医用高等数学教案第一章

医用高等数学教案第一章医用高等数学教案第一章医用高等数学教案第一章一、函数的概念1．常量与变量注意一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的,要根据具体过程和条件来确定.例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是常量；而在研究成人的健康状况时通常是变量．人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。第一页，共80页。一、函数的概念1．常量与变量

注意一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的,要根据具体过程和条件来确定.而在过程中可取不同数值的量称为变量.在某过程中始终保持同一数值的量称为常量,例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是常量；而在研究成人的健康状况时通常是变量．第二页，共80页。２．函数的概念因变量自变量是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义域．而因变量的所有对应值的集合则称为函数的值域.定义1-1设和是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量的每一允许的取值，按照一定的规律，变量总有一个确定值与之对应，则称变量是变量的函数．变量称为自变量，变量称为因变量.记为注意1在实际问题中,定义域是由实际问题决定的.第三页，共80页。注意2函数的两要素为：定义域与对应规律

注意3函数的表示法有:公式法、图像法和表格法,这三种表述各有特点并可以相互转化．

因此,两个函数只有当它们的对应规律和定义域都完全相同时,才认为是两个相同的函数.

例1-1在出生后1～6个月期间内,正常婴儿的体重近似满足以下关系:公式法第四页，共80页。37

例1-2监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的变化曲线,如下图示:

例1-3某地区统计了某年1~12月中当地流行性出血热的发病率,见下表

(月份)(‰)12345678910111216.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0ty第五页，共80页。（5）三角函数（4）对数函数（3）指数函数（2）幂函数（1）常函数二、初等函数1.基本初等函数（6）反三角函数等.第六页，共80页。

变量称为复合函数的中间变量．复合函数的概念可以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间变量的传递而构成的．

例1-4设求关于的复合函数．2.复合函数

定义1-2设变量是变量的函数,变量又是变量的函数,即

如果变量的某些值通过变量可以确定变量的值,则称是的复合函数,记为第七页，共80页。例1-5设试求解

解这里，变量传递顺序是规定好了的，是的中间变量，是的中间变量，故依次代入可得第八页，共80页。

可见，复合顺序是关键．另外，要注意：若经过变量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无意义，或者说它们不能复合．例如，就不能复合．因为的定义域为空集,即函数无意义.例1-6将下列复合函数“分解”为简单函数第九页，共80页。解

注意简单函数是指基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算而得到的函数.

定义1-3由基本初等函数经过有限次的四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数．3.初等函数第十页，共80页。

在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称为分段函数．例1-7三、分段函数第十一页，共80页。这是一个分段函数，如图

例1-8设某药物的每天剂量为y(单位:毫克),对于16岁以上的成年人用药剂量是一常数,设为2mg.而对于16岁以下的未成年人,则每天用药剂量y成比于年龄x,比例常数为0.125mg/岁,其函数关系为o162第十二页，共80页。1-1xyo

定义为：当时，，例1-9设当时，则第十三页，共80页。1.有界性四、函数的几种简单性质有界M-Myxoy=f(x)bay无界M-Mxoba第十四页，共80页。2.单调性xyoabxyoba增函数减函数

设、是函数在定义区间内的任意两点,且.若,则称在内是单调递增的;若,则称在内是单调递减的.第十五页，共80页。3.奇偶性偶函数yxox-xyxox-x奇函数

如果对于函数定义域内的任意点,恒有,则称是偶函数;如果对于函数定义域内的任意点,恒有,则称是奇函数.第十六页，共80页。4.函数的周期性

对于函数,如果存在正的常数T,使得恒成立,则称为周期函数,满足这个等式的最小正数T,称为函数的周期.

例如都是周期函数,周期为.第十七页，共80页。主要内容１.常量变量函数的概念２.基本初等函数复合函数分段函数初等函数３.函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性第十八页，共80页。一、极限的概念二、无穷小量及其性质三、极限的四则运算四、两个重要极限第二节极限第十九页，共80页。一、极限的概念1.函数的极限连续型的变化xy01第二十页，共80页。通过上面的观察可知

定义1-4当自变量的绝对值无限增大时，如果函数无限趋于某一个常数A，就称当趋于无穷大时，函数以A为极限.记为或

注意若时,不趋于某一常数,则称时,的极限不存在;若,趋于无穷大,为方便起见,常记为

或第二十一页，共80页。单侧极限

当自变量的变化沿轴的正方向无限增大(或沿轴的负方向绝对值无限增大)时,函数无限趋近于某一个常数A,就称A为函数单侧极限,记为

例1-10求当时的单侧极限解第二十二页，共80页。0242、时函数的极限当时,考察函数当时,函数的变化趋势.第二十三页，共80页。

定义1-5设函数在点的附近有定义(但在这一点可以没有定义),当自变量以任意方式无限趋近定点时,若函数无限趋近于一个常数A,就称当趋于时，函数以A为极限,记为左极限从左边趋于,记为右极限从右边趋于,记为注意第二十四页，共80页。例1-11讨论函数当时的极限.解因为左右极限不相等,所以时,的极限不存在.第二十五页，共80页。例1-12讨论函数当时的极限.解左右极限相等,所以第二十六页，共80页。3．数列极限以下给出几个数列的例子数列按自然数顺序依次排列的一串数数列中的每一个数称为数列的项,其中称为数列的第项,亦称通项,简记为数列也可看作定义在自然数集上的函数:第二十七页，共80页。观察数列的变化趋势：0x1第二十八页，共80页。通过上面演示实验的观察所以有：

一般地,当时,若无限趋于一个常数A,则称当时,以A为极限,记为或解

例1-13判断极限是否存在？由于,所以的极限不存在.第二十九页，共80页。4．判别极限存在的准则

法则1(夹逼法则)若在同一极限过程中,三个函数、及有如下关系:且则法则2(单调有界法则)单调有界数列一定有极限

对数列而言,若有(递减)或(递增),且对一切,有,则必有极限.第三十页，共80页。例如注意：无穷小是变量,不能与很小的数混淆定义1-6定义1-7二、无穷小量及其性质1.无穷小量和无穷大量第三十一页，共80页。2．无穷小定理与性质定理1-1

即:若函数以为A极限,则函数是无穷小;反之,若是无穷小,则以A为极限.因此,通常将表达为.性质1有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小.性质2有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.即：性质3在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.第三十二页，共80页。例1-14求例1-15求解,由无穷小与无穷大的关系可知解,由性质1-2可知第三十三页，共80页。例1-16证明证明对任何实数,有由夹逼法则第三十四页，共80页。在自变量的同一变化过程中，两个无穷小趋于零的快慢可能会有所不同．于是两个无穷小的商是否会有极限，完全取决于两个无穷小趋于零的快慢．反过来，两个无穷小量的商是否有极限，以及有什么样的极限，可以提示两个无穷小的差异．例如3．无穷小量的比较与阶第三十五页，共80页。定义1-8第三十六页，共80页。所以：与为同阶无穷小解因为

例1-17当时,与都是无穷小,试对它们进行阶的比较.第三十七页，共80页。证(1)由无穷小运算法则,得:三、极限的四则运算只证(1)和(2)定理1-2第三十八页，共80页。推论1即:常数因子可以提到极限记号外面.推论2第三十九页，共80页。例1-18求解例1-19求解解第四十页，共80页。例1-20求解当时,分子、分母都是无穷小．所以先进行分子有理化来消去分子、分母里的无穷小因子第四十一页，共80页。解例1-21第四十二页，共80页。例1-22解第四十三页，共80页。(1)四、两个重要极限C由上图可知:第四十四页，共80页。即综合两者即得第四十五页，共80页。例1-23解例1-24解第四十六页，共80页。例1-25解第四十七页，共80页。(2)先利用单调有界数列必有极限证明第四十八页，共80页。又因为第四十九页，共80页。第五十页，共80页。第五十一页，共80页。例1-27解解令,当时,注意可作为公式来用.例1-26第五十二页，共80页。例1-28解法1解法2第五十三页，共80页。

４.两个重要极限（3）夹逼准则;单调有界准则.

：：主要内容1．（1）函数极限（2）数列极限2．（1）无穷小量与无穷大量（2）无穷小的性质和定理（3）无穷小阶的比较3．极限的四则运算法则第五十四页，共80页。一、连续函数的概念二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质第三节函数的连续性第五十五页，共80页。连续变化的曲线对应的函数为连续函数如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的．函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映．0xy第五十六页，共80页。1.函数的增量一、连续函数的概念

设函数在点附近有定义,把附近的点记为,则称为自变量由变到的增量.为函数在点的增量.第五十七页，共80页。2．函数连续性的定义

定义1-9设函数在点及其附近有定义,如果时,也有,即注意故定义中1-9的极限式等价于则称函数在点处连续,称为的连续点.第五十八页，共80页。因此，函数在一点连续的充分必要条件是

例1-29讨论函数在的连续性解所以在连续．第五十九页，共80页。单侧连续显然即：第六十页，共80页。解

例1-30设在点处连续,问、应满足什么关系?第六十一页，共80页。连续函数与连续区间

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.第六十二页，共80页。例1-31证明第六十三页，共80页。3．函数的间断点

函数的不连续点称为函数的间断点,即满足下列三个条件之一的点为函数的间断点.第六十四页，共80页。跳跃间断点例1-32解第六十五页，共80页。可去间断点例1-33在的连续性第六十六页，共80页。解

注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.第六十七页，共80页。如例1-33中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点第六十八页，共80页。第二类间断点例1-34解这种情况称为无穷间断点．第六十九页，共80页。解1-1-0.50.5yx例1-35这种情况称为振荡间断点．第七十页，共80页。第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx第七十一页，共80页。二、初等函数的连续性(1)一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的.(2)若函数与在点连续,则函数在连续.(3)若函数在点处连续,设,而函数在点处连续,则复合函数在点处连续.由以上可知:初等函数在其定义域内都是连续的.第七十二页，共80页。故对初等函数,求极限就是求这一点的函数值．例1-36由于函数在其连续点满足解第七十三页，共80页。解例1-38例1-37解,而函数在点连续,所以第七十四页，共80页。三、闭区间上连续函数性质ab

定理1-3（最值定理）若函数闭区间上连续，则在闭区间上必有最