2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第一章 第3节　不等式的性质、一元二次不等式 作业

第3节不等式的性质、一元二次不等式

课时作业灵活分层，高效提能________________________

［选题明细表］

知识点、方法题号

不等式性质2,5,8,9,11,15

一元二次不等式的解法1,3,6,12,14,16

一元二次不等式恒成立问题4,7,10,13

ΓA级基础巩固练

1.(2022・安徽黄山模拟)若集合A={x∣-χ2-χ+6>0},B={x白W-1},则

x-3

AGB等于(D)

A.(-3,3)B.[-2,3)

C.(-2,2)D.[-2,2)

解析：因为集合A={xI-χ2-χ+6>0}={xI(x+3)(χ-2)<0}={x∣-3<x<2},

B=(xI-¾≤-l}={xI当W0}={x∣-2≤x<3},

x-3x~3

所以AGB={x|-2≤x<2}.

2.下列对不等关系的判断,正确的是(C)

A.若乂;,则a3>b3

ab

B.若-⅛>粤,则2a<2b

a2b2

C.若Ina2>lnb?,则2黜>2~

D.若tana>tanb,则a>b

解析:A.a=-l,b=l满足乂E但a3<bi,A错误;B.a=l,b=-2,满足4》卷,

abαzbz

但2a>2b,B错误;C.Ina2>lnb2=>a2>b2=>∣a∣>∣b∣=>2lal>2lbl,C正确;

D.tan2>tan空,但又空,D错误.

3333

3.若不等式ax2+bx+2>0的解集是｛x∣-如x<*,则ax+b>O的解集为

(A)

A.(-°o,-ɪ)B.(-8,‘)

C.(-ɪ+8)D.(i+∞)

解析：不等式ax2+bx+2>0的解集是(x∣-∣<x<∣)，

((lʌ,1b

(一一)+一=一一α，

则根据对应方程的根与系数的关系得《：ɜ2

解得《=~72,

Ib=-2,

则-12x-2〉0的解集为(-∞,-ɪ).

4.(2023•安徽合肥模拟)不等式χ2+ax+4R0对一切x∈[1,3]恒成立,

则a的最小值是(C)

A.-5B.-≡13C.-4D.-3

3

解析：因为x∈[l,3]解x2+ax+4≥0恒成立，

则a2-(x+±)恒成立，

X

又x∈[1,3]时,x+-≥2√4=4,当且仅当x=2时取等号.

X

所以-(x+3)≤-4,

X

所以a2-4.故a的最小值为-4.

5.(多选题)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<O,那么下列各式一定成立的

是(BCD)

A.ac(a-c)>0B.c(b-a)<0

C.cb2<ab^D.ab>ac

解析：因为a,b,c满足c<a<b,且ac<O,

所以c<0,a>0,b>0,a-c>0,b-a>0,

所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,cb2<ab2,ab>ac.

6.不等式号Wl的解集为

χ+2

解析:原不等式可化为史WO,即q∣≤0,

χ+2X+2

等价于巴？2)≤仇解得-2<xW3,

即不等式的解集为(-2,3].

答案：(-2,3]

7.设f(x)=(m+l)x2-mx+m-l(m∈R).若不等式f(x)>0的解集为0,则实

数m的取值范围是,若不等式f(x)>O对一切实数X恒成立，

则实数m的取值范围是.

解析:不等式f(x)>0的解集为0,即f(x)WO对一切实数X恒成立，

所以m+l<0,

且△=(-m)2-4(m+l)(m-l)≤0,

所以m≤-手.若f(x)>0的解集为R,

所以m+l>0,且Δ=(-m)2-4(m+l)(m-l)<0,

所以m>竽.

答案：(-8,一争(手,+8)

8.已知a,b∈R,给出下面三个论断:①a>b;②沱;③a<0,且b<0.以其

中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的

命题：.(答案不唯一)

解析:若a>b,a<0且b<O,则乂"

ab

证明：工V=华，因为a>b,所以b-a<0∙因为a<0,b<0,所以ab>0,则

abab

⅛^<o,故乂"

ababab

答案:若a>b,a<0且b<0,则乂白答案不唯一)

ab

9.(1)若bc-ad20,bd>O,求证:出

bd

(2)已知c>a>b>0,求证:」->也.

c-ac-b

证明：⑴因为bcNad,-^->0,所以

bddb

所以；+1考+1,所以WyW2

dbbd

(2)因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>O.

因为a>b>0,所以工<<,

ab

又因为C>O,所以所以二〈?，

abab

又c-a>O,c-b>O,所以上>2.

c-ac-b

综合运用练

10.(2022・江西上饶一模)在区间(1,2)上，不等式-χ2-mx-4〈0有解，

则m的取值范围为(C)

A.m>-4B.m<-4

C.m>-5D.m<-5

解析:不等式中-mx-4〈0即为不等式-x"4〈mx,因为X在(1,2)上,所以

m>士=Yx+±),令f(x)=-(x+与，则f(x)在(1,2)上单调递增，所以

XXX

f(x)∈(f(l),f(2))=(-5,-4),

不等式-X?-mx-4<0有解,只需m>-5.

IL已知2<x<4,-3<y<T,则+的取值范围是(B)

x-2y

A.(ɪɪ)B.(ɪ-)

10443

C.(ɪ1)D.(∣,2)

解析:原式分子和分母同时除以X,得,由条件得2<-2y<6,所

x-2y1-^-

以M=zqgpl<-¾,所以一生〈4,所以

4x22X32X41-包3

X

12.若不等式x2-(a+l)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范

围是.

解析：原不等式为(x-a)(XT)WO,当a<l时,不等式的解集为[a,1],

此时只要a≥-4即可，即-4Wa<l;当a=l时,不等式的解为x=l,此时

符合要求;当a>l时,不等式的解集为[La],此时只要a≤3即可，即

l<a≤3.综上可得,-4WaW3.

答案:[-4,3]

13.函数f(x)=x2+ax+3.

(1)当XWR时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围；

⑵当X∈[-2,2]时一,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围；

(3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数X的取值范围.

解：⑴因为当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立，需Δ=a2-4(3~a)≤0,即

a2+4a-12≤0,

解得-6WaW2,

所以实数a的取值范围是

(2)由题意可转化为x2+ax+3-a≥0在x∈[-2,2]上恒成立，

令g(x)=x2+ax+3-a,

c∆>O,r∆>O,

则有①A≤O或②卜］<-2,或③卜］>2,

G(-2)=7-3α≥0(g(2)=7+a≥0,

解①得16WaW2,解②得a∈0,

解③得-7Wa<-6.

综上可得,满足条件的实数a的取值范围是［-7,2］,

(3)令h(a)=xa+x2+3,

当a∈［4,6］时,h(a)≥0恒成立，

∏田仇(4)≥0,B(^X2+4%+3≥0,

八而bι(6)≥0,Π1Ix2+6x+3≥0,

解得x≤-3-Vδ或x≥-3+V6.

所以实数X的取值范围是(-8,-3-遍］U［-3+Vβ,+∞).

14.解关于X的不等式ax2-3x+2>5~ax(a∈R).

解:原不等式等价于ax2+(a-3)χ-3>0,

即(x+l)(aχ-3)>0,

①当a=0时,原不等式的解集为{x∣x<-l}.

②当a≠0时,方程的两根为xι=-l,x=-,

2a

当a>0时,不等式的解集为{xIx<-l或x>a-};

当a<0时，

(i)若3-1,即a<-3,原不等式的解集为{x∣T<xY};

aa

(ii)若2-1,gp-3<a<0,原不等式的解集为{x∣lxJ1};

aa

(iii)若2=T,即a=-3,原不等式的解集为0.

a

综上可得，

当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1};

当a>0时,原不等式的解集为(xIx<-l或x∕};

a

当a<-3时,原不等式的解集为{x∣-kx<)；

a

当-3<a<0时,原不等式的解集为{xE<x<-1};

a

当a=-3时，原不等式的解集为0.

匚«应用创新练

22

15.已知a,b,c∈R且a+b+c=O,a>b>c,则"式的取值范围是(C)

ac

A.[2,+8)B.(-∞,-2]

C.(-∣,-2]C(2,|]

解析：由a+b+c=O,a>b>c,可得a>0,c<0,b=-a-c,

则a>-a-c>c,则-2〈々-工.

a2

令t=-,则-2<t<-

a2

则Q⅛q+Jt+3-2<t<,.

accat2

又f(t)=t+;在(-2,-1)上单调递增,在(-1,-?上单调递减，

f(-2)=-2+⅛=-∣,f(-1)=-l+⅛=-2,f(-∣)=-⅛-?

-2222—2