北师大版数学必修5课后习题第二章测评

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60°,a=1,b=2,则sinA=()A.32 B.14 C.3解析:由正弦定理得1sinA=2sin60°,所以sin答案:C2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2b2=3ac,则角B的值为()A.π6 B.π3 C.π6解析:因为a2+c2b2=3ac,所以由余弦定理得,cosB=a2+c2-答案:A3.在△ABC中,已知a=11,b=20,A=130°,则此三角形()A.无解 B.只有一解C.有两解 D.解的个数不确定解析:由A=130°,而a<b,可知无解.答案:A4.在△ABC中,如果A=60°,AC=16,△ABC的面积为2203,那么BC的长度为()A.25 B.51 C.493 D.49解析:由S△ABC=12·AB·ACsin60°=43AB=2203,得AB=55.由余弦定理,得BC2=162+5522×16×55×cos60°=2401,解得BC=49答案:D5.在平行四边形ABCD中,若对角线AC=65,BD=17,周长为18,则这个平行四边形的面积是()A.16 B.352 C.18解析:设AB=CD=a,AD=BC=b,则2(a所以cos∠BAD=52所以sin∠BAD=45,S=4×5×45=答案:A6.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析:由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC外接圆的半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,可设a=5x,b=11x,c=13x,其中x>0,由余弦定理得cosC=a2+b答案:C7.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=3.则S△ABC=()A.2 B.3 C.32解析:因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B.又A+B+C=180°,所以B=60°.又a=1,b=3,由asinsinA=asin因为a<b,所以A=30°,所以C=90°.所以S△ABC=12×1×3答案:C8.如图为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=519m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30mB.153C.153mD.45m解析:在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ACB=A=152+1所以∠ACB=120°,所以∠ACD=180°120°=60°.所以AD=AC·sin60°=1532答案:B9.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C=120°,c=2a,则()A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小关系不能确定解析:由余弦定理,得2a2=a2+b22abcos120°,所以b2+aba2=0,即ba2+ba1=0,ba=-答案:A10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,且sinAa=sinB2b,A.32 B.12 C.1解析:因为sinAa=sinB2b,所以由正弦定理,得sinB=sinB2,所以2sinB2cosB2=sinB2,因为sinB2≠0,所以cosB2=12,所以cos答案:C11.如图,已知在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=3BD,BC=2BD,则sinC的值为()A.33 B.36 C.6解析:设AB=c,则AD=c,BD=2c3,BC=在△ABD中,由余弦定理,得cosA=c2+c2-4在△ABC中,由正弦定理,得csin解得sinC=66,故选D答案:D12.导学号33194051在△ABC中,内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,已知a=c,且满足cosC+(cos∠BAC3·sin∠BAC)cos∠ABC=0,若点O是△ABC外一点,且OA=2OB=4,设∠AOB=θ(0<θ<π),则四边形OACB面积的最大值是()A.8+53 B.5+43 C.12 D.4+53解析:在△OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB22OA·OB·cos∠AOB=42+222×4×2×cosθ=2016cosθ.在△ABC中,因为cosC+(cos∠BAC3sin∠BAC)cos∠ABC=cos(∠BAC+∠ABC)+cos∠BACcos∠ABC3sin∠BACcos∠ABC=sin∠BACsin∠ABC3sin∠BACcos∠ABC=sin∠BAC(sin∠ABC3cos∠ABC)=0,且sin∠BAC≠0,所以sin∠ABC3cos∠ABC=0,即tan∠ABC=3,所以∠ABC=π3,又a=c,所以△ABC是等边三角形,所以S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=12×4×2×sinθ+34×(2016cosθ)=4sinθ+5343cosθ=8sinθ-因为0<θ<π,所以π3<θπ3<2π3,所以当θπ3=π2,即θ=5π6时,S答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=3,则三角形外接圆的面积为.

解析:在△ABC中,b=2,A=120°,三角形的面积S=3=12bc·sinA=12×所以c=2=b.所以B=C=12(180°A)=30°由正弦定理可得bsinB=2R=2所以三角形外接圆半径R=2,所以三角形外接圆的面积S=4π.答案:4π14.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A到C的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°,A,B两船的距离为3km,则B到C的距离为km.

解析:如图,由已知条件可得∠ACB=80°+40°=120°,AC=2km,AB=3km,由余弦定理可得AB2=AC2+BC22AC·BCcos∠ACB,即BC2+2BC5=0,所以BC=(61)km,所以B到C的距离为(61)km.答案:6115.在锐角三角形ABC中,若a=2,b=3,则c的取值范围是.

解析:因为△ABC为锐角三角形,所以cosA>0,cosB>0,cosC>0,即a2+b2-c22ab>0,a2+c2-b22ac答案:(5,1316.在△ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,S为△ABC的面积.若向量p=(4,a2+b2c2),q=(3,S)满足p∥q,则C=.

解析:由p∥q,得4S=3(a2+b2c2),则S=34(a2+b2c2)由余弦定理得cosC=a2所以S=34×2abcosC=32ab又由面积公式得S=12absinC所以32abcosC=12absinC,所以tanC=又C∈(0,π),所以C=π3答案:π三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.导学号33194052(本小题满分10分)在△ABC中,C=2A,a+c=20,sinA=74,求b的值.解因为0<C<π,C=2A,所以0<A<π2,所以cosA=1由正弦定理得c=2cosA=2×34又a+c=20,所以a=8,c=12.由余弦定理a2=b2+c22bccosA,得b2所以b=8或b=10.当b=8时,a=8,所以A=B.由C=2A,所以A=π4,这与cosA=34矛盾,当b=10时,满足题意,故b=10.18.(本小题满分12分)(2017天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sinB=35(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A+解(1)在△ABC中,因为a>b,故由sinB=35,可得cosB=4由已知及余弦定理,有b2=a2+c22accosB=13,所以b=13.由正弦定理asin得sinA=asin所以,b的值为13,sinA的值为313(2)由(1)及a<c,得cosA=213所以sin2A=2sinAcosA=1213cos2A=12sin2A=513故sin2A+π4=sin2Acosπ4+19.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,AB=12,AC=36,BC=56,点D在边BC上,且∠ADC=60°.(1)求cosC的值;(2)求线段AD的长.解(1)在△ABC中,由余弦定理得cosC=AC(2)由题意知0<C<π,所以sinC>0,所以sinC=1-cos2C=1-132=223,20.导学号33194053(本小题满分12分)(2017全国1高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a23sin(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.解(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12由正弦定理得12sinCsinB=sin故sinBsinC=23(2)由题设及(1)得cosBcosCsinBsinC=12,即cos(B+C)=1所以B+C=2π3,故A=由题设得12bcsinA=a23sinA,由余弦定理得b2+c2bc=9,即(b+c)23bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.21.(本小题满分12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点,现位于点A北偏东45°,点B北偏西60°的点D有一艘轮船发出求救信号,位于点B南偏西60°,且与点B相距203海里的点C的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达点D需要多长时间?解由题意,知AB=5(3+3)海里,∠DBA=90°60°=30°,∠DAB=90°45°=45°,所以∠ADB=180°(45°+30°)=105°.在△ADB中,由正弦定理,得DBsin∠所以DB=AB=5(3+3)·sin45°sin45在△CDB中,BC=203海里,BD=103海里,∠DBC=60°.由余弦定理,得DC2=BD2+BC22BD·BC·cos∠DBC=(103)2+(203)22×103×203×cos60°=900.所以DC=30海里.故救援船到达点D需要的时间为3030=1(时)22.导学号33194054(本小题满分12分)(2016四川高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2a2=65bc,求tan(1)证明根据正弦定理,可设as