微积分的研究对象

大学文科数学福建师范大学数计学院什么是数学？

数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的一门科学（恩格斯）数学的地位？

数学是科学的皇后（高斯）数学的分支

算术、高等代数、欧式几何等25个分支§1微积分的基础牛顿的流数法

变量->“流量”

变量的微小变化->“瞬”

认为“瞬”是非零增量，又认为被它所乘的那些项可以算作没有。极限、实数、集合在微积分中的作用

柯西创建“极限理论”+魏尔斯特拉斯

无穷小=以零为极限的变量

严格极限理论

极限是微积分的理论基础，极限的运算封闭性。例：1，1.4，1.41，1.414，…实数系的建立及领域概念NZQRC

有理数处处稠密，但不是完全覆盖数轴

不是有理数！

实数具有连续性，在微积分中所指的数均值实数。领域概念

以点为中心，为半径的邻域§1.2微积分的研究对象——函数

伽利略经过精确的实验，测得自由落体的运动方程：

在力学中，质量为m，速度为v的物体运动时所具有的能量（称为动能）在电学中，电流强度为I

的电流通过电阻为R的导线时，在单位时间内所产生的热量在几何中半径为r的圆的面积上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式这就是一个函数关系式。

如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么前面的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了.

数学的一个特点是它的高度抽象性，随之也就具有应用的广泛性.下面给出函数的一般定义.一、函数概念x称为自变量，y称为因变量.注意：例如，是定义在R上的一个函数，它的值域是确定函数的两要素：定义域、值域和对应法则。例1

判断下列各对函数是否相同？

相同不同(定义域不同)不同(对应法则不同)相同不同(定义域不同)(1)根据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值.如何求函数的自然定义域？

(a)分式的分母不等于零；

(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；

(c)对数的真数应大于零；

(e)若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集.定义域的确定：例2求下列函数的(自然)定义域。

因此，函数的定义域为解即定义域为因此，函数的定义域为1）图象法2）表格法3）解析法(公式法)二、函数的表示法

在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数这也是分段函数，其定义域为

yOx11-12-2-1解例31)符号函数几个分段函数的例子.2)取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo1234o有理数点无理数点•1xy3)狄利克雷函数(Dirichlet)函数的几种基本特性一、有界性M-Mba则称函数有界。ba函数的有界性还可以细分为：

则称函数f(x)在I上下有界

.M2

M1

M1称为

f(x)在I上的下界。M2称为

f(x)在I上的上界。定理：函数f(x)有界当且仅当f(x)上有界且下有界。则称函数f(x)在I上上有界

.

因为存在M=1，使对任意x

(-

,+

)，有|sinx|

1，所以y=sinx是(-

,+

)内的有界函数。y

=sinx有界吗?二、单调性

例如,函数y=x

3在(-

,+

)内单调增加。

而函数

y

=

x

2

在区间(-

,0)内单调减少；在区间(0,+

)内单调增加。三、奇偶性例1

判断下列函数的奇偶性：

偶函数非奇非偶偶函数奇函数奇函数奇函数例2是偶函数；而是奇函数。证明是容易的。

由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：偶函数的图形关于y轴对称。yxox-x具有奇偶性的函数的图形有某种对称性：yxox-x奇函数的图形关于原点对称。例3解故f(x)是偶函数.2-11四、周期性(通常周期函数的周期是指其最小正周期).注意：并非任意周期函数都有最小正周期.如狄利克雷函数任何正有理数都是它的周期,但并不存在最小的正有理数。2.2 逆向思维的一例——

反函数

定义

设函数y=f

(x)的定义域为D，值域为Z。如果对于每个y

Z，存在唯一x

D，使f

(x)=y，则x是一个定义在Z上的函数，称为

y=f

(x)的反函数，记为x=f-1(y)。函数y

=f

(x)与函数x

=f-1(y)是互为反函数。将x与y互换，就得所求反函数为例1

求y

=

3x-1的反函数。解

直接函数与反函数的图形关于直线对称.

例如，在(-

,+

)内，y

=

x2

不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。

在(0,+

)内y

=

x2有反函数

在(-

,0)内，y

=

x2有反函数

x-x

y解例2

求函数xyO的反函数。所以所求反函数为例3与互为反函数。1.常数函数2.3 基本初等函数

常函数的定义域为(-

,+

)，图形为平行于x轴,在y轴上截距为C的直线。

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数3.指数函数

定义域为(-

,+

)，值域为(0,+

)，都通过点(0,1),当a>1时，函数单调增加；当0<a<1时，函数单调减少。4.对数函数

对数函数是指数函数y=ax的反函数,定义域为(0,+

),图形通过(1,0)点,当a>1时,函数单调增加；当0<a<1时,函数单调减少。对数的基本性质：换底公式对数恒等式5.三角函数正弦函数余弦函数

y

=

sinx与y

=

cosx的定义域均为(-

,+

)，均以2p为周期。y

=

sinx为奇函数，y

=

cosx为偶函数。它们都是有界函数。定义域:x

(2n+1)p/2。周期:p。奇函数。正切函数定义域:x

np。周期:p。奇函数。余切函数正割函数余割函数6.反三角函数定义域：值域：单调增加函数；奇函数.定义域：值域：单调减少函数；无奇偶性.xy定义域：值域：单调增加函数；奇函数.反余切函数xy定义域：值域：单调减少函数；无奇偶性.反三角函数值的确定：求arcsinx值的方法：

例1例2类似地有2.4复合函数例如：可看作由复合而成。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。不能复合。和u称为中间变量。

注意复合次序：

复合可以多次进行。例1例2的复合。

重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合运算或四则运算。例3例4例5(1)解(2)例6解所以于是

由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到