系的判断及性质的应用，还考查了等体积法在点到面的距离的求解，属于

中档题.

20.【答案】解：（1）由于P3，巳两点关于y轴对称，故由题设知C经过「3,约两点.

∙⅛2ɔz(C)Z

又由滔+记>混+知，C不经过点匕，所以点P?在C上•

b2

=1)

?解得缸

因此

22O2

滔+『=1,

故C的方程为《+1=1.

84

(2)⅛ΔABP2^P,∆AMP2=2∆ABP2,LAMP2=∆ABP2+Z-BP2M,

所以乙4BP2=Z.BP2M,从而RM=IBM

又M为线段AB的中点，即IBMl=g∣AB∣,所以俨2”|=g∣4B∣,

因此乙4「28=90。，从而瓦汗•顺=0,

根据题意可知直线/的斜率一定存在，设它的方程为y=∕c%+血，AOLyL），8（%2，%），

'y=kx+m

联立22消去y得(2/+I)X2+4kmx+2m2-8=0①，Δ=(4km)2—4(2m2—

—x十—y=ɪ

(84

8)(2fc2+1)>0,

4km2mz-8

根据韦达定理可得/+%2

22

所以瓦］∙P^B=(x1,y1-2)∙(x2,y2-2)=(1+k')x1x2+k(m-2)(x1+x2)+(m-2)

(1+fc2)⅛Γ+-2)(-悬)+On—2)2,

所以(1+fc2)⅛f;+⅛(rn-2)(-恐)+(m-2)2=0,

乙KIɪ乙KIɪ

整理得(nɪ-2)(3m+2)=0,解得m=2或Tn=-|,

又直线/不经过点(0,2),所以Tn=2舍去，

于是直线/的方程为y=Zcx-1,恒过定点(0,-|),

该点在椭圆C内，满足关于X的方程①有两个不相等的解，

所以直线I恒过定点，定点坐标为(0,-1)∙

【解析】(1)根据题意椭圆过点P2、P3、「4,代入椭圆方程列出方程组，解之即可求解；

(2)根据角、线段之间的数量关系可得取［.顺=0,设直线，方程y=kx+m,联立椭圆方程，

利用韦达定理和平面向量的坐标表示可得而•项=(1+fc2)⅛=^+k(m-2)(-粤上)+

Z/C+1ZrC+1

(m-2)2=0,求出山的值，即可得出直线恒过的定点.

本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档

题.

21.【答案】解:(l)∕(x)定义域为X∈(0,+∞),且［(X)=H+x-(α+i)=*-(αj)χ+α=(=”),

令/'(久)=O得，x=1或％=Q，

①当O<a<1时，X∈(0,研与(1,+8),f(χ)>O,f(%)单调递增，%∈(α,1),f'(%)<O,f(%)单

调递减，

②当Q=I时，∕,(x)≥0,/(%)在(0,+8)单调递增,

③当Q>1时，%∈(0,1)与Q+8),∕,(χ)>0,/(%)单调递增，x∈(l,α),f,(x)<O,/(x)单调

递减，

综上，当0<Q<1时，f(%)在区间(0,a),(1,+8)上单调递增,fθ)在区间(d,l)上单调递减;

当Q=I时，/(%)在区间(0,+8)上单调递增；

当α>l时，/(%)在区间(0,1),(见+8)上单调递增，/(%)在区间(l,α)单调递减；

(2)证明：由已知，g(x)=4%—出nx—寺产,则。口)=4一2一%=妹-。-d=一.一轨+々,

乙XXX

x

函数g(%)有两个极值点%i，x2(ιV%2)，即-4%+α=0在(0,+8)上有两个不等实根，

令九(X)=X2_4%+α,只需｛歌:二：：：<(/故OVaV4,

又X1+外=4,X1X2=0,

所以g(%ι)÷g(&)=(4%ι-alnx1-ɪɪɪ)÷(4x2-alnx2一1%2)

=4(x1+x2)—cι(lnx1+Inx2)一ɪ(好+X分=Q-alna+8,

要证g(%ι)+gQ⅛)VIO-Ina，即证Q—alna+8<10—Ina9

只需证(1-a)Ina+α-2<0,

令m(ɑ)=(1—a)Ina÷α—2,a∈(0,4),

贝IJm"(α)=­lτιcιH—~—Fl=—-ITLCL>

令n(α)=M(Q),则τ√(α)=-今—，V0恒成立,

所以τn'(α)在Q∈(0,4)上单调递减，

又n√(l)=1>0,加⑵=∣-∕n2<0,

由零点存在性定理得，Ba0∈(1,2)使得M(Qo)=0,EPZna0=；，

所以α∈(0,α0)时,mf(a)>0,τn(a)单